數(shù)學(xué)課程體系中的知識組織方式

張月蓮周啟元 劉麗芳 陳曄

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數(shù)學(xué)課程體系中的知識組織方式

張月蓮,周啟元, 劉麗芳, 陳曄

(湖南文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院, 湖南常德, 415000)

以無窮小量、重要極限、微分中值定理及泰勒公式等知識點(diǎn)為例,探討了課程體系中科學(xué)合理的知識組織方式, 并分析了不同的組織方式對教學(xué)效果的影響。結(jié)果表明: 知識內(nèi)容在體系中相互滲透, 聯(lián)系客觀存在; 合理的知識組織方式及課程知識體系的更新對知識的充分理解、正確接受有重要幫助。因此, 探討數(shù)學(xué)課程體系中知識組織方式是十分必要的。

數(shù)學(xué)課程體系; 知識組織方式; 探討

無論是國內(nèi), 還是國外, 由于數(shù)學(xué)在自然科學(xué)和社會科學(xué)中的地位和作用, 以及數(shù)學(xué)的歷史性和社會性, 對數(shù)學(xué)的課程體系、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段的探討一直是數(shù)學(xué)教育和教育數(shù)學(xué)長期而持久的課題。對數(shù)學(xué)教育進(jìn)行研究的目的, 歸根結(jié)底是讓數(shù)學(xué)容易學(xué), 讓學(xué)習(xí)者認(rèn)識到數(shù)學(xué)體系的價值, 使數(shù)學(xué)服務(wù)于人類, 造福人類[1]。怎樣讓數(shù)學(xué)容易學(xué), 不同的知識組織方式會有截然不同的效果。近些年, 教學(xué)手段和教學(xué)方法的不斷推陳出新, 對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了強(qiáng)化, 也不斷調(diào)整了知識的組織方式。在近年來不斷改版和重新編寫的教材中, 這種調(diào)整只限于現(xiàn)有指定教材內(nèi)容模塊的組合, 而沒有反思教材本身的組織方式是否是最佳的方式。因此, 探討相關(guān)知識內(nèi)容的相對較好的組織方式對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難易有十分重要的影響, 也有十分重要的意義。

1 知識組織方式的客觀性與必要性

已有的相關(guān)文獻(xiàn)只是在現(xiàn)有教材內(nèi)容基礎(chǔ)上, 探討教什么和怎么教的問題, 而沒有注重教材本身的體系和知識組織方式的問題。進(jìn)入了課堂的數(shù)學(xué)內(nèi)容, 是不同的人在不同的時間、不同的地點(diǎn), 為解決不同的問題而創(chuàng)造出來的, 它們中的大部分并不是為了教學(xué)目的而設(shè)立的, 這些內(nèi)容是否相互結(jié)合得很好, 適合教授和學(xué)習(xí)都是值得探討的。本文以高等數(shù)學(xué)中的某些知識點(diǎn)為例探討知識組織方式的客觀性與必要性[2]。

無窮小量是高等數(shù)學(xué)中十分重要的概念。什么是無窮小量？為什么要學(xué)習(xí)無窮小量？無窮小量的價值和意義應(yīng)該以什么樣的方式傳授給學(xué)習(xí)者？后繼的概念和理論是怎樣使用無窮小量的? 等等這些問題的解答都需要客觀而綜合的相關(guān)知識組織體系。事實上, 牛頓和萊布尼茨從直觀的無窮小量出發(fā)建立了微積分, 這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析, 如后面課程中的導(dǎo)數(shù)概念就是2個無窮小量的商的極限問題。只有對課程體系中的無窮小量相關(guān)知識選擇符合學(xué)生認(rèn)知過程的組織方式, 才能最恰當(dāng)?shù)刈寣W(xué)習(xí)者準(zhǔn)確快速弄清楚無窮小量這一概念。因此,對現(xiàn)有知識組織方式做合理及必要的調(diào)整是有意義的, 其客觀性與必要性也是顯而易見的。

2 知識組織方式的理論性與滲透性

數(shù)學(xué)家是為了解決問題, 通過提出理論以獲得更為深刻的理解而工作的。數(shù)學(xué)家所追求的是“在極度復(fù)雜的事物中揭示出的極度的簡單性; 在極度離散的事物中概括出的極度的統(tǒng)一性; 在極度無序的事物中發(fā)現(xiàn)的極度的對稱性; 在極度平凡的事物中認(rèn)識到的極度的奇異性?！盵4–5]

數(shù)學(xué)家的研究成果若寫進(jìn)教材, 教師應(yīng)立足于實際的教學(xué)問題和教學(xué)對象, 使新獲得的知識與已有的知識經(jīng)驗之間產(chǎn)生更為廣泛的聯(lián)系, 從而真正成為很好地組織起來的整體性知識的一個有機(jī)組成部分。如微分中值定理這一內(nèi)容中介紹的3個定理: 羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理, 教材中只是強(qiáng)調(diào)其理論性即結(jié)論和證明, 而對其進(jìn)一步的滲透性即價值和地位表述甚少。事實上, 羅爾定理與拉格朗日定理將函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)緊密相連。在已有知識體系中, 有限增量公式與費(fèi)馬定理建立起了這種聯(lián)系。費(fèi)馬定理: 導(dǎo)函數(shù)′()的零點(diǎn)與原函數(shù)()的極值點(diǎn)有關(guān)系, 原函數(shù)()是可能的極值點(diǎn), 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取得最大(小)值, 則該最大(小)值點(diǎn)就必然是函數(shù)的極值點(diǎn), 于是保證函數(shù)()的導(dǎo)函數(shù)′()存在零點(diǎn)的問題就轉(zhuǎn)化為只要能夠保證()在區(qū)間的內(nèi)部至少取得最大值或最小值之一, 且在最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)處可導(dǎo), 而這正是羅爾定理的條件。羅爾定理的第3個條件() =()是很重要的, 它是構(gòu)造輔助函數(shù)的前提, 為證明提供了方向。取消該條件后既是拉格朗日中值定理: 若()在[,]上連續(xù), 在(,)內(nèi)可導(dǎo)且() ≠(), 則至少存在使, 變形為, 就又轉(zhuǎn)化為在內(nèi)的零點(diǎn)存在問題, 從而構(gòu)造出輔助函數(shù), 在不改變導(dǎo)數(shù)表達(dá)式的前提下, 修改函數(shù)1()為, 最終使得()滿足羅爾定理的第3個條件, 從而完成了拉格朗日定理的證明[6]。羅爾定理指出了極值點(diǎn)和駐點(diǎn)的關(guān)系, 為求最大最小值提供了理論支持。拉格朗日定理對函數(shù)性態(tài)的研究, 對微積分基本公式的證明, 對微分與增量之間關(guān)系的研究都提供了技術(shù)支撐, 而柯西定理以更廣闊的視角提供了用導(dǎo)數(shù)求極限的不可多得的好方法。因此, 在認(rèn)知者的知識儲備和認(rèn)知能力及講授時數(shù)都受限的情形下, 知識的組織方式就顯得極為關(guān)鍵和重要, 探討知識組織方式的理論性與滲透性是非常必要的。

使復(fù)雜的問題簡單化是人類的追求, 更是數(shù)學(xué)的目標(biāo)。數(shù)學(xué)這門學(xué)科從誕生之時, 就朝著這個方向在努力。微積分尤其如此, 如用微分代替增量, 用最簡單的等價量代換復(fù)雜的等價量。泰勒公式就是使復(fù)雜的問題簡單化的典型, 也是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一個內(nèi)容。這是一種重要的數(shù)學(xué)思想, 也提供了一個近似計算的不可多得的好方法。怎樣用多項式近似地表示一個函數(shù), 或者說用多項式逼近一個函數(shù), 這對函數(shù)值的計算與理論研究都有重要意義。對于一個函數(shù)用什么樣的多項式去逼近它, 有多種方法, 而泰勒公式是最常用、最基本的一種方法。要在有限的篇幅中講清楚泰勒公式的內(nèi)容、意義及其極為廣泛的應(yīng)用, 是需要教育者積極探討其中知識組織方式的理論性與滲透性的。教材中用一節(jié)的篇幅介紹了泰勒公式及其證明, 并舉例說明了它的應(yīng)用。這種知識的組織方式無疑強(qiáng)調(diào)了泰勒公式的理論價值, 但削弱了公式的實踐價值, 讓學(xué)習(xí)者在很長一段時間里不知道泰勒公式的實際意義和實用價值。用多項式來近似代替函數(shù)這是一種用簡單代替復(fù)雜的有效而實用的方法。由此可見, 對于這些知識點(diǎn)和教材本身的知識體系, 探討其組織方式的理論性與滲透性是非常必要的。充分挖掘微分中值定理、泰勒公式等這些定理的廣泛滲透性, 讓所有定理都成為學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)和興趣所在, 并且愛上定理、尋找定理背后的真理, 這才是數(shù)學(xué)真正的價值和教育目標(biāo)。

3 結(jié)論

信息時代的來臨只是改變了教師講授知識的手段, 課程中的深層次的知識體系的組織與鏈接的探討是十分必要的。本文結(jié)合多年的教學(xué)實踐, 就某些內(nèi)容的知識組織方式進(jìn)行了具體的教學(xué)嘗試, 收到了一定的成效。學(xué)生的認(rèn)知能力有顯著提高, 實踐能力也有較大的改善。對課程體系的組織與知識體系的更新及對知識的充分理解、正確接受、合理調(diào)整、準(zhǔn)確表述, 是教育數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育永恒的話題。因此, 探討數(shù)學(xué)課程體系中知識組織方式是十分必要的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張楚廷. 數(shù)學(xué)文化[M]. 北京: 高教出版社, 1999: 310–316.

[2] 李尚志. 數(shù)學(xué)的神韻[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2010: 26–32.

[3] 劉光旭, 蕭永震, 樊鴻康. 文科高等數(shù)學(xué)[M]. 天津: 南開大學(xué)出版社, 2005: 55–57.

[4] Rota G C. The phenomenology of mathematical beauty [J]. Syntheses, 1997, 111(2): 171–182.

[5] 蕭昌建. 人文數(shù)學(xué)導(dǎo)引[M]. 成都: 西南交通大學(xué)出版社, 2006: 169–173.

[6] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社, 2012: 158–162.

(責(zé)任編校:劉剛毅)

The arrangement methods of knowledgein mathematics curriculum system

Zhang YueLian, Zhou QiYuan, Liu LiFang, Chen Ye

(Department of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

In order to infinitesimal, important limit, differential mean value theorem and Taylor formula knowledge point as an example, discusses the scientific and reasonable way of knowledge organization system of curriculum, and analyzes the influence of teaching effect of different knowledge organization mode. The results show that: knowledge permeates in the curriculum system, and the contact between knowledge is external existence; reasonable way of knowledge organization and update of knowledge system of the courses can be helpful to fully understand, accept the knowledge correctly. Therefore, to explore the knowledge organization of mathematics curriculum system is very necessary.

mathematics curriculum system; arrangement methods of knowledge; discussion

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.019

G 642.0

1672–6146(2015)02–0067–03

張月蓮, 601357303@qq.com。

2014–12–15

湖南文理學(xué)院教改項目(JGYB1213, JGYB1427, JGYB1428)。