☉江蘇省如皋市吳窯初級(jí)中學(xué) 張素慧

由質(zhì)疑，到提升，直達(dá)問(wèn)題本質(zhì)

☉江蘇省如皋市吳窯初級(jí)中學(xué) 張素慧

“科學(xué)研究是撥開(kāi)事物表象，獲得其本質(zhì)的過(guò)程”，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)如此，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑、探究的過(guò)程，逐步培養(yǎng)探求問(wèn)題本質(zhì)的意識(shí).

在聽(tīng)課調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，解題教學(xué)多滿(mǎn)足于問(wèn)題解答，解題總結(jié)的重點(diǎn)多為解題思路探尋、解題過(guò)程中需注意要點(diǎn)細(xì)節(jié)，以及對(duì)所用知識(shí)點(diǎn)、方法的歸納，常見(jiàn)變式訓(xùn)練又多側(cè)重于問(wèn)題變形，卻常常忽略了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的深層次探究和思考.筆者認(rèn)為，解題反思環(huán)節(jié)應(yīng)適當(dāng)、適度著手引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)質(zhì)疑，提出問(wèn)題，經(jīng)歷一定探究問(wèn)題本質(zhì)的探究活動(dòng)，這將有助于幫助學(xué)生高屋建瓴、深刻理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，更有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣.下面略舉二例，探索在解題教學(xué)反思中質(zhì)疑、探究問(wèn)題本質(zhì)的方法.

圖1

例1如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A、C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），線(xiàn)段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B、D.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）；

（2）求拋物線(xiàn)的解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線(xiàn)上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FC（AC+EC）為定值.

解析：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m.又△ABC為等腰直角三角形，所以AC=BC=m，OA=m-3，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3-m，0）.

（2）因?yàn)椤螼DA=∠OAD=45°，所以O(shè)D=OA=m-3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，m-3）.

又拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為P（1，0），且過(guò)點(diǎn)B、D，所以可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-1）2，

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，x2-2x+1），則QM=CN=（x-1）2，MC=QN=3-x.因?yàn)镼M∥CE，所以△PQM∽

圖2

質(zhì)疑1：此題證明了FC（AC+EC）為定值8，那么這一結(jié)論是僅僅對(duì)拋物線(xiàn)y=x2-2x+1成立，還是適用于所有的二次函數(shù)，這一結(jié)論中的定值8是由哪些因素決定的？

由于平移二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖像到y(tǒng)=x2，并不影響題中FC、BC、EC等線(xiàn)段的長(zhǎng)度，當(dāng)然也不會(huì)影響到FC·（BC+EC）的值，因此，原問(wèn)題的本質(zhì)相當(dāng)于研究下面的問(wèn)題：

如圖3，P為拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線(xiàn)y=ax2上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為（m，am2），BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為拋物線(xiàn)上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FC·（BC+EC）為定值am3.

證明：因?yàn)辄c(diǎn)B坐標(biāo)為（m，am2），所以PC=m，BC=am2.過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（k，ak2），則QM=ak2，PM=k，MC=m-k.

圖3

因?yàn)镕M=FC-MC=FC-（PC-PM）=FC-（m-k）=k-m-

所以FC（BC+EC）為定值am3.

不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題可以推廣到更一般的形式：若設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-h）2+k，B為拋物線(xiàn)上的定點(diǎn)（m，n），過(guò)頂點(diǎn)P作對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作對(duì)稱(chēng)軸的平行線(xiàn)與過(guò)頂點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)相交于點(diǎn)C，則FC（BC+ EC）的值與二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a和定點(diǎn)B的橫坐標(biāo)有關(guān)，恒為am3，與二次函數(shù)解析式中h、k的值無(wú)關(guān).

證明從略.下文質(zhì)疑探究立足于研究拋物線(xiàn)y=x2展開(kāi).

利用幾何畫(huà)板進(jìn)行探索，當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上移動(dòng)的時(shí)候，分析圖形形狀，不難發(fā)現(xiàn)，原題證明中的基本圖形依然存在，因此，上述結(jié)論的證明方法與前面相同，可以發(fā)現(xiàn)有下面的結(jié)論，證明從略.

（1）若動(dòng)點(diǎn)Q在B點(diǎn)的右邊時(shí)，如圖4，結(jié)論FC（BC+ EC）為定值依然成立，定值為am3.

圖4

圖5

（2）若動(dòng)點(diǎn)Q在P點(diǎn)的左邊時(shí)，如圖5，結(jié)論FC（BC+ EC）為定值不成立，B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記做點(diǎn)H，有：

①則當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上點(diǎn)P與點(diǎn)H之間的時(shí)候，F(xiàn)C（BC-EC）為定值，定值為-am3.

②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上H點(diǎn)的左邊的時(shí)候，F(xiàn)C（ECBC）為定值，定值為am3.

這一結(jié)論可以統(tǒng)一成：點(diǎn)B、Q在對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)，則FC·（BC+EC）為定值，如果B、Q在對(duì)稱(chēng)軸的異側(cè)，則FC· |BC-EC|為定值，定值都為|am3|.

質(zhì)疑3：和其他常見(jiàn)的定值問(wèn)題相比，F(xiàn)C（BC+EC）這個(gè)式子比較復(fù)雜，意義不明顯，那么問(wèn)題FC（BC+EC）的幾何意義是什么？

這種是傳統(tǒng)電子商務(wù)轉(zhuǎn)型社交電子商務(wù)的常用方法。采用該模式的商家本身就是做電子商務(wù)的，在自己原有的網(wǎng)站平臺(tái)上開(kāi)辟社區(qū)，引導(dǎo)商家與客戶(hù)，客戶(hù)與客戶(hù)之間的溝通交流，從而增加客戶(hù)粘性，提高購(gòu)買(mǎi)率。比較典型的有淘寶里面的微淘、淘直播、淘達(dá)人等。

注意到FC（BC+EC）=FC·BC+FC·EC，而B(niǎo)C⊥AC，從而聯(lián)想到直角三角形的面積.如圖6，作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，有CE=CN，BN=BC+CN=BC+CE，則FC（BC+ EC）=2S△BFN，而這就是問(wèn)題的本質(zhì)所在，“FC（BC+EC）為定值”只是“S△BFN為定值”的另一種表示.

利用幾何畫(huà)板進(jìn)一步探究，可以發(fā)現(xiàn)“當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，S△BPF=S△FEC恒成立”.下面僅僅證明點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)y=ax2上點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的情況.

圖6

例2如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB在x軸上，且OA＞OB，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），AB=5，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)xA、xB是關(guān)于x的方程x2-（m+2）x+n-1=0的兩根.

（1）求m、n的值.

（2）若∠ACB的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)l交x軸于點(diǎn)D，試求直線(xiàn)l對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式.

（3）過(guò)點(diǎn)D任作一直線(xiàn)l′分別交射線(xiàn)CA、CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)M、N.是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖7

質(zhì)疑：注意到第（3）問(wèn)的解答過(guò)程既沒(méi)有用到第（1）問(wèn)m、n的數(shù)值，也沒(méi)有用到第（2）問(wèn)中所求的直線(xiàn)l′的解析式，更重要的是沒(méi)有用到直角坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)，而這和一般的綜合題型“問(wèn)題串”的設(shè)置很不一樣，為什么？那么是不是說(shuō)第（3）問(wèn)的答案與第（1）、（2）問(wèn)無(wú)關(guān)，是否可以猜測(cè)第（3）問(wèn)在本題中具有較大的獨(dú)立性？帶著這樣的疑惑再分析第（3）問(wèn)的證明，發(fā)現(xiàn)整個(gè)證明過(guò)程并沒(méi)有涉及A、B的坐標(biāo)，已知條件“△ABC的邊AB在x軸上，且OA＞OB，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C”，即“∠ACB為直角”在第（3）問(wèn)的解答中也沒(méi)有起到任何作用.條件“D點(diǎn)為∠ACB平分線(xiàn)上一點(diǎn)”才是問(wèn)題最核心、最本質(zhì)的東西.基于以上分析，去除與本題解答無(wú)關(guān)的條件，就可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（3）的本質(zhì)為：

如圖8，D點(diǎn)為∠ACB平分線(xiàn)上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D任作一直線(xiàn)l′分別交射線(xiàn)CA、CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)

圖8

因?yàn)楫?dāng)D點(diǎn)和∠ACB給定時(shí)，CE、DE為定值，與直線(xiàn)MN的具體位置沒(méi)有關(guān)系，所定值.有了這一結(jié)論，再回頭解決問(wèn)題（3）就不是難事了.

解題反思1：如何質(zhì)疑？很多數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生提不出問(wèn)題，不會(huì)質(zhì)疑，更多的是一種接受性的聽(tīng)講、記憶、模仿，造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，有老師的，有學(xué)生的，有習(xí)慣的問(wèn)題，也有能力的問(wèn)題，但數(shù)學(xué)課堂上缺乏這方面的啟發(fā)、培養(yǎng)，卻是無(wú)法推卸的重要的原因之一.這就要求解題教學(xué)中，要求學(xué)生在理解、接受怎樣做的同時(shí)，還需要引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思考本題為什么要這樣做，解題思路是受什么啟發(fā)想到的，思考問(wèn)題解決采用的解題方法是不是最好的，能不能進(jìn)一步優(yōu)化，問(wèn)題中的條件是否必要，結(jié)論是否唯一，問(wèn)題是否可以進(jìn)一步變形、拓展，對(duì)于教師尤其是需要思考問(wèn)題的原型、本質(zhì)是什么，問(wèn)題被充分解決了沒(méi)有，還有哪些值得做進(jìn)一步研究和思考的等，從諸多方面、很多的角度都可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考.例1、2展示了一個(gè)視角，均是不滿(mǎn)足于問(wèn)題解答，而是注重解題后的反思，思考結(jié)論的相關(guān)條件是否充分，是否必要，從而將問(wèn)題的思考深入到了問(wèn)題的本質(zhì)，或者說(shuō)，接觸到了問(wèn)題構(gòu)造的出發(fā)點(diǎn)，問(wèn)題得到了較為完滿(mǎn)的解決.

解題反思2：如何探求問(wèn)題的本質(zhì)？本文只是對(duì)兩個(gè)例題做了一些嘗試，拋磚引玉.例1中從三個(gè)質(zhì)疑出發(fā)做了進(jìn)一步的探究，從三個(gè)方面思考、探究了問(wèn)題的一些本質(zhì)特性，這三個(gè)方面分別是：（1）函數(shù)從具體到一般，即從具體的函數(shù)關(guān)系猜想對(duì)于任意函數(shù)，思考函數(shù)中各常數(shù)（系數(shù)）與結(jié)論的關(guān)系；（2）動(dòng)點(diǎn)位置取消范圍限制，從局部變化到整體變化，全面分析動(dòng)點(diǎn)位置對(duì)結(jié)論的影響；（3）結(jié)論從表層到本質(zhì)，從具體值到用字母表示的一般規(guī)律，揭示出了確定結(jié)論的相關(guān)量.它們都體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，對(duì)此學(xué)生并不陌生，解題分析和解題反思如果能夠引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的一般形式，實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的思考、探究解題思路，進(jìn)一步體會(huì)特殊、一般的辯證關(guān)系，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維是有益處的.

例2中，拋開(kāi)了與第（3）問(wèn)無(wú)關(guān)的因素，從而抽絲剝繭排除干擾信息，直接深入研究了問(wèn)題的本質(zhì)，可以說(shuō)原問(wèn)題是在圖8結(jié)論基礎(chǔ)上附著一些新的元素而發(fā)展得到的新問(wèn)題.事實(shí)上，在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常?？梢砸?jiàn)到一些問(wèn)題，乍一看條件煩瑣圖形復(fù)雜，致使學(xué)生首先產(chǎn)生嚴(yán)重的畏縮心理，以至于有些學(xué)生連題目都無(wú)心去看完，更無(wú)從談起分析解答.即便部分學(xué)生勉強(qiáng)讀完題，卻因?yàn)闊o(wú)法從長(zhǎng)段題干和紛雜圖形中排除無(wú)用條件、信息干擾，無(wú)法梳理主要信息之間的聯(lián)系，以致無(wú)從下手，或錯(cuò)誤頻頻.這就需要在解題分析和教學(xué)反思中，引導(dǎo)學(xué)生抽絲剝繭、刪繁就簡(jiǎn)，或緊扣定義和基本定理，或緊扣圖形、解答中的“核心、本質(zhì)”條件和圖形、信息，摒棄無(wú)用條件和干擾因素，直達(dá)問(wèn)題本質(zhì)，從而達(dá)到增強(qiáng)學(xué)生探尋問(wèn)題本質(zhì)的習(xí)慣與能力的目的.

例如，在遇到三個(gè)圓兩兩相外切的問(wèn)題，學(xué)生多因?yàn)闊o(wú)法作出符合題意的圖形而放棄問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上圓外切的本質(zhì)是“外切兩圓的圓心距等于半徑之和，而與具體的圓無(wú)關(guān)”，因此問(wèn)題解答根本沒(méi)有必要做出“三個(gè)圓兩兩相外切”的圖形即圖9，只需要作出三個(gè)圓心構(gòu)造的三角形，如圖10，緊扣圓外切的定義、性質(zhì)直接得到圖10中三角形的三邊與三個(gè)相互外切的圓半徑之間關(guān)系就可以了.在這樣的分析中，由于緊扣問(wèn)題的核心本質(zhì)，摒棄相對(duì)較弱的無(wú)用信息圓，不僅表現(xiàn)在圖形簡(jiǎn)單，易于作出，而且更加突出了核心信息之間的聯(lián)系.

圖9

圖10

顯然，通過(guò)問(wèn)題解答后的深入反思，提出問(wèn)題，探究解決，這種質(zhì)疑、探究問(wèn)題的本質(zhì)的教學(xué)思路，對(duì)學(xué)生和教師有著較高的要求，但值得在教學(xué)中做適當(dāng)適度的嘗試和努力，也具有很好的實(shí)際意義和價(jià)值，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生基本的科學(xué)素養(yǎng)、應(yīng)有的探究意識(shí)和能力也是至關(guān)重要的，這也可以很好地回答“有沒(méi)有必要深入探求問(wèn)題的本質(zhì)”這樣的疑惑，這也是數(shù)學(xué)課程必須肩負(fù)的責(zé)任，不容逃避、忽視.H