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(常州大學 機器人研究所， 江蘇 常州　213164)

引言

電液伺服系統(tǒng)不可避免地存在許多不確定性因素，這主要是由于系統(tǒng)的流量壓力特性或者是由于負載系統(tǒng)運動本身引起的，如：系統(tǒng)參數(shù)(如油源壓力、系統(tǒng)綜合剛度、慣性質(zhì)量、執(zhí)行件運動時的黏性摩擦力、油溫等)的變化；外部負載擾動；系統(tǒng)的復雜性和非線性。

在實現(xiàn)對電液伺服系統(tǒng)的控制時，必須考慮不確定性因素，否則，很難保證有效的控制效果。在實際工程應用中，不確定性因素導致系統(tǒng)的數(shù)學模型含有某種不確定性參數(shù)，甚至導致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不確定性，按照系統(tǒng)標稱參數(shù)設計的控制器就可能達不到預期的性能；當不確定性超過一定程度，有可能引起系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，不確定性系統(tǒng)的魯棒跟蹤控制問題以及與此相關的魯棒穩(wěn)定控制得到人們重視[1，2，6]。對于線性不確定性系統(tǒng)跟蹤控制問題，一般的方法是基于Riccati方程來設計線性狀態(tài)反饋控制器，使系統(tǒng)的輸出魯棒跟蹤某一理想模型的輸出，文獻[1,2,4,5]等都在這一方面進行了理論研究，取得了較好的效果。對于非線性不確定性電液伺服系統(tǒng)控制問題的研究近十幾年來受到學者的廣泛關注，除了采用自適應控制、變結(jié)構(gòu)控制外，還出現(xiàn)了學習控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制等一些新的方法。

本研究基于滑模變結(jié)構(gòu)控制的基本理論，討論實際中不確定性線性電液位置伺服系統(tǒng)的魯棒跟蹤控制問題，當這些不確定性滿足某些條件時，得出適當?shù)那袚Q函數(shù)和控制律實現(xiàn)前饋補償滑模魯棒跟蹤控制。

1　不確定性系統(tǒng)概述

根據(jù)文獻[7]，不確定性系統(tǒng)是指那些帶有不確定參數(shù)，不確定動力學(系統(tǒng)攝動)及存在外部干擾的系統(tǒng)，按系統(tǒng)是線性和非線性，又可分為線性不確定系統(tǒng)和非線性不確定系統(tǒng)。按照不確定性的特征又分為匹配不確定性系統(tǒng)和非匹配不確定性系統(tǒng)。

對于一般線性不確定系統(tǒng)，經(jīng)常被描述為[2]：

x=[A+ΔA(p(t))]x+[B+

ΔB(p(t))]u+D(x,p(t))

(1a)

y=C0x

(1b)

其中：A、B、C0是已知的常值矩陣，或系統(tǒng)的標稱矩陣，且(A,B)可控。x∈Rn為狀態(tài)變量，u∈Rm為控制變量。D(x,p(t))∈Rn為擾動向量，y∈Rp為輸出變量，并假定可變參數(shù)向量p(t)為勒貝格可測，且p(t)∈Ω?Re,Ω是一有界緊集，ΔA(p(t))、ΔB(p(t))表示系統(tǒng)的不確定性。

不確定性系統(tǒng)的控制問題，用一個確定的控制器來控制一簇系統(tǒng)。即不管系統(tǒng)中的參數(shù)和擾動如何變化，甚至系統(tǒng)的動力學有所變化，系統(tǒng)在這個確定的控制器作用下，都能夠正常工作，并能保證某些控制性能。為此，在研究不確定系統(tǒng)的控制問題時，需要做一些假設條件：

?p∈Ω

(2a)

(2b)

(2c)

則稱不確定系統(tǒng)(4.1)是匹配的[6]。

滿足匹配條件的意義在于把系統(tǒng)的不確定性及擾動限制在輸入通道，這等于“將不確定性置于控制之下”，綜合適當?shù)目刂坡捎锌赡艿窒淮_定性的影響。

(2) 強度限制條件，如：

||ΔA||≤ζ(x,p,t)

(3a)

||ΔB||≤r(x,p,t)

(3b)

||ΔD||≤π(x,p,t)

(3c)

其中：ζ、r、π均是某有界標量函數(shù)或正常數(shù)。

這樣的強度限制條件，能夠根據(jù)不確定性的界來設計合適的控制器，以消除不確定性的影響。

本研究主要研究線性匹配不確定性系統(tǒng)的跟蹤控制問題。

2　前饋補償滑模魯棒跟蹤控制器設計

考慮如下線性不確定性系統(tǒng)：

(4a)

y=c0x

(4b)

其中:

x=[x1x2，…，xn]T，是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u∈R是系統(tǒng)的控制輸入，y是系統(tǒng)的輸出，a=[a1a2，…，an]T是系統(tǒng)的參數(shù)向量，Δa=[Δa1Δa2，…，Δan]T表示對應的參數(shù)向量的不確定性，b(t)是系統(tǒng)的增益，且滿足：

b(t)>0,bmin≤b(t)≤bmax

(5)

其中：bmin、bmax是已知正常數(shù)，f是系統(tǒng)的擾動，且滿足：

|f|

(6)

(7)

對上述系統(tǒng)控制的目標仍然是選擇合適的切換函數(shù)，綜合適當?shù)目刂坡墒沟?

(8)

為此，按下式選擇新的狀態(tài)變量，并代入式(4):

可得誤差型狀態(tài)方程：

(9)

然后，對系統(tǒng)式(9)設計前饋補償滑模魯棒跟蹤控制器。首先選取線性滑模流型如式:

s=CTe

(10)

控制律取如下結(jié)構(gòu):

(11)

其中：K1=[k1i]∈Rn,(i=1,2,…,n)。

控制器結(jié)構(gòu)如圖1所示，控制器參數(shù)選擇如下:

(12a)

(12b)

(12c)

k4=p3>1,SDr>0

(12d)

k4=p4<1,SDr<0

(12e)

其中：

系統(tǒng)控制器結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1　控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

對上述系統(tǒng)式(4)及所設計的前饋補償滑模魯棒跟蹤控制器，有下面的定理：

定理1:對不確定性線性系統(tǒng)式(4)，當選擇滑模流型如式(10)、控制律如式(11)和式(12)，則當t→∞時的某一時刻,跟蹤誤差e1沿滑動模態(tài)趨向原點，且整個系統(tǒng)是李亞普諾夫意義下漸近穩(wěn)定的。

證明：選取李亞普諾夫函數(shù)為：

則：

(13)

對式(10)求導有：

=(CTA-bk1)e-(bk2s-CTΔAe)-

(14)

則：

(15)

因為：

|s|≤Cm||e||

(17)

將式(12)代入式(15),再結(jié)合式(16)～式(18)的結(jié)果，則有：

(19)

式(19)的結(jié)果表明：對系統(tǒng)式(4)，由式(11)和式(12)所構(gòu)成的前饋補償滑模魯棒控制器，能保證系統(tǒng)的到達條件成立，所以當系統(tǒng)的狀態(tài)到達滑動面后，將在有限時間內(nèi)沿滑動面收斂至原點?；瑒幽B(tài)方程為：

(20)

保證了跟蹤誤差e1→0(t→∞)，從而整個閉環(huán)系統(tǒng)也是漸近穩(wěn)定的。

3　不確定性電液位置伺服系統(tǒng)的前饋補償滑模魯棒控制

3.1　問題描述

考慮某結(jié)構(gòu)疲勞試驗機系統(tǒng)，對其力平衡方程、閥流量方程及流量連續(xù)性方程的線性化和綜合推導，系統(tǒng)微分方程可描述為[7]：

(21)

其中：ai(i=1,2,3)、b分別是系統(tǒng)的綜合參數(shù)ai和控制增益。

對這一系統(tǒng)，當系統(tǒng)參數(shù)如負載剛度K、等效負載質(zhì)量M、流量增益Kq、流量-壓力系數(shù)Kc等變化時，系統(tǒng)的綜合參數(shù)ai和控制增益b隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化，考慮其中某一參數(shù)變化，利用對時變參數(shù)系統(tǒng)的研究方法進行研究并設計出跟蹤控制器；當綜合參數(shù)ai或者控制增益的變化由系統(tǒng)多個參數(shù)變化的綜合效應所致，或由其他不確定性因素(如未建模因素、環(huán)境因素等其他一些未知因素)所引起的，則不確定系統(tǒng)是由一個確定的標稱系統(tǒng)和一個不確定性系統(tǒng)組合而成的系統(tǒng)，可以把系統(tǒng)式(21)表示為更一般的線性不確定性系統(tǒng)：

(22)

其中:A為已知常值矩陣；ΔA為系統(tǒng)的不確定性；f為有界擾動；u、y分別為系統(tǒng)的控制輸入和系統(tǒng)的輸出，且：

假設：

|Δai|<Δam, (i=1,2,3)

(23)

bmin≤b(t)≤bmax,b(t)>0

(24)

|f|≤f0

(25)

(26)

且在假設式(23)～式(25)中,Δam、bmin、bmax、f0是已知常數(shù)。

e1=xd-x1

(27a)

(27b)

(27c)

e=[e1e2e3]T

(27d)

代入式(27)、式(22)，則對應于系統(tǒng)式(22)的誤差型狀態(tài)方程為：

(28)

3.2　前饋補償滑模魯棒跟蹤控制器設計及系統(tǒng)仿真

前饋補償滑模魯棒跟蹤控制律均按式(10)、式(11)選取，控制器參數(shù)按式(12)選取，系統(tǒng)標稱參數(shù)見文獻[8]，對系統(tǒng)的不確定性，根據(jù)負載剛度及等效負載質(zhì)量等的變化，假設滿足下式：

|Δai|<Δam=1.344×106

(29)

對滑模參數(shù)有估計值：Cm=5。

選擇xd=sin10πt，采樣周期取2 ms，擾動f取幅值為2的正弦信號。仿真結(jié)果示于圖2和圖3，圖2是誤差曲線，圖3是滑模曲線。

圖2　跟蹤誤差曲線

圖3　滑模曲線

圖2表明，對存在匹配不確定性和外擾動的疲勞試驗機位置伺服系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)綜合參數(shù)的不確定性的界值來設計前饋補償滑模跟蹤控制器，就能保證跟蹤誤差到所期望的范圍內(nèi)，圖3表明，所提出的控制器保證了滑模的漸近穩(wěn)定性。

3.3　實驗研究

為進一步驗證理論分析及仿真結(jié)果的有效性，以某結(jié)構(gòu)疲勞試驗機電液位置伺服系統(tǒng)為控制對象，應用所設計的前饋補償滑模魯棒跟蹤控制器，進行了實時控制研究，研究目的是通過實時控制，證明所提出的控制方法的有效性，證明即使在系統(tǒng)參數(shù)變化和存在未知擾動等不確定性因素的情況下，所設計的控制器仍然能魯棒地跟蹤期望的給定信號。

1) 控制器設計

首先設計切換函數(shù)：按式(10)選擇切換函數(shù)，由式(10)可知，切換函數(shù)的設計需要給定信號和位置反饋信號及其一、二階導數(shù)，按下式來近似xd、x1的一、二階導數(shù):

(30)

對x1的一、二階導數(shù)也亦依照與式(30)類似的方法處理。

x1由位移傳感器反饋后再經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換由微機采集得到，xd由超低頻信號發(fā)生器產(chǎn)生。

控制律設計：控制律按式(11)設計，系統(tǒng)參數(shù)的標稱值參見文獻[7]，且控制器的各參數(shù)依仿真參數(shù)做為初值來確定。

2) 實驗系統(tǒng)

實驗系統(tǒng)主要由以下部件構(gòu)成：超低頻信號發(fā)生器;微型計算機;A/D轉(zhuǎn)換器采用12位分辨率的AD1674，轉(zhuǎn)換速度小于10 μs，非線性誤差：±1 LSB;D/A轉(zhuǎn)換器采用12位分辨率的DAC1210，轉(zhuǎn)換綜合建立時間小于2 μs;伺服放大器和功率放大器;位移傳感器，采用FX61系列差動變壓器式位移傳感器，精度等級為0.1級。

采樣周期選10 ms，在所用微機上，控制算法的完成不超過3 ms。為了檢驗控制器的跟蹤特性以及控制算法的魯棒性，進行空載和帶負載實驗；油源壓力選擇：空載時最大選擇5 MPa，加載時最大選擇10.5 MPa，油溫30～55 ℃。

3) 實驗結(jié)果及分析

實驗結(jié)果示于圖4～圖8中。圖4是空載情況下，前饋補償滑模魯棒控制系統(tǒng)對頻率為0.5 Hz的正弦信號的跟蹤誤差曲線，圖5是帶負載情況下(以橡膠減振裝置作為試件)，該控制器對頻率為0.5 Hz的正弦信號的響應誤差曲線；圖6是帶負載情況下前饋補償滑模魯棒跟蹤控制器跟蹤2 Hz的正弦信號的響應誤差曲線。圖7和圖8分別是空載和帶負載情況下原系統(tǒng)采用模擬PID調(diào)節(jié)器跟蹤同一頻率的正弦信號的誤差曲線。

圖4　跟蹤0.5 Hz正弦信號的誤差曲線(空載)

圖5　跟蹤0.5 Hz正弦信號的誤差曲線(帶負載)

圖6　跟蹤2 Hz正弦信號的誤差曲線(帶負載)

圖7　跟蹤正弦信號的滑模曲線(帶負載)

圖8　原系統(tǒng)采用模擬PID控制的響應誤差曲線(空載)

圖9　原系統(tǒng)采用模擬PID控制的響應誤差曲線(帶負載)

由圖4～圖6可以看出，所提出的前饋補償滑模魯棒跟蹤控制器對系統(tǒng)參數(shù)變化和擾動等不確定性具有強的魯棒性,在不同負載條件下都能保證對不同頻率的正弦信號的跟蹤誤差在6%以下；比較圖7中的兩條滑模曲線可知：控制器中引入PI控制作用保證了滿意的滑動模態(tài)品質(zhì)，對削弱常規(guī)滑模控制所固有的抖振現(xiàn)象有較明顯的效果；比較圖4和圖8以及圖5和圖9可以得到：采用本章所設計的控制器比原系統(tǒng)采用模擬PID控制器的跟蹤精度提高了大約6倍左右。實驗結(jié)果和仿真結(jié)果基本吻合， 其差別在于實際滑模曲線的變化幅度比仿真結(jié)果略大，實際跟蹤誤差和仿真結(jié)果比較接近，這主要是由于實際滑模參數(shù)和仿真時滑模參數(shù)的選擇稍有不同所致。

4　結(jié)論

針對存在不確定性參數(shù)和負載擾動的某結(jié)構(gòu)疲勞試驗機電液位置伺服控制系統(tǒng)的魯棒跟蹤控制問題，提出了一種前饋補償滑模魯棒跟蹤控制方法， 并證明

了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。系統(tǒng)仿真和實時控制結(jié)果均證明：對存在不確定性的結(jié)構(gòu)疲勞試驗機電液位置伺服系統(tǒng)，應用所提出的具有前饋補償?shù)幕ｔ敯舾櫩刂破髂苁够瑒幽B(tài)品質(zhì)得到較大的改善。前饋補償?shù)囊雽μ岣吒櫨扔兄匾淖饔茫⑶覍ο到y(tǒng)的不確定性起到了一定的補償作用，對滑模函數(shù)的PI調(diào)節(jié)，能較有效地削弱常規(guī)VSC所固有的抖振現(xiàn)象。在不同的負載條件下跟蹤不同頻率的正弦信號均能獲得良好的跟蹤精度，控制器對系統(tǒng)的不確定性呈現(xiàn)較強的魯棒性。

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