孫志民，趙 珺，王 偉

（大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

磨礦分級(jí)過(guò)程是整個(gè)選礦廠生產(chǎn)工藝流程中關(guān)鍵的環(huán)節(jié).磨礦作業(yè)直接關(guān)系到選礦生產(chǎn)的處理能力，磨礦產(chǎn)品的質(zhì)量對(duì)后續(xù)浮選作業(yè)乃至整個(gè)選礦廠的經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)也有很大的影響［1］.選礦廠為達(dá)到控制指標(biāo)，需要經(jīng)常調(diào)節(jié)控制量，頻繁且大范圍的變化易導(dǎo)致設(shè)備穩(wěn)定性變差，影響生產(chǎn)安全.所以，有效地限制控制量的變化至關(guān)重要.

磨礦過(guò)程具有非線性，大時(shí)滯時(shí)變特性，現(xiàn)場(chǎng)當(dāng)前主要采用的是常規(guī)PID 控制.此類(lèi)方法在大的干擾量、工況發(fā)生改變時(shí)，難以實(shí)現(xiàn)理想的控制效果［2－4］.預(yù)測(cè)控制是一種以閉環(huán)優(yōu)化模型為基礎(chǔ)的控制策略，采用模型預(yù)測(cè)、在線的滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正等方法，能有效地克服被控過(guò)程的不確定性、非線性和關(guān)聯(lián)性，在工業(yè)過(guò)程控制中獲得了大量成功的應(yīng)用［5－7］.在預(yù)測(cè)控制方法中，預(yù)測(cè)模型的精度對(duì)控制效果起到至關(guān)重要的作用.支持向量機(jī)基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，具有較強(qiáng)的逼近能力和泛化能力［8－10］.但是，上述方法僅追求控制效果，而忽略了對(duì)控制量的考慮，控制量大范圍的變化勢(shì)必會(huì)加速控制設(shè)備的磨損，而且也會(huì)帶來(lái)較高的能量消耗.如何在保證良好控制效果的同時(shí)，盡量減小控制量的變化率越來(lái)越被人們所重視.

本文提出一種基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化（Gaussian search based improved particle swarm optimization，G－IPSO）算法，該算法改變傳統(tǒng)粒子群的種群初始化策略，將粒子群以控制量初始值為中心進(jìn)行高斯分布，增加在小范圍內(nèi)尋優(yōu)的概率；并且改變傳統(tǒng)粒子群的速度更新方式，將控制量初始值引入速度更新公式，將該算法融合到最小二乘支持向量機(jī)（least square support vector machine，LS－SVM）預(yù)測(cè)控制中，構(gòu)建磨礦系統(tǒng)預(yù)測(cè)控制器.

1 問(wèn)題描述

磨礦分級(jí)過(guò)程是將粗礦粒磨細(xì)并將粗細(xì)礦粒分離的工業(yè)過(guò)程，為浮選作業(yè)提供濃細(xì)度合適的礦漿.其工業(yè)過(guò)程如圖1所示，它是由一個(gè)溢流型球磨機(jī)、一個(gè)變速率的渣漿泵和一個(gè)水力旋流器所組成的標(biāo)準(zhǔn)的磨礦回路.礦石經(jīng)過(guò)給礦皮帶進(jìn)入球磨機(jī)進(jìn)行研磨，球磨機(jī)中的礦漿經(jīng)過(guò)渣漿泵打到旋流器進(jìn)行分離，旋流器的溢流進(jìn)入后續(xù)的浮選作業(yè)，旋流器的返砂返回到球磨機(jī)再次研磨.回路中存在兩個(gè)固有的控制環(huán)節(jié)，一個(gè)是通過(guò)調(diào)整渣漿泵的速率來(lái)保持泵池液位的恒定，另一個(gè)是通過(guò)調(diào)整給礦水來(lái)保持球磨機(jī)磨礦濃度的穩(wěn)定.

圖1 磨礦過(guò)程流程圖Fig.1 Schematic diagram of grinding process

選礦廠為了使磨礦粒度、濃度、磨機(jī)處理量等控制目標(biāo)達(dá)到良好的控制效果，需要不斷地調(diào)整給礦量、泵池補(bǔ)加水等控制量，控制器機(jī)械結(jié)構(gòu)大范圍的變化必然影響設(shè)備的穩(wěn)定性，耗能且影響生產(chǎn)安全.如何既保證良好的控制效果，又能最大限度地限制控制量的變化，是一個(gè)亟需解決的問(wèn)題.LS－SVM 作為一種通用函數(shù)逼近器可以以任意精度逼近非線性系統(tǒng)，具有很強(qiáng)的泛化能力，是非線性系統(tǒng)建模的有力工具.支持向量機(jī)預(yù)測(cè)器建立了非線性被控對(duì)象的預(yù)測(cè)模型，可以根據(jù)當(dāng)前系統(tǒng)的控制信息預(yù)測(cè)出被控對(duì)象在未來(lái)的輸出值.再通過(guò)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的優(yōu)化性能指標(biāo)，利用非線性?xún)?yōu)化控制器即可求出較優(yōu)的控制量.模型預(yù)測(cè)控制中的滾動(dòng)優(yōu)化是一個(gè)求解非線性約束優(yōu)化問(wèn)題的過(guò) 程，粒 子 群 優(yōu) 化（particle swarm optimization，PSO）是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種多變量隨機(jī)尋優(yōu)搜索方法，能快速有效地解決預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)中的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題［11－13］.本文采用的LSSVM 模型預(yù)測(cè)控制的結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 基于PSO 優(yōu)化的LS－SVM 模型預(yù)測(cè)控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of LS－SVM model predictive control based on PSO

2 算法介紹

粒子群算法是一種基于種群的隨機(jī)優(yōu)化算法.設(shè)粒子群體規(guī)模為L(zhǎng)，粒子i表示為popi＝（ui，F(xiàn)i），0＜i≤L，其中ui＝（ui1ui2…uim）表示粒子i的位置向量，F(xiàn)i表示粒子i的當(dāng)前適應(yīng)值向量.設(shè)粒子i的速度向量為vi＝ （vi1vi2…vim）.種群的初始位置為ui＝（umin1＋r（umax1－umin1）umin2＋r（umax2－umin2） …uminm＋r（umaxm－uminm）），r為［0，1］間的隨機(jī)數(shù).在第t次迭代，粒子i的速度、位置、慣性權(quán)重的調(diào)整公式為［14］

式中：c1、c2為加速因子；r1、r2為［0，1］間的隨機(jī)數(shù)；Fbi＝（Fbi1Fbi2…Fbim），表示粒子i所經(jīng)歷過(guò)的歷史最好位置；Fg＝（Fg1Fg2…Fgm），表示整個(gè)粒子群中所有粒子發(fā)現(xiàn)的最好位置，即粒子群優(yōu)化獲得的控制量.

然而，傳統(tǒng)的粒子群優(yōu)化在初始化粒子群時(shí)，每個(gè)粒子被隨機(jī)分散到控制量的變化范圍內(nèi)，然后再進(jìn)行搜索.由于每次的求解控制量沒(méi)有與前一時(shí)刻的控制量建立聯(lián)系來(lái)限制控制量的變化，可能導(dǎo)致控制量的變化率很大.顯然，減小控制量的變化率可以對(duì)安全生產(chǎn)提供保障，以及延長(zhǎng)控制器的使用壽命.本文提出了高斯區(qū)域搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化來(lái)求解控制變量.所提出的優(yōu)化算法為了能達(dá)到既盡量限制控制量變化率又能保證控制效果的目標(biāo)，須加強(qiáng)粒子群的局部搜索能力，盡量在初始值附近搜索到最優(yōu)解.為此，將上一時(shí)刻的控制量考慮在內(nèi)，將其作為粒子群的高斯中心，粒子群以高斯分布形式散落在搜索區(qū)域內(nèi)，從粒子群中心開(kāi)始向外搜索.搜索的迭代過(guò)程中，修改粒子群的速度更新方式，以使搜索始終有指向粒子中心的向心力，直到目標(biāo)函數(shù)值滿足所設(shè)定的閾值或者達(dá)到最大迭代次數(shù).

2.1 基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化

2.1.1 高斯分布搜索 本文設(shè)計(jì)了一種擴(kuò)散算子并將其引入粒子群優(yōu)化算法.該擴(kuò)散算子是一個(gè)變異算子，采用高斯變異技術(shù).設(shè)種群中粒子位置初始值為u（k）＝（u1（k）u2（k） …un（k）），經(jīng)擴(kuò)散操作后的粒子位置u′（k＋1）＝（u′1（k＋1）u′2（k＋1） …u′n（k＋1））.則擴(kuò)散算子由式（2）表示：

其 中i＝1，2，…，n，δ′i為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，Ni（0，δ′i）為一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為δ′i.由于正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)在均值附近取值的概率較大，u′（k＋1）得到一個(gè)小步長(zhǎng)變化量的概率較大.換句話說(shuō)，粒子將在初始值附近進(jìn)行一次局部搜索的概率很大.利用式（2）初始化粒子群，有利于在小范圍內(nèi)搜索到最優(yōu)解.

2.1.2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化 為了增強(qiáng)粒子群優(yōu)化的搜索能力，本文對(duì)粒子群速度更新方式進(jìn)行了改進(jìn).在基本的速度更新方式中，粒子的局部最優(yōu)與全局最優(yōu)對(duì)粒子的狀態(tài)影響較大.在迭代過(guò)程中，粒子通過(guò)跟蹤這兩個(gè)“極值”來(lái)持續(xù)更新自己，以使自己向“極值”方向靠攏.本文將初始值u（k）引入速度更新公式，由式（3）表示：

此改進(jìn)加強(qiáng)了初始值對(duì)粒子運(yùn)行路線的干預(yù)程度，和局部最優(yōu)與全局最優(yōu)一樣起到對(duì)粒子的“拉拽”作用，使得粒子在搜索最優(yōu)解的同時(shí)，能兼顧搜索步長(zhǎng)的極小化.

2.2 初始解的生成

若初始種群中存在有最優(yōu)解或者次最優(yōu)解，算法會(huì)以較高效率收斂并停止.為減小粒子群優(yōu)化的求解時(shí)間，加快優(yōu)化計(jì)算速度，本文對(duì)初始種群的產(chǎn)生過(guò)程做出改進(jìn)，所提方法的核心思想是借用上一時(shí)刻的控制量來(lái)產(chǎn)生優(yōu)質(zhì)種群，不只是簡(jiǎn)單地隨機(jī)生成初始種群.

在第一步求解控制量時(shí)因?yàn)闆](méi)有“種子”信息，可以高斯隨機(jī)地產(chǎn)生全部初始種群進(jìn)行計(jì)算.在求解過(guò)程中，將上一時(shí)刻k優(yōu)化結(jié)果中的后P－1個(gè)控制量左移一位，最后一個(gè)控制量高斯隨機(jī)生成，構(gòu)成k＋1時(shí)刻的一個(gè)初始粒子（如圖3所示）.這種方法在保證了初始群體中存在優(yōu)良種子個(gè)體的同時(shí)保證群體的多樣性，可以加快算法收斂的速度，減少求解時(shí)間.

圖3 初始粒子的產(chǎn)生Fig.3 Initialization of particle

2.3 基于G－IPSO 的預(yù)測(cè)控制器

對(duì)一個(gè)有d步延遲的非線性被控對(duì)象，當(dāng)輸入控制量為u（k）時(shí)，輸出量為y（k＋d），通過(guò)被控對(duì)象過(guò)去的輸入輸出和當(dāng)前輸入u（k），由LS－SVM 預(yù)測(cè)器獲得系統(tǒng)的輸出預(yù)測(cè)值為（k＋d），對(duì)于待優(yōu)化的輸入u（k＋1）和上一時(shí)刻的輸入輸出，獲得系統(tǒng)的輸出預(yù)測(cè)值為（k＋d＋1）.系統(tǒng)實(shí)際的輸出量和預(yù)測(cè)值的偏差

用偏差修正（k＋d＋1）進(jìn)行反饋校正補(bǔ)償：

為一個(gè)非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化控制器，就是要通過(guò)粒子群優(yōu)化算法求得使適應(yīng)值函數(shù)最小的優(yōu)化控制量.設(shè)定控制量的適應(yīng)值函數(shù)為

式中：m為輸出變量個(gè)數(shù)，yr為參考軌跡，yp為經(jīng)反饋校正后的預(yù)測(cè)輸出，qi為輸出加權(quán)，ri為控制加權(quán)，P是控制時(shí)域，Δuj（k）＝uj（k）－uj（k－1）.

實(shí)際中，為了很好地限制控制量的變化，控制加權(quán)的選取就顯得格外重要，常規(guī)手段是經(jīng)過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)來(lái)確定控制加權(quán)系數(shù)，但這具有很強(qiáng)的主觀性.為了避免這種主觀性，又保證對(duì)輸入的變化量進(jìn)行限制，采用本文提出的基于高斯搜索的粒子群優(yōu)化來(lái)優(yōu)化控制變量，可以約簡(jiǎn)適應(yīng)值函數(shù)為

2.4 G－IPSO算法步驟

G－IPSO 算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟1 根據(jù)上一時(shí)刻的控制量u（k），將其作為粒子群的高斯中心，應(yīng)用2.1.1的方法產(chǎn)生高斯分布的初始粒子群u′（k＋1）.

步驟2 利用產(chǎn)生的粒子群，計(jì)算各自的適應(yīng)值，得出粒子群的全局最優(yōu)Fgm并記錄擁有最優(yōu)適應(yīng)值的粒子.

步驟3 判斷全局最優(yōu)適應(yīng)值Fgm是否滿足迭代停止條件.滿足或者達(dá)到最大迭代次數(shù)即退出尋優(yōu)過(guò)程，并將最優(yōu)粒子作為當(dāng)前時(shí)刻的控制量u（k＋1）作用到控制對(duì)象中.

步驟4 根據(jù)式（3）更新每個(gè)粒子的速度和位置，轉(zhuǎn)入步驟2.

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，采用兩類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：第一類(lèi)是對(duì)典型多峰值函數(shù)進(jìn)行控制，多峰值函數(shù)在同一控制目標(biāo)下會(huì)有多個(gè)解，適于驗(yàn)證本文算法的有效性；第二類(lèi)是工業(yè)過(guò)程實(shí)驗(yàn)，在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中也能夠有良好的應(yīng)用效果.

3.1 多峰值函數(shù)

為顯示基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法在約束控制量變化方面的優(yōu)越性，采用文獻(xiàn)［15］的輸入二維的多峰值函數(shù)（式（8））作為仿真模型，并與普通粒子群優(yōu)化進(jìn)行比較：

其中x∈［－1，1］，y∈［－1，1］.

3.1.1 參數(shù)設(shè)置

（1）LS－SVM 預(yù)測(cè)器中，利用該函數(shù)模型輸入變化幅度為x∈［－1，1］、y∈［－1，1］的隨機(jī)信號(hào)，仿真得到400組數(shù)據(jù)，前300組作為訓(xùn)練樣本，后100組作為測(cè)試樣本，離線訓(xùn)練最小二乘支持向量機(jī)模型.選擇參數(shù)分別為γ＝10，δ2＝0.05.

（2）本文算法優(yōu)化控制器中，設(shè)定δ′x＝δ′y＝0.1，P＝3，L＝50，最大迭代次數(shù)為200，閾值Fok＝10－7.

（3）控制目標(biāo)為正弦函數(shù)yr（k）＝0.8×sin（kπ／20），其中k為仿真步數(shù).仿真總步數(shù)為80.

3.1.2 實(shí)驗(yàn)效果與分析 實(shí)驗(yàn)效果如圖4～6所示.

從圖4可以看出，兩種優(yōu)化方法均能取得很好的控制效果.但是，圖5與6的結(jié)果表明傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化算法的x和y的變化量在搜索范圍內(nèi)大幅度波動(dòng)，顯然這對(duì)控制器來(lái)說(shuō)是不利的.而基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的x和y的變化量均在小范圍內(nèi)小幅度波動(dòng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠說(shuō)明基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化能在保證控制效果的前提下，對(duì)x和y的變化率起到明顯的約束作用.

圖4 f（x，y）在兩種優(yōu)化方法下的閉環(huán)響應(yīng)Fig.4 The closed－loop response of f（x，y）by two kinds of optimization methods

圖5 兩種優(yōu)化方法下x 的變化量Fig.5 The variation of xin two kinds of optimization methods

圖6 兩種優(yōu)化方法下y 的變化量Fig.6 The variation of yin two kinds of optimization methods

另外，鑒于粒子群優(yōu)化算法是隨機(jī)優(yōu)化算法，為了比較傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化算法和采用本文的基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的效果，本文給出多次實(shí)驗(yàn)的平均控制量變化率作為比較指標(biāo).

其中T代表仿真的總步數(shù)，u代表x或y.分別按照兩種方法做了10組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得到的控制量平均變化率如表1所示.

表1 傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化和本文算法控制多峰值函數(shù)的控制量變化率效果對(duì)比Tab.1 Comparative results of the control variable changing rate on multi－modal function between classic PSO and G－IPSO

從表1中可以明顯看出，與傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化搜索策略相比，在使用本文優(yōu)化算法之后，x、y的變化率都明顯降低，針對(duì)f（x，y）模型，控制量x和y的平均變化率均大幅度減小，說(shuō)明本文算法限制操作變量變化幅度的效果非常明顯.

3.2 工業(yè)模型

文獻(xiàn)［16］給出了某實(shí)驗(yàn)型球磨機(jī)磨礦回路在某工況下的動(dòng)態(tài)特性.在此模型中控制變量為球磨機(jī)給礦速率u1和泵池補(bǔ)水速率u2；兩個(gè)被控變量為溢流中通過(guò)104μm 孔徑的磨礦粒度質(zhì)量分?jǐn)?shù)y1和磨機(jī)排礦率y2.通過(guò)階躍響應(yīng)測(cè)試磨礦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型如式（10）所示：

3.2.1 參數(shù)設(shè)置

（1）Matlab 仿真中，仿真采樣時(shí)間 取0.5s［17］.為模擬現(xiàn)場(chǎng)情況，在控制量加載時(shí)疊加方差為0.01的高斯噪聲.

（2）LS－SVM 預(yù)測(cè)器中，利用該磨礦系統(tǒng)的離散模型輸入變化幅度為u1∈［0，1］、u2∈［0，1.2］的隨機(jī)信號(hào)，仿真得到1 000 組數(shù)據(jù).本文將前800組作為訓(xùn)練樣本，后200組作為測(cè)試樣本，離線訓(xùn)練粒度和磨機(jī)處理量的最小二乘支持向量機(jī)模型.選擇參數(shù)分別為γ＝50 000，δ2＝50和γ＝20 000，δ2＝100.

（3）本文算法優(yōu)化控制器中，設(shè)定δ′x＝δ′y＝0.1，P＝3，L＝70，最大迭代次數(shù)500，閾值Fok＝10－6.

3.2.2 仿真結(jié)果與分析 采用基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化的系統(tǒng)跟蹤粒度設(shè)定值和磨機(jī)排礦速率設(shè)定值的控制效果如圖7～10所示.

從圖7和8可以看出，即使工作點(diǎn)變化較大，采用本文提出的基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化的預(yù)測(cè)控制器也可以無(wú)超調(diào)地跟蹤設(shè)定值的變化，并且具有足夠快的響應(yīng)速度.而且，從圖9和10可以看出大幅度地切換設(shè)定值不會(huì)導(dǎo)致控制量的突變.由于粒子群優(yōu)化算法是隨機(jī)搜索算法，控制系統(tǒng)輸出存在很小的靜態(tài)誤差.

圖7 磨礦粒度的閉環(huán)響應(yīng)Fig.7 The closed－loop response of grinding size

圖8 磨機(jī)處理量的閉環(huán)響應(yīng)Fig.8 The closed－loop response of mill throughput

為了驗(yàn)證該控制器的抗干擾能力，在仿真第20步時(shí)加入給礦干擾，使給礦量變化0.1；在仿真第40步時(shí)加入補(bǔ)加水干擾，使補(bǔ)加水變化0.1，仿真結(jié)果如圖11～14所示.

圖9 給礦速率的閉環(huán)響應(yīng)Fig.9 The closed－loop response of fresh feed rate

圖10 泵池補(bǔ)加水的閉環(huán)響應(yīng)Fig.10 The closed－loop response of water addition rate to the sump

圖11 干擾條件下磨礦粒度的閉環(huán)響應(yīng)Fig.11 The closed－loop response of grinding size under interference

從圖11和12可以看出，磨礦粒度和磨機(jī)處理量的實(shí)際值均出現(xiàn)了一定量的擾動(dòng)，但整個(gè)系統(tǒng)并沒(méi)有受到較大的影響，擾動(dòng)過(guò)后迅速恢復(fù)正常，說(shuō)明該預(yù)測(cè)控制器對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)具有良好的魯棒性.而且，從圖13和14可以看出，在系統(tǒng)受到擾動(dòng)，控制量波動(dòng)后迅速恢復(fù)小范圍的變化.

圖12 干擾條件下磨機(jī)處理量的閉環(huán)響應(yīng)Fig.12 The closed－loop response of mill throughput under interference

圖13 干擾條件下給礦速率的閉環(huán)響應(yīng)Fig.13 The closed－loop response of fresh feed rate under interference

圖14 干擾條件下泵池補(bǔ)加水的閉環(huán)響應(yīng)Fig.14 The closed－loop response of water addition rate to the sump under interference

為了比較未加操作變量變化限制和采用本文算法的效果，同圖7、8的控制要求，以式（9）作為比較指標(biāo)，分別按照兩種算法做了10 組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得到的平均控制量變化率如表2所示.

從表2中明顯看出，與傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化搜索策略相比，在使用本文算法后，u1、u2變化率都明顯降低，說(shuō)明該算法對(duì)復(fù)雜的工業(yè)系統(tǒng)的操作變量亦有優(yōu)越的約束能力，具有良好的應(yīng)用前景.

表2 傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化和本文算法控制磨礦過(guò)程的控制量變化率效果對(duì)比Tab.2 Comparative results of the control variable changing rate on grinding process between classic PSO and G－IPSO

4 結(jié) 語(yǔ)

為限制預(yù)測(cè)控制中控制變量的變化幅度，又能保證控制效果，本文提出一種基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，并將此算法與LS－SVM 相融合建立非線性預(yù)測(cè)控制器.仿真結(jié)果表明該算法在對(duì)球磨機(jī)磨礦回路進(jìn)行控制中能夠取得滿意的控制效果，控制器具有很快的響應(yīng)速度和較高的魯棒性.證明本文提出的基于高斯搜索的改進(jìn)粒子群優(yōu)化，與傳統(tǒng)的粒子群優(yōu)化相比，能夠有效地約束控制量的變化.

［1］ Méndez D A，Gálvez E D，Cisternas L A.Modeling of grinding and classification circuits as applied to the design of flotation processes［J］.Computers and Chemical Engineering，2009，33（1）：97－111.

［2］ 程 恒.模糊PID 控制技術(shù)在磨礦系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］.礦山機(jī)械，2010，38（3）：76－79.CHENG Heng.Application of the fuzzy PID control technology to the grinding system ［J］.Mining ＆Processing Equipment，2010，38（3）：76－79.（in Chinese）

［3］ Pomerleau A，Hodouin D，Desbiens A，etal.A survey of grinding circuit control methods：from decentralized PID controllers to multivariable predictive controllers ［J］.Powder Technology，2000，108（2）：103－115.

［4］ 王介生，孫世峰.磨礦過(guò)程參數(shù)自整定PID 解耦控制器的設(shè)計(jì)［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2011，23（10）：2220－2223.WANG Jie－sheng，SUN Shi－feng.Design of selftuning PID decoupling controller of grinding process［J］.Journal of System Simulation，2011，23（10）：2220－2223.（in Chinese）

［5］ Balaji V，Vasudevan N.Model predictive control of pH in pharmaceutical process［C］／／IEEE 2009 International Conference on Mechatronics，ICM 2009.Piscataway：IEEE Computer Society，2009：4957127.

［6］ Moon U C，Lee K Y.Step－response model development for dynamic matrix control of a drumtype boiler－turbine system ［J］.IEEE Transactions on Energy Conversion，2009，24（2）：423－430.

［7］ 侯志祥，吳義虎，袁松貴，等.基于AEPSO 優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多步預(yù)測(cè)控制［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，38（6）：1162－1168.HOU Zhi－xiang，WU Yi－h(huán)u，YUAN Song－gui，et al.Multi－steps predictive control of neural networks based on AEPSO optimization ［J］.Journal of Central South University：Science and Technology，2007，38（6）：1162－1168.（in Chinese）

［8］ LI Li－juan，SU Hong－ye，CHU Jian.Generalized predictive control with online least squares support vector machines［J］.Acta Automatica Sinica，2007，33（11）：1182－1188.

［9］ WANG Xu－h(huán)ong，HU Deng－yu.Support vector machine based predictive control for active power filter ［C］／／ ICIEA 2007：2007 Second IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications.Piscataway：IEEE Computer Society，2007：559－562.

［10］ 穆朝絮，張瑞民，孫長(zhǎng)銀.基于粒子群優(yōu)化的非線性系統(tǒng)最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測(cè)控制方法［J］.控制理論與應(yīng)用，2010，27（2）：164－168.MU Chao－xu，ZHANG Rui－min，SUN Chang－yin.LS－SVM predictive control based on PSO for nonlinear systems ［J］.Control Theory ＆Applications，2010，27（2）：164－168.（in Chinese）

［11］ 李 濤，呂勇哉，陳 鵬.基于SVM 和PSO 的新型非線性模型預(yù)測(cè)控制［J］.控制工程，2008，15（增刊）：102－105.LI Tao，LV Yong－zai，CHEN Peng.New NMPC based on the integration of SVM and PSO ［J］.Control Engineering of China，2008，15（S1）：102－105.（in Chinese）

［12］ 夏曉華，劉 波，欒志業(yè)，等.基于PSO 的預(yù)測(cè)控制及在聚丙烯中的應(yīng)用［J］.控制工程，2006，13（5）：1－3.XIA Xiao－h(huán)ua，LIU Bo，LUAN Zhi－ye，etal.PSO based predicted control and its application to temperature control of polypropylene reactor［J］.Control Engineering of China，2006，13（5）：1－3.（in Chinese）

［13］ 龍 文，梁昔明，龍祖強(qiáng).基于混合PSO 優(yōu)化的LSSVM 鍋爐煙氣含氧量預(yù)測(cè)控制［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，43（3）：980－985.LONG Wen，LIANG Xi－ming，LONG Zu－qiang.O2content in flue gas of boilers predictive control based on hybrid PSO and LSSVM ［J］.Journal of Central South University：Science and Technology，2012，43（3）：980－985.（in Chinese）

［14］ SHI Yu－h(huán)ui，Eberhart R.Modified particle swarm optimizer［C］／／Proceedings of the IEEE Conference on Evolutionary Computation，ICEC.Piscataway：IEEE，1998：69－73.

［15］ 呂 佳.基于人工免疫網(wǎng)絡(luò)的多峰值函數(shù)優(yōu)化［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，23（3）：45－48.LV Jia.Multi－modal function optimization based on artificial immune network［J］.Journal of Chongqing Normal University：Natural Science Edition，2006，23（3）：45－48.（in Chinese）

［16］ Ramasamy M，Narayanan S S，Rao Ch D P.Control of ball mill grinding circuit using model predictive control scheme［J］.Journal of Process Control，2005，15（3）：273－283.

［17］ 馮國(guó)良，李太福，鐘秉翔，等.純滯后控制系統(tǒng)采樣周期的選擇［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，26（6）：125－128.FENG Guo－liang，LI Tai－fu，ZHONG Bing－xiang，etal.Sample period′s choice problem of control system with pure delay［J］.Journal of Chongqing University，2003，26（6）：125－128.（in Chinese）