一類二階非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

李廣兵，唐先華

（中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410083）

一類二階非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

李廣兵，唐先華

（中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410083）

研究了Banach空間中含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的二階非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，通過(guò)建立一個(gè)新的比較定理，證明了該問(wèn)題最大解和最小解的存在性.

微分積分方程；兩點(diǎn)邊值問(wèn)題；單調(diào)迭代技巧

0 引言

本文考慮實(shí)Banach空間E中二階非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：

其中：J＝［0，1］，f∈C（J×E×E，E），A0≥0為常數(shù)，α0＞0，α1＞0，β0≥0，β1≥0，b0≤0，b1≤0，k∈C（D1， R＋）.D1＝｛（t，s）∈J×J｜t≥s｝，R＋表示所有非負(fù)實(shí)數(shù)集合.令

最近，許多文獻(xiàn)利用單調(diào)迭代方法來(lái)研究微分或積分方程的邊值問(wèn)題［1－13］.特別地，文獻(xiàn)［1］考慮了二階非線性微分積分方程（1）的周期邊值問(wèn)題.但據(jù)我們所知，形如（1）和（2）的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題尚未發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的存在性定理.本文受文獻(xiàn)［1］的啟發(fā)，通過(guò)建立一個(gè)新的比較定理，研究了含有一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的二階非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（1）和（2）的最大最小解的存在性，拓寬了微分積分方程在實(shí)際中的應(yīng)用.

1 比較定理

設(shè)P是E中的錐，E中的半序“≤”由錐P導(dǎo)出.稱P是正則的，如果E中的每個(gè)按序有上界的增序列必有極限.

引理1 設(shè)k（t，s）：［0，1］×［0，1］→R非負(fù)連續(xù)，p（t）∈C2（［0，1］，E）滿足

其中：M＞0；N為常數(shù)，且滿足

則

證明對(duì)任意φ∈P＊（P＊是P的對(duì)偶錐）.令m（t）＝φ（p（t）），則m（t）∈C2（J，R＋）且由（3），（4）式

可得：

下面用反證法.假設(shè)（7）式不成立，則存在t0∈［0，1］，使得

若t0∈（0，1），則m′（t0）＝0，m″（t0）≤0.以下分兩種情形：

情形（ⅰ）N≤0.由（8）式可知，當(dāng)0≤s≤t0時(shí)，有m（s）≤m（t0）＝m0.注意到k（t，s）≥0，則

于是，由（3）式可得

注意到m0＞0，即上式可簡(jiǎn)寫(xiě)成

這與（5）式矛盾.

情形（ⅱ）N＞0.若?t∈［0，t0］，有m（t）≥0，則由（3）式可知

這與m″（t0）≤0矛盾.故存在t1∈［0，t0］，使得

由于m（t0）＞0，則t1≠t0，即t1∈［0，t0）.?t∈［0，t0］，有

另一方面，

注意到λ＜0，則上式化簡(jiǎn)得

這與（6）式矛盾.

若t0＝0.由（8）式可知，m（0）＞0，則m′（0）≤0.于是，由α0＞0，β0≥0可得

這與b0≤0矛盾.

若t0＝1.由（8）式可知，m（1）＞0，則m′（1）≥0.于是，由α1＞0，β1≥0可得

這與b1≤0矛盾.

綜上所述，（8）式成立.

引理2［4］設(shè)E是半序Banach空間，x0，y0∈E，x0≤y0，D＝［x0，y0］，A：D→E是一個(gè)算子.若滿足下列條件：

（ⅰ）A是增算子；

（ⅱ）x0是A的下解，y0是A的上解；

（ⅲ）A是連續(xù)算子；

（ⅳ）A（D）是E中的相對(duì)列緊集.

則A在D中必有最小不動(dòng)點(diǎn)x＊和最大不動(dòng)點(diǎn)y＊，并且若分別以x0和y0為初始元素，作迭代序列：

則有

且

2 主要結(jié)果

令

對(duì)任意的h（t）∈C（J，E），考慮下列線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：

其中：M＞0；N為常數(shù)滿足（5），（6）式，且

直接驗(yàn)證知，線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（11），（12）等價(jià)于下列積分方程：

其中：

利用常規(guī)方法（如壓縮映射原理）可知，線性積分方程（14）對(duì)任給h∈C（J，R）都有唯一解uh∈C（J，R）.定義

下面考慮非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（1），（2）.

定理1 設(shè)錐P是E中的正則錐，且對(duì)?r＞0，集f（J，Br，Br）有界，其中Br＝｛u∈E‖u‖≤r｝，又設(shè)存在v0（t）∈C2（J，E），w0（t）∈C2（J，E），使得v0（t）和w0（t）分別是二階非線性微分積分方程邊值問(wèn)題（1），（2）的下解和上解，即：

并且

再設(shè)存在常數(shù)M和N，滿足（5）或（6）式，且滿足（13）式及

則非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（1），（2）在

中存在最小解v＊（t）和最大解w＊（t），并且存在單調(diào)迭代序列｛vn（t）｝和｛wn（t）｝，在J上分別一致收斂于v＊（t）和w＊（t）.

證明對(duì)任給的u∈D，定義算子如下：

設(shè)K由（15）式定義，令A(yù)＝KF.下面證明A是增算子.設(shè)u1，u2∈D，u1≤u2，則由（16）式及F的定義可知Fu1≤Fu2.

令y1＝Au1，y2＝Au2，則由K的定義知：

令m（t）＝y(tǒng)1（t）－y2（t），由上述幾式可得

由引理1可知，m（t）≤0，即

這表明A是增算子.下面證明

令v1＝Av0，則由K的定義可知?t∈J，有

令n（t）＝v0（t）－v1（t），由于v0是問(wèn)題（1），（2）的下解，則

由引理1可知，n（t）≤0，即v0≤Av0，同理可證Aw0≤w0.令

則由A是增算子及歸納法容易證明：

由A的定義可知，顯然A是連續(xù)算子.最后證明A（D）是C（J，E）中的相對(duì)列緊集.由于P是正則的，則.又P正規(guī)，由（19）式和f（J，Br，Br）的有界性及（14）式可知，｛vn（t）｝在J上是等度連續(xù)的，從而｛vn｜t＝0，1，2，…｝是C（J，E）中相對(duì)緊集.注意到P正規(guī)及（19）式，可得｛vn（t）｝在J上一致收斂于某個(gè)v＊（t）∈C2（J，E），根據(jù)A的連續(xù)性可知，v＊（t）是問(wèn)題（1），（2）的解.同理可證，｛wn（t）｝在J上一致收斂于某個(gè)w＊（t）∈C2（J，E），且w＊（t）是問(wèn)題（1），（2）的解.若u∈C2（J，E）是問(wèn)題（1），（2）在［v0，w0］中的任意解，則根據(jù)引理1，容易驗(yàn)證v＊（t）≤u（t）≤w＊（t）.

因此，根據(jù)引理2可知結(jié)論成立.

當(dāng)A0＝0時(shí)，即（1）式不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u′時(shí)，我們得到下面的結(jié)論.

定理2 令A(yù)0＝0.設(shè)錐P是E中的正則錐，且?r＞0，集f（J，Br，Br）有界，其中又設(shè)存在v0（t）∈C2（J，E），w0（t）∈C2（J，E），使得v0（t）和w0（t）分別是二階非線性微分積分方程邊值問(wèn)題（1），（2）的下解和上解，并且

再設(shè)存在常數(shù)M和N，滿足（5）或（6）式，且滿足（13）式及

則非線性微分積分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（1），（2）在

中存在最小解v＊（t）和最大解w＊（t），并且存在單調(diào)迭代序列｛vn（t）｝和｛wn（t）｝在J上分別一致收斂于v＊（t）和w＊（t）.

［1］ 張曉燕，孫經(jīng)先，蘇軍.Banach空間中二階非線性微分積分方程周期邊值問(wèn)題［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（3）：555－558.

［2］ CHEN YUBO，ZHUANG WAN.On monotone iterative method for periodic boundary value problems of nonlinear integrodifferential equations［J］.Nonlinear Anal，1994，22：295－303.

［3］ CHEN FANGQI，CHEN YUSHU.On monotone iterative－method for initial value problems of nonlinear second－order integrodifferential equations in Banach space［J］.Appl Math Mech，2000，21（5）：459－467.

［4］ GUO DAJUN.Initial value problems for second－order integro－differential equations in Banach space［J］.Nonlinear Anal，1999，37：289－300.

［5］ 郭大鈞，孫經(jīng)先，劉兆理.非線性常微分方程泛函方法［M］.濟(jì)南：山東科技出版社，1995：1－75.

［6］ 高云柱，葉莉瑛.二階非線性常微分積分方程周期邊值問(wèn)題［J］.北華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，5（6）：485－487.

［7］ HAO ZHAOCAI，LIU LISHAN.Global solutions of initial value problems for nonlinear integro－differential equations of mixed type in Banach space［J］.Indian J Pure Appl Math，2002，33（9）：1417－1430.

［8］ LIZ E，NIETO J J.Boundary value problems for second order integro－differential equations of Fredholm type［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，1996，72（2）：215－225.

［9］ 馬如云，白定勇.二階非線性邊值問(wèn)題解的存在唯一定理［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，1998，14（2）：61－64.

［10］ 苗鳳華，宋玥薔.一類三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性和唯一性［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，46（2）：9－11.

［11］ SONG GUANGXING.The solutions of initial value problems for second－order integro－differential equations in Banach space［J］.Acta Math Sinica，2004，47（1）：71－78.

［12］ SU HUA，LIU LISHAN，et al.Global solutions of initial value problems for nonlinear second－order Integro－differential equations of mixed type in Banach spaces［J］.Math Anal Appl，2007（330）：1139－1151.

［13］ 王文波，裴明鶴.二階非線性微分積分方程Robin邊值問(wèn)題解的存在性［J］.北華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，5（6）：481－484.

Two－point boundary value problems to a class
of nonlinear second order integro－differential equations

LI Guang－bing，TANG Xian－h(huán)ua
（School of Mathematics and Statistics，Central South University，Changsha 410083，China）

In this paper，by establishing a new comparison result，the existence of maximal and minimal solutions of two－point boundary value problems for nonlinear second order integro－differential equations in Banach spaces is obtained.

integro－differential equations；two－point boundary value problem；monotone iterative technique

O 175.6 ［學(xué)科代碼］ 110·34 ［

］ A

（責(zé)任編輯：陶理）

1000－1832（2015）01－0026－05

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.006

2013－06－22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171351）.

李廣兵（1990—），男，碩士研究生，主要從事微分方程動(dòng)力系統(tǒng)研究.