胡 豪，余建波，黃懷英，劉慶彬

（中航工業(yè)洪都，江西 南昌330024）

對于實際的結構，在建立有限元模型時，總避免不了鉚釘、螺栓連接，而連接的松緊程度對結構的剛度有著顯著影響，且對于連接剛度，有限元往往無法直接建立模型。所以，需要通過相應的模態(tài)試驗，確定結構的模態(tài)參數(shù)。然后利用模態(tài)參數(shù)，調(diào)整有限元模型中相應的連接剛度，使有限元計算的模態(tài)參數(shù)盡可能與試驗相符。國內(nèi)外有很多學者致力于反問題的研究。Starek和Inman[1-2]通過特征值反演系數(shù)矩陣；Cheng-Hung Huang[3]利用共軛梯度法反演了多自由度系統(tǒng)瞬態(tài)問題中隨著時間變化的外力；高效偉、崔苗等使用邊界元法反演了導熱參數(shù)。

本文針對集中質(zhì)點的多自由度系統(tǒng)的振動問題，通過部分測試頻率反演系統(tǒng)的剛度。

1 動力學方程

多自由度系統(tǒng)振動方程：

矩陣M，C和K分別是質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣。那么對應的無阻尼系統(tǒng)的固有頻率滿足方程：

求解方程（2）即可以得到多自由度系統(tǒng)的頻率，進而得到系統(tǒng)的振型。對于反問題，系統(tǒng)的部分剛度因未知而無法直接求解。因此，需要建立適當?shù)姆囱菽Ｐ?，反推出系統(tǒng)的連接剛度。通過模態(tài)試驗，可以獲得多自由度系統(tǒng)低階的模態(tài)。本文使用低階的模態(tài)數(shù)據(jù)反演結構剛度。

2 優(yōu)化方法

對于非線性最小二乘問題，有：

假定初始點x0經(jīng)過k次迭代得到xk，把 fi（x）在xk點處展開成一階Taylor表達式：

根據(jù)f（x）的Jacobi矩陣：

可以得到：

從而：

所以，最終得到線性最小二乘問題：

于是，得到最優(yōu)解xk+1滿足下面的方程組，即：

上式稱為Gauss-Newton公式，向量：

稱為Gauss-Newton方向，其中靈敏度矩陣為

3 復變量求導法

對于任一實函數(shù)f(x)，將所求導變量x施加一個很小的虛部h（通常是很小），并將其展開成Taylor級數(shù)得：

于是，一階導數(shù)：

二階導數(shù)：

優(yōu)點：

1)一階導數(shù)利用各自虛部的比值，沒有相消誤差，極大地提高了差分的數(shù)值計算精度。在計算復雜函數(shù)的導數(shù)時，差分步長可以取的很小。

2)能利用正算程序進行反分析。

4 數(shù)值算例

考慮一個具有10個質(zhì)點的多自由度動力學系統(tǒng)見圖1，其中每個質(zhì)點的質(zhì)量和彈簧的剛度見表1。

上述系統(tǒng)前 5階的固有頻率分別為8.3814、52.5387、130.492、233.115和340.973.現(xiàn)在假定k1、k7是未知的。利用第1、3、4階頻率反演。

1)利用第1、3、4階頻率反演k1、k7，給定初始迭代點k1=1300、k7=2300，迭代結果見圖2。

反演結果表明，通過1、3、4階頻率可以識別動力系統(tǒng)的剛度系數(shù)k1、k7，迭代10次以后反演解趨近精確解。

圖1 10個質(zhì)點的多自由度動力系統(tǒng)

表1 每一個質(zhì)點的質(zhì)量和彈簧的剛度

圖2 利用1,3,4階模態(tài)反演剛度迭代過程

2)利用第1、2、3階頻率反演k1、k7，給定初始迭代點k1=1300、k7=2300，迭代結果見圖3。

圖3 利用1,2,3階模態(tài)反演剛度迭代過程

反演結果表明，通過1、2、3階頻率可以識別動力系統(tǒng)的剛度系數(shù)k1、k7，迭代10次以后反演解趨近精確解。

5 結 語

本文對一個多自由度系統(tǒng)建立了反演分析模型。數(shù)值計算的結果表明了反演模型的正確性和有效性。通過低階的模態(tài)數(shù)據(jù)可以同時反演系統(tǒng)的多個連接剛度。

[1]L.Starek,D.J.Inman,On the inverse vibration problem with rigid-body modes,Trans.Am. Soc.Mech.Eng.,J.Appl.Mech.58(1991)1101-1104.

[2]L.Starek,D.J.Inman,A.Kress,A symmetric inverse vibration problem,Trans.Am.Soc.Mech.Eng., J.Vib.Acoust.114(1992)565-568.

[3]H cheng-hung,A generalized inverse force vibration problem for simultaneously estimating the time-dependent external forces.Applied Mathematical Modeling 29(2005)1022-1039.