奉勇輝, 劉道軍

(上海師范大學 天體物理研究中心,上海 200234)

真空無奇點黑洞的擬正則模:無質(zhì)量標量場擾動

奉勇輝, 劉道軍

(上海師范大學 天體物理研究中心,上海 200234)

摘要:研究帶有de Sitter中心的球?qū)ΨQ黑洞在標量場擾動下的擬正則模.幾何上來講,這種黑洞在半徑r很大的時候趨近與史瓦西解形式,在r 趨于0 的時候是de Sitter 解形式的.在這里通過變化參數(shù)r0 (它與宇宙學常數(shù)有關(guān)),角量子數(shù)l,泛音數(shù)n和黑洞質(zhì)量M 來研究這個黑洞的擬正則模ω .計算結(jié)果發(fā)現(xiàn):擬正則模在隨r0 的變化出現(xiàn)極大值和極小值,同時對于一定范圍的r0,當擬正則模隨泛音數(shù)n變化時也會出現(xiàn)極值現(xiàn)象,這是值得關(guān)注的.

關(guān)鍵詞:真空無奇點黑洞; 擬正則模; 6階WKB近似

黑洞是愛因斯坦廣義相對論的重要預言之一.根據(jù)霍金和彭羅斯的黑洞奇點理論[1],黑洞中不可避免地存在時空奇點.然而,奇點的存在使一切物理定律在這里都失效.因此,怎樣避免黑洞中的奇點是非常重要的研究方向.1968 年Bardeen 構(gòu)造了第一個無奇點黑洞,即存在事件視界的無奇點的黑洞,而且滿足弱能量條件[2].盡管Bardeen 黑洞在理論上是自洽的,但它在物理解釋上一直不令人滿意.原因是愛因斯坦方程在中心處不存在真空解,如果要得到真空解必須引入額外的物質(zhì)形式或者修改引力.直到Ayon-Beato 和Garcia[3]把它解釋為與某種非線性磁單極子耦合的引力場,Bardeen 黑洞才得到大家的重視.

1992年,Dymnikova根據(jù)一個特殊形式的球?qū)ΨQ的真空能動張量獲得愛因斯坦方程的一個精確解析解,當r足夠大時,它與史瓦西解一致,當r很小時,它的性質(zhì)與de Sitter 解類似,但它在任何地方都不存在奇點[4].這個愛因斯坦方程解沒有用到電動力學或其他的理論,所以通過對這個黑洞的擾動的擬正則模的研究,將有助于了解對不帶電的無奇點黑洞的性質(zhì).

眾所周知,存在于人們周圍的每個物體當它們受到擾動時都產(chǎn)生專屬于自己的振動的特征模.當黑洞受到物質(zhì)場的擾動時,它會以引力波的形式產(chǎn)生輻射,從而產(chǎn)生屬于自己的振動特征模.一般情況下只考慮線性微擾,這樣擾動的能動張量在黑洞的背景度規(guī)中通過最低階的線性近似才能被忽略不計.引力波在時空中的演化可以恰當?shù)胤譃?個階段,引力波的初始爆發(fā)階段,此階段依賴于擾動的初始條件,持續(xù)時間短,因此一般不作為研究對象.擬正則模階段,屬于較長時間的固有振蕩的衰減期,它與初始條件無關(guān),是黑洞的內(nèi)稟振蕩.晚期拖尾階段,這個階段引力波的衰減受到黑洞遠處時空的反向散射,對于漸進平坦黑洞,擬正則模的衰減被冪律形式的衰減代替.

近年來,黑洞(包括非廣義相對論中的黑洞)的擬正則模得到了廣泛研究比如[5-6],這方面的詳細綜述可見[7-8].其原因首先源于實驗的興趣.在不久的將來引力波很可能被LIGO,VIRGO和LISA 等引力探測器探測到.由于擬正則模只與黑洞的物理性質(zhì)有關(guān),所以這些探測將有助于鑒別黑洞的物理特性.另一方面則由于Ads/CFT 對應.AdS/CFT為應對一些困難的問題提供了新的思考問題的角度,例如黑洞信息不守恒,黑洞奇點的性質(zhì)和量子引力等[9].在計算擬正則模方面,主要有連分數(shù)法,WKB 近似,Poshl-Teller 勢近似法,半解析的單值法等等,這方面的詳細綜述可見[10].這里本文作者應用Konoplya 給出的六階WKB近似公式計算擬正則模[11].

1真空無奇點黑洞的無質(zhì)量標量場擾動

在這一節(jié),將引入真空無奇點黑洞的無質(zhì)量標量場的擾動.真空無奇點黑洞的度規(guī)[4]

(1)

其中,G=c=1,

(2)

彎曲空間中的無質(zhì)量標量場Φ滿足克萊因-高登方程

(3)

上式可以通過假設標量方程Φ分離變量,

(4)

(5)

其中

(6)

這里l是球諧函數(shù)的角動量量子數(shù).當r→,x→∞ 而且r→r+,x→+∞.所以,滿足物理性質(zhì)的邊界條件為

(7)

如前文所述,真空無質(zhì)量黑洞當r足夠大時,它與史瓦西解一致,當r適當小時,它的性質(zhì)與de Sitter 解類似,但它在任何地方都不存在奇點.而其擬正則模只與黑洞視界的外部有關(guān),度規(guī)函數(shù)f(r)和有效勢V(r) 隨相關(guān)參數(shù)的變化如圖1和圖2所示:

從圖1和圖2可以看出,有效勢在視界視界外是正定的.因此,根據(jù)錢德拉塞卡的觀點,真空無奇點黑洞在無質(zhì)量標量場的擾動下是穩(wěn)定的[12].

2六階WKB近似法計算擬正則模

應用六階WKB近似公式計算擬正則模.由上節(jié)給出的有效勢公式,可以計算真空無奇點黑洞的擬正則模如下[11],

(8)

其中V0是有效勢的最大值,V0″是有效勢最大值處的二次導數(shù)的值.Λ2,Λ3可以在S.Iyer和C.M Wil的文章[13]中找到,Λ4,Λ5,Λ6可以在 Konoplya的文章[11]中得到.這里n是泛音數(shù),擬正則模記作w=wR-wI.

下面計算真空無奇點黑洞的擬正則模隨質(zhì)量M的變化結(jié)果如圖3和圖4.

從圖3和圖4可以看出,隨著質(zhì)量M的增大,擬正則模的實部和虛部也同時減小.它們的變換與史瓦西黑洞的情況相同.對比Bardeen 黑洞的擬正則模也具有相同的性質(zhì)[14].

下面,計算真空無奇點黑洞的擬正則模隨角量子數(shù)l的變化,結(jié)果如圖5~6所示.這里要注意,WKB 近似方法在l>n時的計算結(jié)果更為精確,所以選擇泛音數(shù)n=1作為比較.

從圖5~6可以看出,對于n=1,擬正則模的實部隨角量子數(shù)l的增加呈線性增加,虛部隨角量子數(shù)l的增加而減小,最終隨角量子數(shù)l的增大趨于一個穩(wěn)定值.對比S.Fernando 和J.Correa 計算的Bardeen黑洞的擬正則模也存在相同的變換性質(zhì)[14].

3結(jié)論

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(責任編輯：顧浩然)

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Quasinormal mode of a vacuum non-singular black hole:masslesssscalar perturbationsFENG Yonghui, LIU Daojun

(Shanghai United Center for Astrophysics,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)

Abstract: :In this paper,we investigate quasinormal mode(QNM) of the spherically symmetric BH with de Sitter centre due to scalar perturbations.This BH is,geometrically,asymptotically Schwarzschild for large r and asymptotically de Sitter as r → 0.We analyze the QNM ω by varying the parameter r0 (it is related to cosmological constant),spherical harmonic index l,overtune n and the BH mass M. According to calculations,we find that the QNM Lhave maximum and minimum with a changing r0,and for some r0 it is worthy to attention that the QNM have extreme with a changing overtune n

Key words:vacuum non-singular BH; QNM; 6-order WKB approximation

通信作者:奉勇輝,中國上海市徐匯區(qū)桂林路100號,上海師范大學天體物理研究中心,郵編:200234,E-mail:1046240759@qq.com

基金項目:上海市自然科學基金項目(12ZR1421700)

收稿日期:2014-11-12

中圖分類號:P 142.9

文獻標志碼:A

文章編號:1000-5137(2015)02-0122-05