馮飛飛，沙云東，張國治，朱 林

(沈陽航空航天大學 遼寧省航空推進系統(tǒng)先進測試技術重點實驗室，沈陽 110136)

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熱聲載荷下復合材料薄壁結構的隨機疲勞壽命估算

馮飛飛，沙云東，張國治，朱 林

(沈陽航空航天大學 遼寧省航空推進系統(tǒng)先進測試技術重點實驗室，沈陽 110136)

復合材料薄壁結構承受著高溫強噪聲載荷,高溫環(huán)境能夠改變材料的性能，而強噪聲能使薄壁結構發(fā)生大撓度非線性響應。熱聲載荷達到一定值后，結構的動態(tài)響應會出現(xiàn)屈曲甚至跳變響應。熱聲載荷下復合材料薄壁板非線性響應理論分析方法，采用時域蒙特卡洛法求解非線性運動方程，并根據應力峰值分布，采用線性損傷累積理論和S-N曲線估算結構的疲勞壽命。以碳/碳復合材料矩形板為例，計算了高溫強噪聲載荷作用下對薄壁板的動態(tài)響應和疲勞壽命。

復合材料；非線性響應；熱聲載荷；疲勞壽命

高超聲速飛行器在飛行過程中要承受氣動載荷、熱載荷、噪聲載荷和機械載荷。而進入大氣層的航天器熱防護系統(tǒng)表面要承受高達2 000 ℃左右的高溫，局部的噪聲聲壓級超過180 dB[1-2]，因此航天器對材料的要求越來越苛刻。碳/碳復合材料具有比重輕、熱膨脹系數(shù)小、抗腐蝕、抗熱沖擊等優(yōu)異性能， 能夠滿足現(xiàn)代飛行器發(fā)展的需求。強噪聲載荷引起復合材料薄壁結構出現(xiàn)大幅值非線性響應，高溫環(huán)境使得結構出現(xiàn)屈曲甚至跳變現(xiàn)象，在不同屈曲后平衡位置之間做跳變運動[3-4]。本文采用數(shù)值方法分析熱聲載荷下復合材料薄壁結構的動態(tài)響應疲勞壽命。

Przekop研究了在強噪聲載荷下薄壁結構的疲勞壽命[5]。Holehouse采用線性理論和累積損傷理論分析了噪聲載荷下薄壁板的響應和疲勞壽命[6-7]。在噪聲載荷下結構的運動方程求解方法有等價線性化法和蒙特卡洛法。用有限單元法和迦遼金法求解耦合非線性模態(tài)方程，而有限元方法的計算成本大，在模態(tài)坐標中蒙特卡洛法可以降階非線性方程[8-10]。本文以四邊簡支碳/碳板為研究對象，施加有限帶寬高斯白噪聲，計算不同熱聲載荷下結構的非線性響應和疲勞壽命，根據蒙特卡羅法求解非線性運動方程，采用線性損傷累積理論和S-N曲線估算結構的疲勞壽命。

1 熱聲環(huán)境下復合材料的動態(tài)響應

1.1 運動方程的建立

復合材料板的運動方程為[11]：

(1)

位移函數(shù)w表示的應變協(xié)調方程：

(2)

公式(1)與(2)結合即為復合材料板的運動控制方程。

應力函數(shù)表達式：

(3)

四邊簡支板的邊界條件：

(4)

位移函數(shù)u和v的表達式：

(5)

根據板的模態(tài)求解板的橫向位移函數(shù)：

(6)

式中,Amn表示模態(tài)幅值，φmn表示固有模型響應，在四邊簡支的條件下：

φmn(x,y)=Xm(x)Yn(y)

(7)

式中,式(6)代入方程(2)中，得到：

(8)

應力函數(shù)F包括通解Fh和特解Fp，將公式(5)和(6)代入公式(8)中，得到特解Fp

(9)

其中,

通解Fh可表示為：

(10)

C1,C2,C3是板的邊界條件的積分常數(shù)，根據公式(4)和(5)，結合Airy應力函數(shù)F，求解板的橫向位移，積分常數(shù)可表示為：

通過Galerkin法求解方程(1)，結合公式(6)得到非線性偏微分方程：

(11)

公式中ωij表示板的固有頻率，廣義質量和隨機應力表示為：

(12)

(13)

非線性剛度系數(shù)Ziqdfmkrl表示為：

(14)

其中,

Fiqdfmkrl(G,H)={2GHdf[β(itd,G)+β(i-d),G][β(q+f,H)+β(q-f,H)]-

隨機壓力載荷均勻地分布在板的表面壓力載荷可表示為：

(15)

其中,φp表示隨機壓力的功率譜密度，φr表示在0到2π之間均勻分布的隨機角度值，Δω表示頻率間隔。在隨機壓力載荷下計算出板的位移、應力時間歷程，通過蒙特卡洛法計算位移響應，得出位移的平均值和均方根值：

(16)

(17)

T0表示時間周期，應力-位移函數(shù)關系可表示為：

(18a)

(18b)

(18c)

Z表示距離板的中面的厚度。

2 累積損傷理論分析

在熱聲載荷下分析結構的隨機應力響應，根據隨機應力幅值的累積損傷原理和斷裂力學估算結構的疲勞壽命。早期的疲勞分析方法是Palmgren-Miner,累積損傷理論公式是[12]：

(19)

ni表示給定應力值后的實際循環(huán)數(shù)，Ni表示在相同應力值下發(fā)生疲勞損壞的總循環(huán)數(shù)，因此當D=1時，材料發(fā)生疲勞損傷。在高溫強噪聲載荷下，計算出來的應力響應是非線性的，應力幅值不服從高斯分布。針對非高斯分布的疲勞壽命估算，首先求出非線性應力幅值的平均應力和均方根值，通過試驗和經驗公式計算，應力-循環(huán)數(shù)的關系可表示為：

Sλ=B/N

(20)

S表示常幅值載荷的應力值，N表示在某一應力下材料發(fā)生損傷的應力循環(huán)數(shù)，λ和B是材料常數(shù)。因為數(shù)據龐大，材料常數(shù)由隨機振動變量產生的損傷模型得出，然而在目前，這些材料常數(shù)可由確定的數(shù)值表示，因此結合公式(19)、(20)得出：

(21)

隨機壓力載荷下的應力響應是一組隨機量，根據隨機應力采用的Palmgren-Miner理論也必須擴大其范圍，用應力循環(huán)數(shù)n(Si)表示在應力峰值Si下的數(shù)目。在連續(xù)應力S(t)下的單位時間的隨機累積損傷表示為：

(22)

E[MT]表示單位時間內正應力峰值數(shù)目的期望值，p(s,t)表示應力峰值的概率密度函數(shù)，限定時間在(0,τ)范圍內。由公式(22)計算總的損傷累積值，若響應過程是穩(wěn)態(tài)的，E[MT]即為常值，公式可寫為：

(23)

E[MT]表示在時間(0,τ)內應力峰值數(shù)目總的期望值，疲勞壽命時間為T，對于穩(wěn)態(tài)的應力響應疲勞壽命可根據下面公式進行計算：

(24)

E[MT]和p(S)都是通過非線性應力響應的時間歷程計算得出。

3 應用實例

選取碳/碳復合材料板為例，邊界條件為四邊簡支，鋪層角度方式是(45/0/0/45)，結構尺寸為a=300 mm，b=300 mm，h=0.5 mm，彈性模量E1=170 GPa，E2=11 GPa，剪切模量G13=G12=5 GPa,G23=2.74 GPa,泊松比μ=0.31，密度ρ=1 430 kg/m3，熱膨脹系數(shù)a1=8.5×10-5℃,a2=7.95×10-5℃,S-N曲線中材料參數(shù)B=1.37×1029,λ=9.98施加有限帶寬高斯白噪聲,在不同的高溫環(huán)境下計算出結構的動態(tài)響應。熱屈曲系數(shù)(S)=實際溫度(T)/臨界屈曲溫度(Tc)。根據傳統(tǒng)的有限帶寬高斯白噪聲在截止頻率處截止，而功率譜密度可以表示為：

(25)

圖1 板的中心位置在相同溫度不同聲壓級下的橫向位移響應

根據圖1所示，在沒有溫度影響下，隨著聲壓級的增加，板面的位移響應越來越大，出現(xiàn)大撓度非線性響應，板面的振動幅值增加對結構的影響更嚴重。在相同聲壓級不同溫度下板面發(fā)生的橫向位移響應如圖2所示。高溫環(huán)境下對材料的性能影響是顯著的，不僅影響材料的性能，甚至在高溫環(huán)境下，使結構出現(xiàn)屈曲現(xiàn)象，在屈曲后板面發(fā)生跳變響應，在兩個平衡位置之間來回振動。隨著溫度的增加，跳變現(xiàn)象發(fā)生變化，嚴重影響結構的性能和可靠性。相同聲壓級不同溫度下板面的最大應力響應，如圖3所示。

圖2 板的中心位置在相同聲壓級不同溫度下的橫向位移響應

圖3 板的中心位置在相同聲壓級不同溫度下的應力響應

在噪聲載荷下得出的應力時間歷程，服從高斯分布。針對服從高斯分布的載荷，可以采用等價線性化方法、有限單元方法和Monte Carlo方法準確的計算結構的運動方程。但是在熱聲載荷下結構發(fā)生跳變現(xiàn)象后，均不服從高斯分布，在兩個平衡位置之間來回跳變，則結構內部應力應變變化極為迅速。而目前的有限單元法和等價線性化方法不能準確地分析結構的跳變運動和大撓度非線性隨機運動方程，從而影響結構的疲勞分析。因此對于不服從高斯分布的載荷，在估算結構疲勞壽命方面的準確性很低。隨著溫度越來越高，受到壓縮熱應力作用的結構，其剛度下降，應力循環(huán)的幅值也在減小，并且板的響應在兩個平衡位置之間發(fā)生跳變振動，內部應力發(fā)生快速復雜變化，應力幅值迅速增大，對結構的疲勞壽命影響最嚴重。根據計算出來的應力時間歷程，得出應力有效值(RMS)，結合累計損傷理論，估算出結構的疲勞壽命。

圖4 熱聲載荷下薄壁板的疲勞壽命估算結果

計算了在屈曲前S=0.6和熱屈曲后S=2.4時，不同聲壓級下結構的疲勞壽命，在聲壓級較低時，溫度起主要作用，屈曲系數(shù)S=2.4的疲勞壽命比屈曲前的壽命要長，而隨著聲壓級的增加，溫度的作用減小，噪聲載荷起主要作用，兩者的疲勞壽命曲線趨勢和大小大致相同。碳/碳復合材料在高溫環(huán)境下，強度不僅不降低反而增強，而且碳/碳復合材料也是唯一能在高溫1 600 ℃～2 000 ℃正常工作的材料，其疲勞壽命與金屬不同，具有很大分散性。

4 結論

(1)在屈曲前，隨著聲壓級的增大，結構的振動響應也越來越大，出現(xiàn)大撓度非線性響應。在屈曲后，不僅使得結構出現(xiàn)跳變現(xiàn)象，在兩個平衡位置之間振動，結構內部的應力發(fā)生快速變化，而且高溫環(huán)境下影響材料的性能。

(2)在熱聲載荷下， 復合材料薄壁結構的非線性響應對疲勞壽命的影響是顯著的。在屈曲前，溫度越高，熱應力越大，壽命則越低；跳變振動對結構的疲勞壽命最嚴重，應力幅值增大，很容易造成結構的疲勞損傷。

(3)在溫度逐漸升高的過程中，結構的穩(wěn)定性不發(fā)生變化，達到臨界屈曲溫度后，結構發(fā)生屈曲。隨著溫度增加，板甚至出現(xiàn)跳變現(xiàn)象，結構在兩個平衡位置之間來回跳變，頻率比較頻繁。隨著溫度繼續(xù)增加，薄壁結構跳變出現(xiàn)間歇性，最后由兩個平衡位置轉變?yōu)橐粋€平衡位置，并且圍繞著這個位置產生隨機振動。

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(責任編輯：宋麗萍 英文審校：劉敬鈺)

Random fatigue life estimation of composite thin-walled structures under thermo-acoustic loadings

FENG Fei-fei，SHA Yun-dong，ZHANG Guo-zhi，ZHU Lin

(Liaoning Key Laboratory of Advanced for Aeronautical Propulsion Test Technology,Shenyang Aerospace University,Shenyang 110136,China)

Composite thin-wall structures are subject to high acoustic and severe thermal loadings.The high thermal environments can change properties of material,and the high acoustic loading can make thin-walled structures exhibit large deformation nonlinear response.Under certain thermo-acoustic loading conditions,a dynamic instability will give rise to buckling and even snap-through responses.A theoretical study on nonlinear response of composite panels under thermal-acoustic loadings is conducted.The nonlinear equation of motion is solved numerically by a Monte Carlo type approach.Based on the distribution of stress peaks,S-N curves are combined by means of linear damage accumulation theory to estimate fatigue life of structures.The dynamic response and fatigue life of carbon-carbon rectangular plate are calculated under thermal-acoustic loadings.

composite;nonlinear response;thermo-acoustic loadings;fatigue life

2013-10-28

馮飛飛(1987-)，男，河南焦作人，碩士研究生，主要研究方向：航空發(fā)動機強度、振動及噪聲; E-mail:499759479@qq.com；沙云東(1966-)，男，黑龍江阿城人，教授，主要研究方向：航空發(fā)動機強度、振動及噪聲，E-mail:ydsha2003@vip.sina.com。

2095-1248(2015)04-0024-06

V215.5

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2015.04.005