雙曲線及其幾何性質(zhì)

鄭怡　吳甬翔

圓錐曲線作為數(shù)學高考的重要考點，是考查同學們的數(shù)形結(jié)合思想以及運算能力的絕佳載體. 新課標對雙曲線部分的要求為“了解其定義、圖形及標準方程；知道它的簡單幾何性質(zhì)”，故本部分的復習應以基礎題、常規(guī)題為主，不宜過度拔高.

重點難點

重點：雙曲線的定義、標準方程，雙曲線的幾何性質(zhì)（如：離心率、漸近線等）.？搖

難點：雙曲線的漸近線與雙曲線圖形的關系，直線與雙曲線的位置關系等相關的綜合問題.

方法突破

1. 求雙曲線標準方程的方法

（1）定義法：①根據(jù)題設條件判斷曲線是否滿足雙曲線的定義；②直接求出a，b，c；③寫出方程.

（2）待定系數(shù)法：①確定焦點的位置；②設出待求方程；③確定相關系數(shù)；④寫出方程.

常用的方程設法有：①若不能明確焦點的位置，可設雙曲線的方程為mx2+ny2=1（mn<0）；②與雙曲線-=1有共同漸近線的雙曲線方程可設為-=λ（λ≠0）；③若已知漸近線的方程為mx+ny=0，則雙曲線方程可設為m2x2-n2y2=λ（λ≠0）.

2. 雙曲線的幾何性質(zhì)

雙曲線的幾何性質(zhì)實質(zhì)上是圍繞雙曲線中的“六點”（兩個焦點、兩個頂點、兩個虛軸的端點），“四線”（兩條對稱軸，兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點以及虛軸端點構成的三角形，雙曲線上一點和兩焦點構成的三角形）研究它們之間的相互關系.

3. 雙曲線的離心率

（1）求雙曲線離心率的常見方法：一種是依據(jù)條件求出a，b，c，再計算e=；另一種是建立關于參數(shù)a，b，c的等式，進而轉(zhuǎn)化為關于離心率e的方程，最后求出e的值.

（2）求離心率的范圍時，常結(jié)合條件建立關于參數(shù)a，b，c的不等式，進而轉(zhuǎn)化為關于離心率e的不等式，最后解不等式得之.

4. 直線與雙曲線的綜合問題

（1）直線與雙曲線位置關系的判定：通常聯(lián)立方程組，消去一個變量后轉(zhuǎn)化為關于變量x（或y）的一元二次方程. 首先考慮二次項系數(shù)是否為0，當二次項系數(shù)等于0時，方程為關于x（或y）的一元一次方程，有且僅有一個解，直線與雙曲線相交于一個交點，此時直線平行于雙曲線的一條漸近線. 當二次項系數(shù)不為0時，考慮該一元二次方程的判別式Δ，有如下結(jié)論：Δ>0？圳直線與雙曲線相交于兩個點；Δ=0？圳直線與雙曲線相交于一個點；Δ<0？圳直線與雙曲線無交點.

（2）涉及求平行弦中點的軌跡、求過定點的弦中點的軌跡和求被定點平分的弦所在的直線方程問題，常用“點差法”求解，即通過“設而不求”，將動點的坐標、弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來. 例如，若雙曲線的方程為-=1，點A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點為M（x0，y0），則kAB=·.

典例精講

1. 雙曲線的定義和標準方程

例1 （1）（2014年高考全國卷）已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上. 若F1A=2F2A，則cos∠AF2F1等于（ ）

A. B.

C. D.

（2）（2014年高考北京卷）設雙曲線C經(jīng)過點（2，2），且與-x2=1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為________.

思索 （1）涉及雙曲線焦點三角形問題，只要利用定義結(jié)合余弦定理求解即可；（2）利用與已知雙曲線有共同漸近線設出C的方程，即-x2=λ（λ≠0）來求解，可避免討論焦點的位置.

破解 （1）因為雙曲線C的離心率為2，所以e==2，即c=2a. 又點A在雙曲線上，則F1A-F2A=2a，又F1A=2F2A，所以F1A=4a，F(xiàn)2A=2a，F(xiàn)1F2=2c，則由余弦定理得cos∠AF2F1=====. 故選A.

（2）與-x2=1具有相同漸近線的雙曲線方程為-x2=λ（λ≠0）. 因為雙曲線過點（2，2），所以λ=-22= -3，即雙曲線方程為-x2=-3，化簡得-=1，漸近線方程為y=±2x.

2. 雙曲線的幾何性質(zhì)

例2 已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一條漸近線與x軸的夾角為α，且<α<，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.

思索 因為焦點在x軸上，所以漸近線與x軸的夾角的正切值為tanα=，再利用c2=a2+b2轉(zhuǎn)化為a，c之間的關系求解.

破解 由題意可得tanα=，故1<<，所以e==∈（，2）.

3. 直線與雙曲線的位置關系

例3 （2014年高考福建卷）已知雙曲線E：-=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=-2x.

（1）求雙曲線E的離心率.

（2）如圖1，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8. 試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由.

思索 （1）由漸近線方程可得到a，b，c的關系進而求出離心率. （2）解法1先嘗試特殊位置，再進行一般情況的證明，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想，這也是我們處理不熟悉問題的常見思路；解法2巧設直線方程，避免了對特殊情況的討論；解法3變換三角形面積的算法，最終殊途同歸，都由韋達定理得到所設直線中變量的關系等式. 值得注意的是，本題中直線與雙曲線只有一個公共點的情況是相切而非與漸近線平行，因此要對消元后的一元二次方程的二次項系數(shù)的范圍進行限定.

確解 （1）因為雙曲線E的漸近線分別為y=2x，y=-2x，所以=2，即=2，故c=a. 從而雙曲線E的離心率e==.endprint

（2）解法1：由（1）知，雙曲線E的方程為-=1. 設直線l與x軸相交于點C. 當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則OC=a，AB=4a. 又因為△OAB的面積為8，所以OC·AB=8. 因此a·4a=8，解得a=2，此時雙曲線E的方程為-=1.

若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為-=1. 以下證明：當直線l不與x軸垂直時，雙曲線E：-=1也滿足條件.

設直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k>2或k<-2，則C-，0. 記A（x1，y1），B（x2，y2）. 由y=kx+m，y=2x得y1=；同理得y2=. 由S△OAB=OC·y1-y2，得-·-=8，即m2=44-k2=4（k2-4）. 由y=kx+m，-=1得（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0. 因為4-k2<0，所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）= -16（4k2-m2-16）. 又因為m2=4（k2-4），所以Δ=0，即l與雙曲線E有且只有一個公共點. 因此，存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為-=1.

解法2：由（1）知，雙曲線E的方程為-=1. 設直線l的方程為x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2）. 依題意得-

解法3：當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）. 依題意可得k>2或k<-2. 由y=kx+m，4x2-y2=0得（4-k2）x2-2kmx-m2=0. 因為4-k2<0，Δ>0，所以x1x2=. 又因為△OAB的面積為8，所以OA·OB·sin∠AOB=8. 又易知sin∠AOB=，所以·=8，化簡得x1x2=4. 所以=4，即m2=4（k2-4）. 由（1）得雙曲線E的方程為-=1，又由y=kx+m，-=1得（4-k2）x2-2kmx-m2-4a2=0. 因為4-k2<0，直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，當且僅當Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4a2）=0，即（k2-4）（a2-4）=0. 所以a2=4，所以雙曲線E的方程為-=1.

當l⊥x軸時，由△OAB的面積等于8可得l：x=2. 又易知l：x=2與雙曲線E：-=1有且只有一個公共點.

綜上所述，存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為-=1.

變式練習

1. 設雙曲線-=1（a>0）的漸近線方程為3x±2y=0，則a的值為（ ）

A. 4？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. 3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖C. 2？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖D. 1

2. 已知△ABP的頂點A，B分別為雙曲線C：-=1的左、右焦點，頂點P在雙曲線C上，則的值等于（ ）

A. B.

C. D.

3. 已知雙曲線的兩個焦點為F1（-，0），F(xiàn)2（，0），M是此雙曲線上的一點，且滿足·=0，·=2，則該雙曲線的方程是（ ）

A. -y2=1 B. x2-=1？搖？搖？搖？搖？搖

C. -=1 D. -=1

4. 設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的兩個焦點，P是C上一點. 若PF1+PF2=6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________.

5. 已知雙曲線-=1（b>a>0），O為坐標原點，離心率e=2，點M（，）在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且·=0，求+的值.

參考答案

1. C 2. A 3. A

4.

5. （1）因為e=2，所以c=2a，b2=c2-a2=3a2，雙曲線的方程為-=1，即3x2-y2=3a2. 因為點M（，）在雙曲線上，所以15-3=3a2. 所以a2=4. 所以所求雙曲線的方程為-=1.

（2）設直線OP的方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立-=1，得x2=，y2=，所以OP2=x2+y2=. 則OQ的方程為y=-x，有OQ2==，所以+===.