陳 龍， 王 麗， 陶坤宇

（上海無線電設(shè)備研究所，上海200090）

0 引言

在導(dǎo)彈打靶試驗中，脫靶量的測量對鑒定和評估導(dǎo)彈性能起著重要的作用。當(dāng)前脫靶量測量中應(yīng)用較多的是基于彈目交會段多普勒頻率變化率的無線電測量方法。由于彈目交會段多普勒頻率的時變特性以及近場體目標(biāo)效應(yīng)的影響，使得多普勒頻譜被展寬，從而降低了脫靶量的估計精度。因此，在彈目交會過程中，根據(jù)目標(biāo)回波信號的特點，針對FFT 方法估計多普勒頻率的不足，本文采用分數(shù)階傅里葉變換的方式測量多普勒頻率，提高了測量精度。

1 標(biāo)量脫靶量的多普勒測量原理

假設(shè)無線電脫靶量測量設(shè)備安裝于靶標(biāo)上，導(dǎo)彈相對靶標(biāo)作勻速直線運動，導(dǎo)彈運動軌跡與靶標(biāo)相距最近的點到靶標(biāo)的距離即為待測的脫靶量。在彈目共面遭遇時，以某時刻導(dǎo)彈的位置為基準點，且設(shè)定為坐標(biāo)原點。導(dǎo)彈與靶標(biāo)連線方向為x 軸，垂直該連線方向為y 軸，如圖1所示。在彈目交會階段，導(dǎo)彈A 相對靶機B以勻速vr飛行。記基準點時刻t＝0。在t0時刻，導(dǎo)彈與靶標(biāo)交會于M 點，即當(dāng)t＝t0時，導(dǎo)彈處于脫靶點位置（M 點），其與靶標(biāo)間的距離最短，此時多普勒頻率fD（t0）＝0。

圖1 導(dǎo)彈-靶機交會示意圖

在彈目交會段，實時多普勒頻率為

式中：vr導(dǎo)彈相對靶標(biāo)的速度；θ為相對速度矢量與彈目連線的夾角；λ為載波波長。

由圖1知

式中：t0為從基準點運動到遭遇點的時間；t為從基準點起的任意時刻；ρ 為脫靶量。多普勒頻率為

式中：ρ為脫靶量。設(shè)λ＝18.75mm；脫靶量分別為0.5，2，4，6，8，10m；相對速度vr分別為200，600，1 000m／s，1 500m／s；坐標(biāo)原點為脫靶點前0.15s處，即t0＝0.15s。根據(jù)式（3），得到不同脫靶量、不同速度情況下的多普勒頻率變化情況如圖2所示。

圖2 不同速度、不同脫靶量情況下的多普勒頻率

從圖2中可看出，不同彈目相對速度及脫靶量情況下，回波多普勒信號的初始頻率和頻率變化率有較大差異。彈目相對速度越大，回波多普勒信號的初始頻率越高；相對速度相同時，回波多普勒信號的起始頻率相同，且脫靶量越小，交會時間越短，多普勒頻率的變化率越大。

由式（3）可知，彈目交會時，在相對速度vr一定的情況下，彈目多普勒曲線的變化僅與脫靶量ρ有關(guān)。也就是說，在距脫靶點同一個時刻（t0-t），不同的脫靶量ρ對應(yīng)的多普勒頻率fD各不相同。當(dāng)已知相對速度、工作波長的情況下，測量運動過程中任意兩個不同時刻對應(yīng)的多普勒頻率，即可求解交會時刻t0及脫靶量ρ。

選取t1＝t（i）及t2＝t（j）兩個時刻的采樣數(shù)據(jù)，代入式（3），得方程組為：

即

令

由牛頓迭代法，可得

其中：

在彈目交會全過程中，為消除隨機誤差的影響，對連續(xù)測量多普勒信號頻率求解的脫靶量取平均，可以進一步提高脫靶量估計精度。

2 基于FRFT 的多普勒頻率估計

在彈目交會階段的多普勒信號可以近似為一段LFM 信號，分數(shù)階傅里葉變換是一種廣義的傅里葉變換，其核函數(shù)為

改變角度α，可對應(yīng)不同的分數(shù)階傅里葉變換的基。當(dāng)LFM 信號的調(diào)頻率與某一分數(shù)階傅里葉變換基的調(diào)頻率吻合，信號的分數(shù)階傅里葉變換就在該變換基上成為一個沖激函數(shù)。

假設(shè)多普勒信號時域表達式為

式中：f0為被分析時間段內(nèi)信號的中心頻率；k為調(diào)頻斜率；T 為調(diào)制周期。

假設(shè)系統(tǒng)采樣頻率為fs，采樣點數(shù)為N，F(xiàn)RFT 階數(shù)為p，以p 為變量，對LFM 信號進行FRFT，形成（p，u）平面，其中p 從0 到4 滿足FRFT 的一個周期，在此二維平面上進行搜索，得到LFM 信號FRFT 域功率峰值相對應(yīng)的位置（p0），p0即為FRFT 分析的最佳階數(shù)。最佳FRFT 旋轉(zhuǎn)角度α0＝πp0／2。

根據(jù)FRFT 峰值位置（p0）可得中心頻率f0及調(diào)頻斜率k的估計值：

設(shè)彈目相對速度vr＝1 500m／s，脫靶量ρ＝5 m，在采樣頻率fs＝1 MHz的條件下，在交會段脫靶點前10ms時間內(nèi)進行仿真。多普勒時域信號、FFT 功率譜和FRFT 功率譜分別如圖3、圖4和圖5所示。

圖3 多普勒時域信號

圖4 FFT 功率譜

圖5 FRFT 功率譜

仿真結(jié)果表明，交會段多普勒信號經(jīng)過FRFT 變換后，窄帶調(diào)頻頻譜在頻率軸上出現(xiàn)能量聚集，在某一頻點出現(xiàn)最大值，其譜線類似于點頻譜線。相對于FFT，F(xiàn)RFT 能夠更可靠的檢測，并計算出中心頻率，為下一步計算脫靶量提供準確參考。另外，為驗證FRFT 頻率估計的有效性，選取多組多普勒時域信號分別作FFT 和FRFT 運算，獲得的多普勒頻率如表1 所示。由表可見FRFT 具有更高的頻率估計精度。

表1 FFT及FRFT頻率估計結(jié)果對照表

表中：fD為理倫值；＾fD為估計值；絕對誤差為Δf＝＾fD-fD，相對誤差Δf／fD。

3 基于FRFT 的脫靶量仿真

假設(shè)系統(tǒng)工作頻率f0＝16GHz，即工作波長λ＝0.018 75m，測量系統(tǒng)采樣頻率fs＝1 MHz，信噪比SNR＝10dB，則經(jīng)過FRFT 后的多普勒頻率估計結(jié)果與理論多普勒頻率對比如圖6所示。

在vr＝（200～1 500）m／s，ρ＝（0.5～10）m范圍內(nèi)分別進行仿真驗證，其結(jié)果如表2所示。

4 結(jié)論

本文提出了基于分數(shù)階傅里葉變換（FRFT）的目標(biāo)回波多普勒頻率估計算法，并根據(jù)牛頓迭代法估計標(biāo)量脫靶量，通過仿真分析，證明本算法相對普通FFT 算法，具有更高的估計精度。

圖6 FRFT 頻率估計結(jié)果與理論多普勒頻率對比圖

表2 FRFT脫靶量估計結(jié)果

［1］ 陶然，鄧兵，王越.分數(shù)階傅里葉變換及其應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2009.

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