數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

金晶

摘要：

根據(jù)目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的問題，分析了教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想的作用和意義。以目前經(jīng)濟生活中的熱點問題，買房抵押貸款問題，作為一個課堂案例，提出了融入數(shù)學(xué)建模思想的案例教學(xué)模式，并對其成效和不足進行了分析和總結(jié)。

關(guān)鍵詞：

數(shù)學(xué)建模；案例教學(xué)；抵押貸款；利率；差分方程

中圖分類號：

G4

文獻標識碼：A

文章編號：16723198（2015）02012302

1引言

在現(xiàn)代經(jīng)濟社會中，數(shù)學(xué)幾乎滲透到了每一個領(lǐng)域和學(xué)科，發(fā)揮了實質(zhì)性的作用。應(yīng)市場需求，人才市場要求大學(xué)畢業(yè)生應(yīng)當具備一定的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力。因而，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)課程的重要目標，我們應(yīng)非常注意提高數(shù)學(xué)建模的教學(xué)。

目前，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)仍然以講授方式為主，主要重視學(xué)生對理論知識的掌握，忽視了學(xué)生應(yīng)用知識和解決問題的能力。造成這種情況的主要原因總結(jié)如下：

（1）各類數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多，教材陳舊，教學(xué)手段單一。

（2）重視教學(xué)內(nèi)容、手段和方法的改革，而忽視了教學(xué)模式的改革。

（3）考核形式上以書面答卷為主，忽視了對學(xué)生學(xué)習(xí)過程和解決實際問題等能力的考查。

將數(shù)學(xué)建模思想引入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，通過與學(xué)生專業(yè)或生活實際緊密相關(guān)的案例進行教學(xué)，不僅有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，把學(xué)生培養(yǎng)成為滿足市場需求的應(yīng)用型人才。這也與當今大學(xué)教育要全面提高學(xué)生素質(zhì)，培養(yǎng)有創(chuàng)新精神的復(fù)合型人才的目標想吻合。

一般地，假設(shè)不同，所使用的數(shù)學(xué)方法不同，可能會得到不同的數(shù)學(xué)模型，這些模型可能都是正確合理的。例如，我們提出的買房抵押貸款問題，可以采用迭代的方法建立模型（即我們給出的方法1），也可以利用查分方程的方法建立數(shù)學(xué)模型（即我們給出的方法2），還可以利用等比數(shù)列的方法建立其模型（即我們給出的方法3）。這正是開放式問題、發(fā)散式思維，和創(chuàng)造性能力的體現(xiàn)。我們給學(xué)生留下了極大的發(fā)揮空間，任憑學(xué)生去創(chuàng)造和創(chuàng)新，在應(yīng)用過程中鞏固知識，用鞏固的知識解決問題。將數(shù)學(xué)建模思想引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)，是培養(yǎng)應(yīng)用型和創(chuàng)新型人才的極好方式，其作用是其他任何課堂教學(xué)無法替代的。

2課堂案例——買房抵押貸款問題

1989年，Galbraith對數(shù)學(xué)建模提出了三種教學(xué)方法：一般應(yīng)用方法，構(gòu)造模型方法和開放建模方法。我們提出的課堂案例屬于開放建模方法，即學(xué)生結(jié)合生活常識，借助一切網(wǎng)絡(luò)手段，運用數(shù)學(xué)知識討論學(xué)習(xí)的方法。這種方法更加注重建模的前三個階段。

2.1階段1—現(xiàn)實問題：買房抵押貸款

市民購買首套住房，一次性付清房款的，可申請抵押貸款，貸款部分不超過房價的70%，利率高于銀行存款利率。

問題：小王夫婦都是工薪階層，每月還款能力在2500元以內(nèi)，要購買50平方米的兩居室住房一套，共70萬元。他們自己設(shè)法籌集到34萬元，另外36萬元申請抵押貸款。月利息0.005，計劃期限為25年。試問小王夫婦每月要還多少錢？

2.2階段2—問題假設(shè)：等額本金和等額本息

目前，銀行按揭有兩種方式：等額本金和等額本息，有著不同的還貸方式和利息計算方法，適用于不同是人群。引導(dǎo)學(xué)生們利用網(wǎng)絡(luò)，了解兩種按揭方式及其利息和每月還款額的計算方式，分組討論，總結(jié)出兩種方式的優(yōu)缺點及其使用人群，制作成表格對比分析，為小王夫婦選擇一種最適合他們的按揭方式。

經(jīng)過討論分析，在選擇按揭方式之后，就要針對問題變量進行分析并提出假設(shè)。我們可以設(shè)時間單位為月，設(shè)抵押貸款期限為n個月，貸款額為a0月利率為R。比如，我們選擇等額本息方式，按復(fù)利計算，我們可以設(shè)每月應(yīng)還款x元?；蛘?，我們可以設(shè)yt為t月后仍欠款數(shù)額，則y0=a0元，y25=0元。方法并不唯一，學(xué)生們有著充分的開放空間設(shè)計和想象。

2.3階段3—數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)問題公式化

一般地，假設(shè)不同，所使用的數(shù)學(xué)方法不同，可能會得到不同的數(shù)學(xué)模型，這些模型可能都是正確合理的。以下討論我們以復(fù)雜情況下的等額本息方式為例：

2.4課堂延伸

在完成建模和求解數(shù)學(xué)問題之后，我們還可以數(shù)值對比兩種按揭方式的具體還款金額和所付利息，并且結(jié)合當下的提前還款、額外還款、雙速還款和縮短年限等業(yè)務(wù)，幫助小李夫婦合理配置資金，組合出一套最符合實際，又最經(jīng)濟實惠的理財貸款計劃。

同時，我們還可以鼓勵學(xué)生們利用計算機編程語言，依據(jù)我們的數(shù)學(xué)模型，編寫出一套方便又使用的計算機程序軟件，幫助人們能夠快速準確地計算出每月還款金額，并可以像理財專家一樣配置出符合自己的一套理財貸款計劃。

3案例啟示

數(shù)學(xué)絕不僅僅只是學(xué)習(xí)知識，不是教條式地背誦公式和定理。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更多的應(yīng)該是感受一種理性嚴謹?shù)乃季S方式和思考方法，所以在知識之上，我們更應(yīng)該關(guān)注思。學(xué)的最終目的是要會用，用數(shù)學(xué)思考方法，用數(shù)學(xué)解決問題，同時還要輔助計算機等一切可以借助的信息工具，在原有的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新。我認為這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，而這一切都被巧妙得滲透在數(shù)學(xué)建模的整個過程中。所以，將數(shù)學(xué)建模思想滲透在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，是我們傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育亟待革新的轉(zhuǎn)折點。

在教學(xué)過程的各個階段中，學(xué)生始終是自由發(fā)揮的主角，而老師的角色只是引導(dǎo)，提供機會給學(xué)生學(xué)習(xí)以及通過建模讓學(xué)生學(xué)習(xí)思考。學(xué)生們通過大量的信息搜索和觀察應(yīng)用，可以取得自信和學(xué)到數(shù)學(xué)建模的技巧，找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和專業(yè)延伸的興趣，體會到創(chuàng)新和創(chuàng)造的滿足感和成就感。從我們選取的課堂案例不難看出，數(shù)學(xué)建模案例更加貼近學(xué)生們的生活，情境直觀逼真，利于激發(fā)學(xué)生們的生活經(jīng)驗，真實地解決實際問題。知識創(chuàng)新、方法創(chuàng)新、結(jié)果創(chuàng)新、應(yīng)用創(chuàng)新無不在數(shù)學(xué)建模的過程中得到體現(xiàn)，從而也應(yīng)當在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中得到充分體現(xiàn)。

參考文獻

[1]李延林.數(shù)學(xué)建模引導(dǎo)高中學(xué)生進入用數(shù)學(xué)的新階段[J].數(shù)學(xué)通報，2005，（10）：2123.

[2]王尚志，孔啟平.培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)課堂的重要目標[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，（2）：4345.

[3]Galbraith，P.，Houston，K.，Jensen，T.，Kaiser，G.，Tan，YJ.Mathematical Modeling in education and culture[M].ICTMA 10. Chiechester：Harwood Publish，2003：307330.

[4]Allan White.Modeling and the General Mathematics Syllabus[J].Mathematics New HC，2002：712.

[5]吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學(xué)：微積分[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]劉應(yīng)輝.經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)：上冊[M].北京：高等教育出版社，1991.