一種大地坐標(biāo)變換近似算法

馬 娟，倪世道，任小葉

(中國電子科技集團(tuán)公司第38研究所，合肥 230031)

?

一種大地坐標(biāo)變換近似算法

馬 娟，倪世道，任小葉

(中國電子科技集團(tuán)公司第38研究所，合肥 230031)

機(jī)載雷達(dá)數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)需要頻繁使用大地坐標(biāo)變換算法將測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到公共參考坐標(biāo)系下。針對(duì)精度要求相對(duì)較低但計(jì)算負(fù)載大的機(jī)載預(yù)警雷達(dá)系統(tǒng)，提出一種近似大地坐標(biāo)變換算法以解決常規(guī)算法計(jì)算復(fù)雜度大、需要迭代實(shí)現(xiàn)等問題。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：文中所提算法精度損失較小，計(jì)算復(fù)雜度低。

大地坐標(biāo)變換；近似算法；計(jì)算復(fù)雜度；精度

0 引 言

機(jī)載雷達(dá)系統(tǒng)中，載機(jī)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，雷達(dá)測量值的坐標(biāo)中心不斷發(fā)生變化，同時(shí)接收其它傳感器的參考信息可能采用不同的坐標(biāo)系。因此，為獲得可靠的目標(biāo)信息，需要將測量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到公共參考坐標(biāo)系下[1]。坐標(biāo)變換算法直接影響雷達(dá)系統(tǒng)的計(jì)算效率和情報(bào)質(zhì)量。目前，應(yīng)用較多的坐標(biāo)變換方法有球極投影法、大地坐標(biāo)變換法及平移變換法等。作為一種高精度的坐標(biāo)變換方法，大地坐標(biāo)變換方法已經(jīng)在很多領(lǐng)域獲得成功應(yīng)用[2-3]。該方法以大地坐標(biāo)系為統(tǒng)一坐標(biāo)系進(jìn)行變換，即利用大地坐標(biāo)完成從傳感器測量值所在坐標(biāo)系到跟蹤或指控中心所在坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。傳統(tǒng)的大地坐標(biāo)變換算法從地心直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到地理坐標(biāo)系時(shí)需要多次迭代實(shí)現(xiàn)，本文所提近似算法不需要迭代計(jì)算，在保障精度損失較小的情況下顯著降低了算法的計(jì)算復(fù)雜度。

1 標(biāo)準(zhǔn)大地坐標(biāo)變換算法

常用的大地坐標(biāo)有2種表示方式：地心直角坐標(biāo)系(ECEF)與地理坐標(biāo)系(LGLT)[3]。圖1為大地坐標(biāo)示意圖。地心直角坐標(biāo)系是一種慣性坐標(biāo)系，原點(diǎn)選在地球球心，X軸沿赤道平面指向本初子午線，Z軸沿地球自轉(zhuǎn)軸指向北極，Y軸在赤道平面內(nèi)與X軸垂直并形成右手坐標(biāo)系。地理坐標(biāo)系用經(jīng)度、緯度和高度表示。經(jīng)度L定義為點(diǎn)T在赤道平面上的投影T′與X軸的夾角；過參考橢球上一點(diǎn)M的垂線TM與赤道平面相交的角度B為地理緯度(也稱大地緯度)，過參考橢球體上一點(diǎn)N與地心O的連線OT與赤道平面的夾角B′為地心緯度。一般情況下，緯度默認(rèn)為地理緯度。

圖1 大地坐標(biāo)示意圖

假設(shè)雷達(dá)的經(jīng)度、緯度和高度分別為L、B、h，則其在地心直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：

(1)

式(1)將地理坐標(biāo)系參數(shù)轉(zhuǎn)換到地心直角坐標(biāo)系，該過程中未帶入任何誤差。

假設(shè)雷達(dá)在地心直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為x、y、z，則其在地理坐標(biāo)系中可表示為：

(2)

由于從地心直角坐標(biāo)系到地理坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方程式為非閉形式，故由x、y、z獲得對(duì)應(yīng)的L、B、h較為困難，需經(jīng)過多次迭代實(shí)現(xiàn)。

2 大地坐標(biāo)變換近似算法

2.1 橢圓相關(guān)公式

圖2為經(jīng)過T所在經(jīng)度線，并通過地軸的局部切面圖，即圖2上弧MN所在經(jīng)度的切面。JOK為1/4橢圓，點(diǎn)P、Q分別為過點(diǎn)M的橢圓切線與W軸、Z軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)M作W軸的垂線，R為垂足。根據(jù)橢圓和橢球性質(zhì)，可得JOK所在橢圓方程和過橢圓上點(diǎn)M(w0，z0)的橢圓切線方程：

(3)

(4)

式中:w2=x2+y2。

圖2 沿經(jīng)度線過地軸的1/4切面圖

根據(jù)相似三角形原理和式(4)，可得:

(5)

因此:

(6)

(7)

(8)

將式(7)代入橢圓方程，可得:

(9)

(10)

由三角函數(shù)公式和式(8)、(9)，可得:

(11)

根據(jù)相似三角形原理和式(6)，可得：

(12)

(13)

由三角函數(shù)公式和式(13)，可得：

(14)

由三角函數(shù)正切公式和式(8)、式(14)可得：

2.2 LGLT到ECEF變換公式

雷達(dá)載機(jī)和目標(biāo)所在高度h一般小于1.5×104m，而CM大于6×107(見式(10))，由式(14)可得：

(16)

因此，地心緯度B′可由下式近似計(jì)算：

(17)

由式(15)可知：

(18)

由于β值很小，所以:

OT≈OM+h

(19)

(20)

從LGLT到ECEF近似變換公式為：

(21)

通過上述變換，x、y、z的誤差數(shù)量級(jí)為101m，誤差為十萬分之一。

2.3 ECEF到LGLT變換公式

根據(jù)與前面相同的近似關(guān)系，可得：

(22)

通過上述反變換，L無誤差，B的誤差值數(shù)量級(jí)為10-6，h的誤差值數(shù)量級(jí)為10-2m。

3 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

取中國范圍內(nèi)的經(jīng)度(73°～135°)、緯度(4°～53°)和雷達(dá)探測范圍內(nèi)的高度(0～15 000 m)，將本文所提近似算法與精確計(jì)算的結(jié)果比較，統(tǒng)計(jì)近似算法的轉(zhuǎn)換誤差。其中精確計(jì)算時(shí)從地心直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到地理坐標(biāo)系采用迭代實(shí)現(xiàn)，緯度計(jì)算誤差小于(10-6)°。

為了充分說明近似算法的誤差范圍，對(duì)比實(shí)驗(yàn)包括3個(gè)：

(1) 經(jīng)度變化，觀察轉(zhuǎn)換誤差與經(jīng)度關(guān)系。目標(biāo)緯度為28°，高度為8 000 m，經(jīng)度以相同步長變化50次，變化范圍為73～135°。比較近似算法從LGLT到ECEF和從相應(yīng)的真實(shí)ECEF到LGLT轉(zhuǎn)換誤差。

(2) 緯度變化，觀察轉(zhuǎn)換誤差與緯度關(guān)系。目標(biāo)經(jīng)度為104°，高度為8 000 m，緯度以相同步長變化50次，變化范圍為4～53°。比較近似算法從LGLT到ECEF和從相應(yīng)的真實(shí)ECEF到LGLT轉(zhuǎn)換誤差。

(3) 高度變化，觀察轉(zhuǎn)換誤差與高度關(guān)系。目標(biāo)經(jīng)度為104°，目標(biāo)緯度為28°，高度以相同步長變化50次，變化范圍為0～15 000 m。比較近似算法從LGLT到ECEF和從相應(yīng)的真實(shí)ECEF到LGLT轉(zhuǎn)換誤差。

圖3為3組對(duì)比實(shí)驗(yàn)的經(jīng)度轉(zhuǎn)換誤差。從圖上可以明顯看出，經(jīng)度轉(zhuǎn)換無誤差。

圖3 近似算法的經(jīng)度轉(zhuǎn)換誤差

圖4為3組對(duì)比實(shí)驗(yàn)的緯度轉(zhuǎn)換誤差。

圖4 近似算法的緯度轉(zhuǎn)換誤差

在本文的實(shí)驗(yàn)條件下，緯度轉(zhuǎn)換的最大誤差為(-3.75×10-4)°。

圖5為3組對(duì)比實(shí)驗(yàn)的高度轉(zhuǎn)換誤差。

圖5 近似算法的高度轉(zhuǎn)換誤差

在本文的實(shí)驗(yàn)條件下，高度轉(zhuǎn)換的最大誤差為-0.057m。

圖6為3組對(duì)比實(shí)驗(yàn)的X坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差。在本文的實(shí)驗(yàn)條件下，X坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最大誤差為7.36 m。

圖6 近似算法的X坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差

圖7為3組對(duì)比實(shí)驗(yàn)的Y坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差。在本文的實(shí)驗(yàn)條件下，Y坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最大誤差為-20 m。

圖7 近似算法的Y軸轉(zhuǎn)換誤差

圖8為3組對(duì)比實(shí)驗(yàn)的Z坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差。在本文的實(shí)驗(yàn)條件下，Z坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的最大誤差為36.83 m。

圖8 近似算法的Z軸轉(zhuǎn)換誤差

綜合圖3～圖8可以看出，不管是從LGLT轉(zhuǎn)換到ECEF還是從ECEF轉(zhuǎn)換到LGLT，本文算法的精度損失都很小，完全滿足常規(guī)雷達(dá)的精度轉(zhuǎn)換要求。

4 結(jié)束語

標(biāo)準(zhǔn)大地坐標(biāo)變換算法中，由地理坐標(biāo)系參數(shù)可以較容易地獲得地心直角坐標(biāo)系參數(shù)，而從地心直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到地理坐標(biāo)系則需要經(jīng)過多次迭代才能獲得精度許可范圍內(nèi)的參數(shù)。本文所提的近似算法不需迭代即可實(shí)現(xiàn)兩者之間的相互轉(zhuǎn)換，顯著 降低了計(jì)算量，數(shù)學(xué)分析和仿真實(shí)驗(yàn)證明該算法具有較高的精度，適用于坐標(biāo)變換頻繁使用或?qū)纫蟛皇翘貏e高的機(jī)載雷達(dá)數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)。

[1] 何友，修建娟，關(guān)欣，等.雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2013.

[2] 王放，魏璽章，黎湘.傳感器組網(wǎng)坐標(biāo)變換及其精度分析[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2005,27(7):1231-1234.

[3] 蘇海軍，林宏亮，李俠，等.基于ECEF的雷達(dá)組網(wǎng)目標(biāo)綜合定位精度分析[J].空軍雷達(dá)學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，21(2):88-89.

[4] 張勤，李家權(quán).GPS測量原理及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[5] 韓崇昭，朱洪艷，段戰(zhàn)勝，等.多源信息融合[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006.

An Approximate Algorithm of Geodetic Coordinate Transformation

MA Juan,NI Shi-dao,REN Xiao-ye

(No.38 Research Institute of CETC,Hefei 230031，China)

The geodetic coordinate transformation algorithm is used frequently to transform the measured data into the data in common reference coordinate in airborne radar data processing system.For airborne early warning radar system with lower accuracy request and large calculation load,this paper presents a kind of approximate algorithm of geodetic coordinate transformation to resolve the problems such as large calculation complexity and iteration implementation,etc..The numerical value calculation result shows that the accuracy loss of the algorithm presented in this paper is small and the calculation complexity is low.

geodetic coordinate transformation；approximate algorithm；calculation complexity；accuracy

2015-04-30

TN959.72

A

CN32-1413(2015)04-0040-04

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.04.011