王東,徐超,萬強(qiáng)

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所,621999,四川綿陽;2.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,710072,西安)

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彈塑性接觸粗糙表面切向載荷-位移模型

王東1,徐超2,萬強(qiáng)1

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所,621999,四川綿陽;2.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,710072,西安)

針對在法向載荷和切向載荷聯(lián)合作用下粗糙表面的接觸問題,建立了一種同時(shí)考慮微凸體彈性接觸和塑性接觸的接觸界面切向載荷-位移新模型。對彈性接觸的微凸體,采用Hertz彈性理論描述法向接觸載荷-變形關(guān)系,采用Mindlin微觀滑移理論解描述切向載荷-位移關(guān)系;對塑性接觸的微凸體,采用Abbott和Firestone塑性接觸理論描述法向接觸載荷-變形關(guān)系,在切向采用Fujimoto模型的切向載荷-位移關(guān)系。利用概率統(tǒng)計(jì)分析方法,建立了整個(gè)粗糙表面切向載荷-位移關(guān)系。將模型與僅考慮微凸體彈性接觸情況的模型進(jìn)行了對比,研究了不同模型參數(shù)對切向載荷-位移關(guān)系的影響。結(jié)果表明:考慮微凸體彈塑性接觸的模型能夠更好地描述粗糙表面切向載荷-位移關(guān)系;微凸體高度分布密度函數(shù)的方差增大,相同平均接觸距離下,切向載荷-位移關(guān)系受塑性接觸微凸體的影響增大;方差相同時(shí),平均接觸距離增大,切向載荷-位移關(guān)系的斜率增大。

粗糙表面;切向接觸;概率統(tǒng)計(jì);彈塑性接觸;微凸體

機(jī)械裝配結(jié)構(gòu)中存在大量的連接配合面,配合面受到垂直于界面的法向緊固載荷作用后,能夠承受和傳遞平行于接觸界面的切向載荷。在此過程中,界面會發(fā)生復(fù)雜的接觸、摩擦、滑移和滑動等物理行為,這些行為具有非線性、多尺度甚至多物理場的特點(diǎn)。因此,機(jī)械結(jié)合面切向載荷-位移關(guān)系的建模一直被視為頗具挑戰(zhàn)性的問題之一[1-2]。

Mindlin最早理論地研究了兩接觸體在法向載荷和切向載荷聯(lián)合作用下的滑移-滑動行為[3],假設(shè)接觸體只發(fā)生彈性變形,接觸表面處滿足庫倫摩擦定律,并且摩擦因數(shù)為常值,推導(dǎo)給出了界面切向載荷與切向位移之間的非線性關(guān)系,認(rèn)為當(dāng)接觸界面所承受的切向載荷小于宏觀滑動臨界力時(shí),在接觸的中心區(qū)域不發(fā)生滑動,僅在接觸區(qū)邊沿發(fā)生微觀滑移;當(dāng)切向載荷增大時(shí),滑移區(qū)也隨之增大,直到切向載荷達(dá)到宏觀滑動臨界力時(shí),整個(gè)接觸界面將發(fā)生宏觀滑動。Johnson的實(shí)驗(yàn)工作進(jìn)一步驗(yàn)證了Mindlin理論的正確性[4]。

Mindlin理論沒有考慮接觸界面的粗糙度,而名義平面在微觀尺度下都是凹凸不平的;Greenwood等假設(shè)接觸界面上分布著許多高度服從指定隨機(jī)概率分布的等曲率球截狀微凸體,利用經(jīng)典Hertz彈性接觸力學(xué)公式和概率統(tǒng)計(jì)分析的方法建立了粗糙表面法向接觸模型(GW模型)[5],但僅涉及法向接觸建模;Farhang等假設(shè)每個(gè)微凸體切向變形服從Mindlin理論,利用GW模型統(tǒng)計(jì)建模思想,獲得了粗糙接觸界面切向載荷-位移關(guān)系[6];Argator等將Mindlin解與Kragelsky-Demkin粗糙接觸理論相結(jié)合給出了界面切向載荷-位移的關(guān)系式[7]。上述模型都是基于微凸體僅發(fā)生彈性變形且切向載荷-位移關(guān)系服從經(jīng)典的Mindlin理論,然而粗糙表面發(fā)生接觸時(shí),由于微凸體高度分布的差異和實(shí)際接觸區(qū)域應(yīng)力的集中現(xiàn)象,會出現(xiàn)有的微凸體發(fā)生彈性變形,而有的微凸體已經(jīng)屈服,發(fā)生塑性變形的情況[8-10]。上述考慮微凸體僅發(fā)生彈性接觸變形的模型,未能考慮微凸體塑性變形的貢獻(xiàn)和影響。

本文考慮粗糙表面發(fā)生接觸時(shí),既存在彈性變形的微凸體,又同時(shí)存在塑性接觸的微凸體的情況。對彈性接觸的微凸體,采用經(jīng)典Mindlin理論解描述其切向載荷-位移關(guān)系,對塑性接觸的微凸體,引入新的載荷-位移關(guān)系,然后借鑒GW模型概率統(tǒng)計(jì)分析的方法,基于微凸體的微觀接觸行為,導(dǎo)出整個(gè)粗糙表面切向載荷-位移之間的關(guān)系。將本文模型的結(jié)果與以往的僅考慮彈性接觸的模型結(jié)果進(jìn)行了對比,同時(shí)研究了粗糙度參數(shù)、法向平均接觸距離等對粗糙表面切向載荷-變形關(guān)系的影響。

1 微凸體接觸力學(xué)建模

研究表明,兩個(gè)粗糙表面間的接觸可以等效為一個(gè)粗糙面與一個(gè)光滑面之間的接觸問題[5],所以本文只考慮粗糙表面與理想剛性平面的接觸問題。與GW模型基本假設(shè)類似,不考慮剛性平面的粗糙度,認(rèn)為粗糙表面覆蓋著高度隨機(jī)分布的頂端為球截狀的微凸體,微凸體的曲率半徑相同,高度服從高斯分布,并假設(shè)微凸體之間變形互不耦合。

如圖1所示,ys為粗糙表面平均高度平面與微凸體平均高度平面之間的距離,R為微凸體曲率半徑,z為微凸體的高度,d為剛性平面與微凸體平均高度平面間的距離,h為剛性平面與粗糙表面平均高度平面間的距離。剛性平面受到法向載荷與粗糙表面接觸,微凸體將發(fā)生變形,法向接觸接近量為

(1)

圖1 粗糙結(jié)合面接觸示意圖

當(dāng)法向接觸載荷較小時(shí),微凸體上接觸應(yīng)力小,主要發(fā)生彈性變形。隨著法向接觸變形的增大,微凸體的應(yīng)力超過屈服應(yīng)力,就會發(fā)生塑性變形。按照Hertz接觸理論,球截狀微凸體的屈服并不是一開始就發(fā)生在整個(gè)接觸界面上,而是在接觸體內(nèi)部首先屈服,逐步演化到整個(gè)接觸界面上。因此,微凸體可能處于完全彈性、混合彈塑性以及完全塑性的變形狀態(tài)。本文僅考慮微凸體發(fā)生完全彈性和完全塑性變形的兩種狀態(tài)。

1.1 彈性接觸微凸體的切向載荷-位移關(guān)系

當(dāng)接觸載荷不大或ω較小時(shí),微凸體只發(fā)生彈性變形。如圖2所示,經(jīng)典Mindlin理論給出了彈性接觸界面上接觸壓力和切向剪力的分布規(guī)律,以及切向載荷與相對位移之間的關(guān)系為

(2)

(3)

式中:f為摩擦因數(shù);δ為切向相對位移;Te為彈性微凸體受到的切向載荷;Ne為彈性微凸體受到的法向載荷;δe為彈性微凸體發(fā)生宏觀滑動時(shí)的切向相對位移;ae為微凸體實(shí)際接觸面積的半徑;G為等效剪切模量,G=G1/(2-ν1),G1為微凸體材料剪切模量,ν1為微凸體材料泊松比。

圖2 完全彈性階段接觸面的作用力

Hertz彈性接觸理論給出了法向接觸變形與法向接觸載荷、實(shí)際接觸半徑之間的關(guān)系,即

(4)

將式(4)代入式(3),可得彈性微凸體發(fā)生宏觀滑動時(shí)的切向相對位移為

(5)

經(jīng)典Mindlin理論是在接觸體發(fā)生完全彈性變形的假設(shè)下推導(dǎo)的,因此式(2)～(5)只適用于微凸體發(fā)生彈性接觸的條件,即ω<ωe。

將式(4)、(5)代入式(2),可得含法向接近量的切向載荷-相對位移關(guān)系式

(6)

式中:ωe為微凸體發(fā)生彈性變形時(shí)的臨界法向接近量,超過該值,則認(rèn)為微凸體屈服,進(jìn)入塑性變形狀態(tài)。Chang等給出該值為[11]

(7)

式中:K為最大接觸壓強(qiáng)系數(shù),K=0.454+0.41ν1;H為材料的硬度。

將式(7)代入式(4),得到臨界法向接觸載荷為

(8)

式(6)給出了微凸體發(fā)生彈性變形的情況下,切向載荷與相對位移、法向接近量之間的關(guān)系。給定法向接近量,隨著切向載荷增大,微凸體逐漸從部分黏著接觸狀態(tài)演化到完全滑動狀態(tài)。

1.2 塑性接觸微凸體的切向載荷-位移關(guān)系

隨著法向接觸載荷的增大,微凸體將發(fā)生塑性屈服,完全塑性接觸條件下接觸界面上的接觸壓力的分布規(guī)律如圖3所示。根據(jù)Abbott等的理論[12],完全塑性接觸條件下法向作用力和變形的關(guān)系為

(9)

圖3 完全塑性階段接觸面的作用力

Fujimoto等通過理論和實(shí)驗(yàn)研究了完全塑性接觸條件下切向載荷與相對位移的關(guān)系,認(rèn)為發(fā)生完全塑性變形的接觸體,切向載荷與相對位移之間為雙線性關(guān)系[13],即

(10)

式中:Tp為塑性微凸體受到的切向載荷;δp為塑性微凸體發(fā)生宏觀滑動時(shí)的切向相對位移,表達(dá)式為

(11)

將式(9)代入式(11),可得

(12)

Fujimoto和Abbott理論是在接觸體發(fā)生完全塑性變形的假設(shè)下推導(dǎo)的,因此式(9)～(12)只適用于微凸體發(fā)生塑性接觸的條件,即ω>ωe。

將式(9)、(12)代入式(10),可得

(13)

式(13)給出了在法向載荷和切向載荷聯(lián)合作用下,微凸體處于完全塑性變形狀態(tài)時(shí),切向載荷與相對位移、法向接近量之間的關(guān)系。與式(6)不同,式(13)說明在給定的法向接近量下,微凸體只可能處于完全滑動或完全黏著的狀態(tài)。

2 粗糙表面切向載荷-位移關(guān)系

在粗糙表面法向接觸問題中,GW模型假設(shè)微凸高度服從高斯隨機(jī)分布,采用概率統(tǒng)計(jì)分析的方法建立了整個(gè)粗糙表面法向載荷與法向接觸變形之間的關(guān)系。假設(shè)微凸體高度隨機(jī)分布規(guī)律為高斯分布,函數(shù)式為

(14)

當(dāng)接觸界面上既有發(fā)生彈性變形的微凸體,又有發(fā)生塑性變形的微凸體時(shí),將式(6)和式(13)分別對隨機(jī)變量進(jìn)行積分,即可得到整個(gè)接觸界面上切向載荷與相對位移之間的關(guān)系,即

(15)

式中:η為單位面積粗糙面微凸體的數(shù)目;An為粗糙表面名義接觸面積。

利用式(4)、(9),可得粗糙表面法向載荷為

(16)

簡單起見,引入正則化變量進(jìn)行歸一化,即

(17)

將式(17)代入到式(15)、(16)中,可得

(18)

(19)

將粗糙表面切向載荷也進(jìn)行歸一化,即

(20)

3 結(jié)果與討論

3.1 與完全彈性模型的對比

根據(jù)上述推導(dǎo)結(jié)果,本文粗糙表面切向載荷-位移關(guān)系的計(jì)算過程為:①由粗糙表面材料參數(shù)利用式(7)確定ωe,由粗糙度測量結(jié)果獲得分布函數(shù)方差σ;②由ωe,利用式(17)進(jìn)行歸一化;③由粗糙面法向接觸作用力利用式(18)確定平均接觸距離d*;④由d*和摩擦因數(shù)f,利用式(19)、(20)得到粗糙表面切向載荷-位移的關(guān)系。為了驗(yàn)證上述模型的有效性,將本文模型計(jì)算結(jié)果與考慮了微凸體完全彈性接觸的模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比。模型基本參數(shù)取為:E1=210 GPa,ν1=0.3,H=4.54 GPa,R=1 μm,σ*=1,N=0.674,f=0.2,計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4 接觸面切向力和相對變形的關(guān)系

給定法向接近量,粗糙表面上必然有些微凸體發(fā)生彈性變形,其余微凸體發(fā)生塑性變形。當(dāng)假設(shè)微凸體只發(fā)生彈性接觸時(shí),相當(dāng)于認(rèn)為每個(gè)微凸體上平均接觸壓力可以無限制增加,這與客觀情況不符。當(dāng)假設(shè)微凸體發(fā)生彈塑性接觸時(shí),微凸體上平均接觸壓力存在上限值H,更符合物理實(shí)際。由圖4可知,當(dāng)切向載荷較小時(shí),發(fā)生塑性變形的微凸體處于黏著狀態(tài),切向變形主要是由于彈性接觸微凸體的局部滑移貢獻(xiàn),兩個(gè)模型的差別較小。隨著切向載荷增大,在完全彈性模型中,由于接觸壓力很高,微凸體仍處于微觀滑移狀態(tài),切向剛度較大、變形較小,而在本文模型中,塑性接觸的微凸體將可能發(fā)生完全滑動,切向剛度較低、變形顯著增大。當(dāng)切向載荷最終達(dá)到宏觀滑動力時(shí),整個(gè)粗糙表面都進(jìn)入宏觀滑動狀態(tài)。因此,兩個(gè)模型都能夠描述從微觀滑移到宏觀滑動的多尺度過程,但兩者給出的路徑顯著不同。本文的模型考慮了彈性和塑性接觸兩種狀態(tài),預(yù)測的切向剛度以及切向載荷-位移演化規(guī)律更符合實(shí)際。

3.2 模型參數(shù)對切向載荷-位移關(guān)系的影響

研究在給定的平均接觸距離(d*=0)下,表面粗糙度參數(shù)對切向載荷-位移關(guān)系的影響。

圖5給出了當(dāng)正則化分布函數(shù)方差從0.2變化到2.0時(shí)粗糙表面切向載荷-位移的關(guān)系。圖6給出了正則化分布函數(shù)方差在0.2到0.4變化范圍內(nèi)的細(xì)節(jié)圖。由圖5、6可知,隨著方差增大,切向載荷-位移關(guān)系曲線的斜率(切向剛度)不斷減小,相同切向載荷導(dǎo)致的相對變形不斷增大,其原因與方差變化引起彈塑性接觸的程度不同有關(guān)。圖7給出了不同方差的微凸體概率分布密度函數(shù),借由式(1)的關(guān)系,分布密度函數(shù)的自變量可由微凸體高度z*替換為法向接觸變形ω*。下面分兩種情況說明:①當(dāng)方差較小時(shí),即3σ*<1,說明有99.97%微凸體的法向接觸變形都小于ωe,也即接觸面微凸體主要發(fā)生彈性接觸;②當(dāng)方差較大時(shí),即3σ*>1,發(fā)生塑性接觸的微凸體數(shù)目增多,接觸面將主要發(fā)生塑性接觸。因此,隨著方差的增大,相同的平均接觸距離下,切向行為將從主要受彈性接觸微凸體影響變化為主要受塑性接觸微凸體影響。

圖5 分布函數(shù)方差從0.2變化到2.0對切向行為的影響

圖6 分布函數(shù)方差從0.2變化到0.4對切向行為的影響

圖7 不同方差的微凸體概率分布密度函數(shù)

圖8、9分別給出了一定粗糙度參數(shù)值、不同平均接觸距離下的粗糙表面切向載荷-位移的關(guān)系。圖8對應(yīng)正則化分布函數(shù)方差為0.2,圖9對應(yīng)2.0的情況。方差較小時(shí),切向載荷-位移關(guān)系主要受彈性接觸微凸體控制;方差較大時(shí),表現(xiàn)為主要受塑性接觸微凸體的控制。由圖8、9可知,隨著平均接觸距離增大,剛性平面和粗糙表面之間的法向接觸載荷減小,所以發(fā)生塑性接觸的微凸體數(shù)量減少,切向載荷-位移關(guān)系曲線的斜率增大。

圖8 分布函數(shù)為0.2時(shí)平均接觸距離對切向行為的影響

圖9 分布函數(shù)為2.0時(shí)平均接觸距離對切向行為的影響

4 結(jié) 論

本文針對法向和切向載荷聯(lián)合作用下的粗糙表面接觸問題,同時(shí)考慮微凸體的彈性接觸和塑性接觸情況,建立了一種新的彈塑性接觸粗糙表面切向載荷-位移模型,主要結(jié)論如下。

(1)本文模型能夠同時(shí)考慮發(fā)生彈性變形的微凸體和發(fā)生塑性變形的微凸體,對比只考慮彈性變形的模型,本文模型能更符合實(shí)際地描述粗糙表面的切向載荷-位移關(guān)系。

(2)微凸體高度分布密度函數(shù)的方差對粗糙表面切向載荷-位移關(guān)系有重要影響;正則化方差越大,相同法向平均接觸距離下,切向行為越受到塑性接觸微凸體的支配。

(3)當(dāng)分布密度函數(shù)方差一定時(shí),增大平均接觸距離,粗糙表面切向載荷-位移關(guān)系曲線的斜率增大。

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(編輯 趙煒)

Tangential Load-Displacement Model of Elastic-Plastic Rough Contact Surfaces

WANG Dong1,XU Chao2,WAN Qiang1

(1. Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang, Sichuan 621999, China;2. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

A tangential load-displacement model between rough contact surfaces is developed in this paper. Elastically and plastically deformed asperities are considered simultaneously. For the elastically deformed asperities, the classic Hertz elastic contact solution and Mindlin micro-slip model are used to model the load-displacement relationship. For the plastically deformed asperities, the fully plastic contact theory of Abbott and Firestone, and the Fujimoto tangential contact model are implemented. The tangential load-displacement relationship between rough surfaces is formulated by GW probability statistics approach. The proposed model is compared with the model where only elastically deformed asperities are considered. The effects of model parameters on the tangential load-displacement behaviors are investigated. The results show that the proposed model can describe the nonlinear behavior of the tangential load-displacement relationship between rough surfaces more rationally. With the increase of roughness, the tangential load-displacement relationship is controlled by plastic contact asperities. The slope of the tangential load-displacement curve increases with the average contact distance when the roughness parameter holds constant.

rough surface; tangential contact; probability statistics model; elastic-plastic contact; asperities

2015-05-04。作者簡介:王東(1988—),男,助理工程師?；痦?xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372246);中國工程物理研究院科學(xué)技術(shù)重點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(2014A0203006)。

時(shí)間:2015-09-11

10.7652/xjtuxb201511020

O343.3

A

0253-987X(2015)11-0122-06

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150911.1111.008.html