吳素珍，何衛(wèi)東

(1．大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連116028;2．河南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州451191)

0 引言

RV 減速器是一種兩級(jí)行星減速傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，主要由第1 級(jí)漸開(kāi)線行星傳動(dòng)和第2 級(jí)擺線針輪行星傳動(dòng)組成［1］，第2 級(jí)擺線輪與針輪的嚙合工作性能，直接影響到整個(gè)減速器的工作精度．國(guó)內(nèi)學(xué)者大部分是對(duì)直齒輪或斜齒輪的接觸分析［2-5］，對(duì)擺線針輪嚙合接觸分析研究比較少，即使有一些相關(guān)的研究，但做了相當(dāng)多的簡(jiǎn)化，如重慶大學(xué)的陳兵奎進(jìn)行了擺線包絡(luò)行星傳動(dòng)接觸有限元分析及系統(tǒng)開(kāi)發(fā)，其簡(jiǎn)化了擺線輪的內(nèi)部結(jié)構(gòu)［6］;大連交通大學(xué)的關(guān)天民進(jìn)行了FA 型針擺傳動(dòng)齒面接觸狀態(tài)的有限元計(jì)算，其把針擺嚙合簡(jiǎn)化成了二維模型［7］． 筆者考慮擺線輪修形量、輪齒接觸變形等的影響，進(jìn)行了針輪和擺線輪接觸非線性應(yīng)力應(yīng)變分析．

表1 RV－250 機(jī)型的相關(guān)參數(shù)Tab．1 Associated parameters of RV－250

1 擺線輪齒面數(shù)學(xué)模型

1．1 相關(guān)參數(shù)

筆者以RV-250 為例進(jìn)行擺線輪針輪齒面接觸狀態(tài)的接觸應(yīng)力計(jì)算及有限元分析，其相關(guān)參數(shù)如表1 所示［8］．

1．2 擺線輪齒形方程

根據(jù)擺線針輪傳動(dòng)的嚙合原理，以擺線輪的幾何中心為原點(diǎn)，通過(guò)原點(diǎn)并與擺線輪對(duì)稱軸重合的軸線為xc軸，考慮修形量的擺線輪齒形方程式為［9］:

式中:k'1為有移距時(shí)齒形的短幅系數(shù)，iH為擺線輪和針輪的相對(duì)傳動(dòng)比，iH=zp/zc;其他參數(shù)見(jiàn)表1．

2 理論計(jì)算

2．1 針齒與擺線輪的作用力計(jì)算

標(biāo)準(zhǔn)齒廓時(shí)，針齒的接觸力與該齒的變形成正比． 但在實(shí)際計(jì)算中，由于必須先克服初始間隙，此時(shí)針齒的接觸力Fi應(yīng)與變形和初始間隙之差(δi-Δ(φi))成線性正比關(guān)系，按照此關(guān)系，同時(shí)嚙合傳力的第i 個(gè)齒受力Fi可用式(3)表示．Fi=CiωPii=Ci［δi-Δ(φi)］Pi． (3)式中:Fi為各接觸點(diǎn)φi處的針齒接觸力;Ci，Pi為計(jì)算系數(shù);δi為擺線輪各嚙合點(diǎn)在公法線方向的總變形;Δ(φi)為初始法向嚙合側(cè)隙．

設(shè)擺線輪上的扭矩TC由i =m1～m2個(gè)齒傳遞，它應(yīng)與針齒上各針齒給擺線輪作用力所產(chǎn)生的力矩平衡，由此可得:

通過(guò)計(jì)算機(jī)搜尋可求解出在轉(zhuǎn)矩TC作用下的同時(shí)嚙合的齒數(shù)m1～m2，以及各接觸齒上的作用力Fi，計(jì)算結(jié)果如表2 所示［8］．

表2 擺線針輪嚙合作用力、接觸應(yīng)力Tab．2 Acting force and contact stress chart of cycloid pin gear messing

2．2 擺線輪與針齒接觸應(yīng)力計(jì)算

根據(jù)赫茲公式，擺線針輪齒面接觸應(yīng)力為［8］:

式中:Fi為針齒與擺線輪齒在某一位置嚙合的作用力，N;Ee為當(dāng)量彈性模型，MPa，Ee=2．06 ×105MPa;bc為擺線輪的寬度，mm;ρei為當(dāng)量曲率半徑，mm;ρi為擺線輪在某嚙合點(diǎn)的曲率半徑，mm．

擺線針輪接觸應(yīng)力計(jì)算結(jié)果，如表2 所示．

3 模型建立

3．1 幾何模型建立

RV 針擺減速器是精密傳動(dòng)減速器，對(duì)建模精度要求比較高，因此建模曲線誤差在0．1 μm以下．?dāng)[線輪的結(jié)構(gòu)在圓周上是每120°對(duì)稱的，因此對(duì)120°范圍內(nèi)的13 個(gè)齒的嚙合位置進(jìn)行了計(jì)算．另外，針擺傳動(dòng)中，針齒是半埋在針齒殼的針齒銷孔內(nèi)，其彈性變形主要是接觸變形，同時(shí)兩片擺線輪與針齒的嚙合完全一樣，所以建模時(shí)簡(jiǎn)化了針齒殼且只保留了一片擺線輪，另外使針齒長(zhǎng)度和一片擺線寬度相等，所建模型如圖1 所示．

圖1 擺線針輪傳動(dòng)模型Fig．1 Cycloid pin gear transmission model

3．2 有限元模型建立

擺線針輪傳動(dòng)是多齒接觸受力的問(wèn)題，實(shí)際工況中針齒與針齒殼之間的接觸對(duì)擺線針輪接觸分析結(jié)果影響比較小，所以把針齒殼和針齒看成了一個(gè)整體．建立有限元模型時(shí)另一關(guān)鍵的是單元類型的選擇，這些單元類型有不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和屬性．在不同的單元類型中，實(shí)體單元能夠模擬的結(jié)構(gòu)最多，而且該小塊材料的幾何形狀、節(jié)點(diǎn)數(shù)等可以有多種選擇，并可在任何節(jié)點(diǎn)上與其它單元連接，因此幾乎能承受任意載荷，所以在針擺有限元分析中選擇了“solid185”單元，solid185 單元適用于構(gòu)造三維固體結(jié)構(gòu)，有8 個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3 個(gè)沿著XYZ 方向平移的自由度，具有超彈性，蠕變，大變形和大應(yīng)變能力．針齒和擺線輪材料均為GCr15，即定義的彈性模量為2． 06E5 MPa，泊松比為0．3，密度為7．8E12 kg/mm3．

擺線輪齒廓是一種精度極高的特殊曲線，所以擺線輪齒廓處和針齒嚙合部分選用了較小的網(wǎng)格為0．6 mm，網(wǎng)格類型為混合四面體六面體．劃分后的有限元模型如圖2 所示，擺線輪針齒細(xì)密處網(wǎng)格如圖3 所示． 本模型共形成965 314 個(gè)節(jié)點(diǎn)，880 512 個(gè)單元．

圖2 擺線針輪嚙合有限元模型Fig．2 Meshing FEM of cycloid pin gear

圖3 擺線輪針齒細(xì)密處網(wǎng)格Fig．3 Close FEM meshes of cycloid and pin gear tooth

3．3 針輪與擺線輪接觸對(duì)的定義

理論分析結(jié)果顯示，經(jīng)過(guò)修形的擺線輪與針齒在嚙合受力前是1 個(gè)齒嚙合，受力后擺線輪針齒為10 個(gè)齒嚙合．為了有限元計(jì)算方便，需擺針輪有限元模型中有可能接觸的齒需提前處于嚙合狀態(tài)，即需在此10 個(gè)齒間建立接觸對(duì)．

擺線輪和針齒的材料相同，定義為柔體對(duì)柔體的面面接觸．創(chuàng)建接觸對(duì)時(shí)一般選擇凸面為接觸面，凹面為目標(biāo)面．RV 針擺傳動(dòng)中針輪接觸面為凸面，定義其為接觸面，接觸單元為CONTA173，擺線輪的接觸面為凹面，定義其為目標(biāo)面，目標(biāo)單元為TARGE170，定義接觸對(duì)時(shí)設(shè)置k5=1，忽略接觸對(duì)的初始間隙，k9=1，忽略接觸對(duì)的初始穿透，k10=2，允許ANSYS 自動(dòng)更新接觸剛度，k2=1，采用完全計(jì)分法計(jì)算，所建立的接觸對(duì)局部放大圖如圖4 所示．

圖4 擺線針輪接觸對(duì)局部放大圖Fig．4 Magnification of cycloid pin gear contact parts

4 邊界條件和載荷的施加

研究擺線輪針齒傳動(dòng)某一瞬間齒面的接觸狀態(tài)，在瞬間，針輪和針齒殼是靜止的，擺線輪公轉(zhuǎn)相對(duì)速度很小，可以看成擺線輪只做繞偏心軸的自轉(zhuǎn)．

在設(shè)置邊界條件時(shí)，根據(jù)擺線針輪接觸的實(shí)際工況，設(shè)置約束和加載條件．針齒殼剛性很大，并固定不動(dòng)，即針齒殼施加完全約束;擺線輪帶動(dòng)行星架輸出，采用3 個(gè)相連的剛性梁模擬行星架輸出機(jī)構(gòu);剛性元模擬偏心軸曲柄，鉸鏈鏈接技術(shù)模擬曲柄相對(duì)擺線輪軸承孔的轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)軸承孔的約束模擬軸承和軸承孔的實(shí)際接觸情況，對(duì)擺線輪偏心軸中心約束5 個(gè)自由度，只留一個(gè)繞偏心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，模擬擺線輪繞偏心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，擺線針輪傳動(dòng)的約束邊界條件如圖5 所示．

圖5 邊界條件的施加Fig．5 Applied boundary conditions

RV-250 的傳動(dòng)轉(zhuǎn)矩T =2 450 N·m，由于制造誤差，傳遞兩個(gè)擺線輪的轉(zhuǎn)矩是不相等的，一片擺線輪傳遞的扭矩一般取TC=0．55T =1 347．5 N·m．本模型施加的轉(zhuǎn)矩為1 347．5 N·m．

5 結(jié)果分析

圖6 所示為放大150 倍后的擺線輪接觸應(yīng)力云圖，圖7 為擺線輪各齒面的接觸應(yīng)力分布云圖．有限元法計(jì)算的結(jié)果顯示，擺線輪共10 個(gè)齒接觸變形，最大接觸應(yīng)力出現(xiàn)在第7 個(gè)齒． 從圖6 可以看出，擺線輪變形主要出現(xiàn)在接觸區(qū)，并且軸承孔和梯形孔上方的齒出現(xiàn)了下沉變形，輪輻上方的齒出現(xiàn)了外凸變形． 原因是輪輻的結(jié)構(gòu)比較單薄，擺線輪在齒面嚙合力作用下產(chǎn)生變形，在嚙合區(qū)域部分的變形比較明顯，特別是梯形孔和軸承孔的部位由于齒緣很薄，剛度較小容易產(chǎn)生向內(nèi)的下沉變形．而位于輪輻徑向支承板近處齒的部分剛度較大，在擺線輪對(duì)針齒的作用力的作用下易產(chǎn)生外突的變形，如圖7 中輪輻上方的3 個(gè)齒，通常受力最大;最大接觸應(yīng)力點(diǎn)在擺線輪齒面的內(nèi)側(cè)，說(shuō)明有些邊緣效應(yīng)．

圖6 擺線輪接觸應(yīng)力云圖(放大150 倍)Fig．6 Stress contour of cycloid gear contact parts(magnified 150 times)

圖7 擺線輪接觸壓應(yīng)力云圖Fig．7 Compressive stress contour of cycloid gear contact parts

圖8 為擺線針輪接觸狀態(tài)圖，從圖中可以看出，接觸的每對(duì)齒都接觸良好，并且齒向未出現(xiàn)偏載．

圖9 為兩種計(jì)算方法的接觸應(yīng)力對(duì)比． 有限元計(jì)算的最大齒面接觸應(yīng)力為-680．889 MPa，主要有3 個(gè)齒承受較大的載荷，都分布在剛性較大的部位，赫茲理論計(jì)算的最大接觸應(yīng)力為1 095．007 94 MPa，兩者相差比較大的原因?yàn)楹掌澙碚撐纯紤]非線性因素及擺線輪內(nèi)部軸承孔和梯形孔的影響，但總體分布規(guī)律一致，與實(shí)際接觸應(yīng)力是相符的．

圖8 擺線針輪接觸狀態(tài)圖Fig．8 Statechart diagram of cycloid gear contact parts

圖9 兩種分析計(jì)算結(jié)果比較Fig．9 The result analysis of the two motheds

6 結(jié)論

(1)赫茲理論和有限元法計(jì)算結(jié)果都有10個(gè)齒嚙合，最大接觸應(yīng)力都發(fā)生在7 號(hào)齒，并且總體接觸應(yīng)力趨勢(shì)是一致的，從而驗(yàn)證了所建有限元模型的正確性，為擺線輪的強(qiáng)度性能分析與評(píng)估提供可靠的數(shù)值依據(jù)．

(2)輪齒的接觸狀態(tài)和接觸應(yīng)力大小與變形情況有密切關(guān)系． 在梯形孔上方和軸承孔上方的齒的輪齒容易變形，承受的載荷較小，在剛性區(qū)輻板上方的齒承受的載荷較大．

(3)由于赫茲理論未考慮非線性因素及擺線輪內(nèi)部軸承孔和梯形孔的影響，兩種方法計(jì)算的接觸應(yīng)力存在一定的誤差，但總體分布規(guī)律一致，與實(shí)際接觸應(yīng)力是相符的．

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