思想引領(lǐng)感悟方法學(xué)會(huì)思考
——一則“特殊化”思想指引下的解題教學(xué)案例的思考

☉江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 高峰

思想引領(lǐng)感悟方法學(xué)會(huì)思考
——一則“特殊化”思想指引下的解題教學(xué)案例的思考

☉江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 高峰

自從“課標(biāo)”把數(shù)學(xué)思想作為“四基”之一提出后，關(guān)于數(shù)學(xué)思想的教學(xué)就一直備受大家的關(guān)注，但是大家強(qiáng)調(diào)都是在知識(shí)的形成過(guò)程中進(jìn)行體驗(yàn)，最后進(jìn)行歸納才會(huì)提出來(lái)，那么能否在章節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，利用專題復(fù)習(xí)的形式，對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行強(qiáng)化教學(xué)呢？本文作如下嘗試.

本節(jié)課將蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第36頁(yè)的閱讀材料“特殊化”和第42頁(yè)“探索研究”第19題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生體驗(yàn)在“特殊化”思想的指引下，學(xué)會(huì)“尋找基本圖形和構(gòu)造基本圖形及一般想特殊轉(zhuǎn)化”的方法，掌握特殊化思想的應(yīng)用和幾何問(wèn)題的一般思考方法.

一、教學(xué)過(guò)程

1.指導(dǎo)閱讀，切入課題

上課伊始，多媒體屏幕播放動(dòng)畫.

（1）用橡皮筋構(gòu)成△ABC，使頂點(diǎn)B、C固定，頂點(diǎn)A移動(dòng)（如圖1）.

頂點(diǎn)A越靠近BC，∠BAC越接近180°，∠ABC與∠ACB越來(lái)越小，接近于0°，當(dāng)頂點(diǎn)A在BC上時(shí)，∠ABC=∠ACB=0°，∠BAC=180°，這時(shí)∠ABC+∠ACB+∠BAC= 180°.于是，我們猜想，一般情形下，△ABC的內(nèi)角和可能是180°.

圖1

圖2

（2）將多邊形A1A2A3…An逐步“變小”（形狀不變），當(dāng)多邊形“變小”到一點(diǎn)時(shí)，它的所有外角就會(huì)成為一個(gè)“周角”了，那就是360°（如圖2）.

師：動(dòng)畫1是通過(guò)對(duì)△ABC的頂點(diǎn)A的位置進(jìn)行特殊化，動(dòng)畫2是通過(guò)多邊形各個(gè)外角的頂點(diǎn)的位置的特殊化，我們通過(guò)特殊情形獲得了結(jié)論，從而猜想出一般情形的結(jié)論.

解決某個(gè)問(wèn)題有困難時(shí)，我們可以考慮問(wèn)題的特殊情形，然后利用問(wèn)題的特殊情形獲得的結(jié)論或解決方法來(lái)探索問(wèn)題的一般情形，最終使問(wèn)題得到解決，這種解決問(wèn)題的思想稱為特殊化.

特殊化思想不僅能獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，還可以獲得解決問(wèn)題的方法.我們可以將實(shí)驗(yàn)1的過(guò)程與過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線的方法聯(lián)系起來(lái)，即實(shí)驗(yàn)1是將∠B、∠C變?yōu)榱愣?，∠A變?yōu)?80度，可以看作如何將∠B、∠C轉(zhuǎn)給∠A，也就是將∠B、∠C補(bǔ)到∠A處，則輔助線就自然生成了（如圖3）.

圖3

今天，就讓我們一起親身經(jīng)歷“特殊化”思想指引下的解題之旅吧！

2.操作實(shí)驗(yàn)，尋找特殊

問(wèn)題：將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部點(diǎn)A′的位置（如圖4），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

圖4

師：對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們今天就用特殊化思想進(jìn)行探究.

（1）請(qǐng)將課前準(zhǔn)備好的三角形紙片記為△ABC，同時(shí)在練習(xí)本上畫出這個(gè)三角形.

（2）折疊△ABC一個(gè)角，折疊線與邊AB、AC分別交于E、D點(diǎn)，折疊后A的對(duì)應(yīng)字母記為A′，在圖中畫出折疊后的圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母.

（3）通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)A′，確定點(diǎn)A′的位置有哪些情形，請(qǐng)將折疊后的三角形貼至黑板（同類的貼一種），并指出哪些是特殊情形.

經(jīng)過(guò)討論，學(xué)生按照點(diǎn)A′相對(duì)于△ABC的位置分三種（如圖5）：（1）點(diǎn)在內(nèi)部，如圖5（1）；（2）點(diǎn)在外部，如圖5（2）～（4）；（2）點(diǎn)在邊上，如圖5（4）～（5）.最后確定“點(diǎn)在邊上”為特殊情形.（注：學(xué)生在折疊的過(guò)程中基本能將所有情形列出，若學(xué)生能根據(jù)點(diǎn)A′相對(duì)于∠BAC的位置分類更好，不要直接告知，學(xué)生會(huì)難以接受，可最后進(jìn)行修正）

圖5

3.探究特殊，獲得猜想

師：動(dòng)畫1中隨著點(diǎn)A的位置特殊化，∠ABC、∠ACB的度數(shù)也特殊化，那么本題中，點(diǎn)A′的位置的特殊化，∠1、∠2、∠A′的度數(shù)是否也隨之特殊化？

生1：圖5（5）中∠2不見(jiàn)了，這時(shí)可看作∠2=0°.圖5（5）中看不出∠1、∠2、∠A′的度數(shù)有什么特別之處.

師：好！那我們就從圖5（5）入手進(jìn)行探究，根據(jù)此特殊情形能獲得什么結(jié)論？為什么？

生2：因?yàn)椤?是△AEA′的外角，所以∠1=∠A+∠A′.

師：能得到∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系嗎？

生3：由折疊可得∠A=∠A′.又∠2=0°，所以可猜想∠1+∠2=2∠A′.

師：我們從圖5（5）這種特殊情形得到猜想的關(guān)鍵是找到了與∠1、∠2、∠A′相關(guān)的△AEA′，利用三角形的外角得到猜想，即“圖形隱含著數(shù)量關(guān)系，要找關(guān)系先找相關(guān)圖形”.下面我們就可以利用這個(gè)結(jié)論和解決問(wèn)題的方法來(lái)解決其他一般情形的問(wèn)題了.

4.借助特殊，解決一般

師：我們先研究圖5（1）所示的情形.根據(jù)特殊情形的經(jīng)驗(yàn)，你能找出與∠1、∠2、∠A′相關(guān)的圖形嗎？根據(jù)你找出的圖形，你能確定哪些角之間的關(guān)系？

生4：與∠1、∠2、∠A′相關(guān)的圖形是四邊形AEA′D，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可得∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′=360°.

師：∠1、∠2怎么與∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′= 360°聯(lián)系起來(lái)呢？

生2：根據(jù)平角的定義可得∠1+∠AEA′=180°，∠2+∠ADA′=180°，所以∠1+∠AEA′+∠2+∠ADA′=360°，所以∠A+∠A′=∠1+∠2，再根據(jù)折疊得∠A=∠A′，即可得到結(jié)論.

師：主要是找出與∠1、∠2、∠A′相關(guān)的圖形，如四邊形、三角形、平角，然后利用這些圖形中角之間的關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)化，將已知角與要求的角聯(lián)系起來(lái)，從而解決問(wèn)題.請(qǐng)大家再思考一下，我們?cè)谘芯繄D5（5）所示的情形時(shí)，用到了△AEA′，但是本圖形中卻沒(méi)有這個(gè)三角形，我們有辦法讓它出現(xiàn)嗎？

生5：連接AA′，……

師：這個(gè)思路實(shí)際上就是類比，即將一般與特殊進(jìn)行類比，尋找它們之間類似的東西，然后將一般情形轉(zhuǎn)化為與特殊情形類似的情形來(lái)解決問(wèn)題.

其他幾種情形，在教師同樣方法的引導(dǎo)下，大部分學(xué)生都能自主解決.

5.反思總結(jié)，促智生慧

（1）先讓學(xué)生對(duì)圖5中的各個(gè)結(jié)論進(jìn)行觀察，然后對(duì)分類進(jìn)行修正，得到結(jié)論與三角形沒(méi)有關(guān)系，應(yīng)該根據(jù)點(diǎn)A′相對(duì)于∠BAC的位置將結(jié)果分為三種情形.

（2）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)特殊化思想應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，即如何尋找特殊情形，如何運(yùn)用特殊情形獲得的結(jié)果和解決問(wèn)題的方法去探究一般情形.

（3）回顧問(wèn)題解決的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決問(wèn)題過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想方法和相關(guān)知識(shí).

（4）總結(jié)解決與圖形有關(guān)的幾何問(wèn)題的一些基本套路，即要認(rèn)真分析條件和結(jié)論，而分析條件和結(jié)論就是將它們與相關(guān)“基本圖形”結(jié)合起來(lái)，利用這個(gè)“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應(yīng)的結(jié)論，有時(shí)圖形中不一定有與它們匹配的“基本圖形”，這時(shí)還需聯(lián)想相關(guān)知識(shí)作輔助線構(gòu)造出相關(guān)的“基本圖形”，再利用這個(gè)“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應(yīng)的結(jié)論，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

二、教學(xué)反思

章建躍教授在文中指出：“我們要把學(xué)生的眼前利益和長(zhǎng)期利益結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生掌握解題技巧而成為獲取高分的能手，同時(shí)，還要用數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量去感化他們，提升他們的內(nèi)心修為，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的崇高目標(biāo).”“數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量”就是數(shù)學(xué)思維能力，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是培養(yǎng)思維能力的重要途徑.

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)非常關(guān)鍵的一環(huán)，不僅關(guān)乎學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)、公式等知識(shí)的掌握和綜合運(yùn)用，更是對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式、思維品質(zhì)的關(guān)鍵示范.本節(jié)課嘗試?yán)媒忸}教學(xué)讓學(xué)生體驗(yàn)“如何在數(shù)學(xué)思想的指引下，學(xué)會(huì)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行思考”的數(shù)學(xué)思維方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考.這種課型的實(shí)施需要注意以下幾個(gè)方面.

1.教學(xué)內(nèi)容的選擇

這種課型的關(guān)鍵是如何將數(shù)學(xué)思想方法與適當(dāng)?shù)膯?wèn)題進(jìn)行匹配，所以問(wèn)題的選擇和設(shè)計(jì)是我們要重點(diǎn)思考的內(nèi)容.同時(shí)，這種課型應(yīng)該在單元或章節(jié)結(jié)束時(shí)進(jìn)行，每章進(jìn)行2～3次即可.蘇科版教材中有許多有關(guān)數(shù)學(xué)思想的閱讀材料，章節(jié)復(fù)習(xí)中有單獨(dú)的數(shù)學(xué)思想方法的歸納，習(xí)題中有豐富的典型性很強(qiáng)的習(xí)題，將它們結(jié)合起來(lái)，會(huì)得到豐富的教學(xué)素材.通過(guò)與問(wèn)題的整合，可以充分發(fā)揮閱讀材料的價(jià)值，更大程度地發(fā)揮閱讀材料的作用.教學(xué)前可將課本單元或章節(jié)涉及的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納分析，再?gòu)恼n本練習(xí)題中尋找綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題作為載體進(jìn)行教學(xué)，這樣可以在進(jìn)行數(shù)學(xué)思想教學(xué)的同時(shí)，促使我們深入研究挖掘課本習(xí)題的典型意義，并將其進(jìn)行變化拓展，這樣更能發(fā)揮習(xí)題的導(dǎo)向作用，充分展示典型性習(xí)題蘊(yùn)含的豐富價(jià)值.

2.教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)

我們的許多課例都是“舉一些例子讓學(xué)生做，然后總結(jié)出其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法”.這樣做的目的是為了讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的作用，然后在潛移默化中積累經(jīng)驗(yàn)學(xué)會(huì)應(yīng)用.但是有時(shí)候“話也要明說(shuō)”，本節(jié)課就是要學(xué)生明確學(xué)會(huì)一個(gè)基本套路“在數(shù)學(xué)思想的指引下，學(xué)會(huì)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行思考”.本節(jié)課首先引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)特殊化思想的一些應(yīng)用，然后按照特殊化思想運(yùn)用的具體步驟：操作分類，再找特殊，特殊探究，類比特殊解決一般，引導(dǎo)學(xué)生一步一步深刻地體驗(yàn)特殊化思維的過(guò)程.在探究的過(guò)程中，不斷地進(jìn)行提示、總結(jié)，為學(xué)生指明方向，積累經(jīng)驗(yàn)，最終獲得運(yùn)用特殊化思想解決問(wèn)題的能力.所以在教學(xué)時(shí)，首先注意問(wèn)題設(shè)計(jì)要體現(xiàn)一些基本套路，如特殊化的套路，我們要思考一些數(shù)學(xué)思想方法究竟是怎樣實(shí)施的，而不能只有名稱，沒(méi)有套路，最終只是會(huì)總結(jié)，卻不會(huì)用；其二，要注意讓學(xué)生真正體會(huì)，也就是要讓學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，并及時(shí)總結(jié).

1.章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長(zhǎng)期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（2）.

2.潘紅玉.類比推理讓規(guī)律探究更深入——由一則教學(xué)案例談起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（4）.Z