摘 要：“數(shù)系的擴(kuò)充”是“復(fù)數(shù)”這章的重點(diǎn)內(nèi)容，具有承前啟后的作用. 本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面讓學(xué)生回憶、歸納數(shù)的概念的發(fā)展和數(shù)系擴(kuò)充的過程，感悟數(shù)的概念產(chǎn)生于實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，體會學(xué)習(xí)新知的必要性和合理性；另一方面，讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，為今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：數(shù)系擴(kuò)充；復(fù)數(shù)；問題解決

數(shù)學(xué)理解有三種方式，即記憶性理解、解釋性理解和探究性理解. 其中，記憶性理解的教學(xué)只要求學(xué)生記住事實(shí)材料，通過機(jī)械記憶、模仿和簡單套用，反復(fù)訓(xùn)練學(xué)生的記憶能力. 解釋性理解的教學(xué)是通過教師對原理、理論的系統(tǒng)講解來發(fā)展學(xué)生的理解能力，但學(xué)生得到的仍是教師傳授的內(nèi)容，而不是學(xué)生自己的本領(lǐng). 探究性理解的教學(xué)原則是以問題為中心，引起學(xué)生對重要問題產(chǎn)生的困惑，通過對話和交流引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建構(gòu)知識的意義. 三種數(shù)學(xué)理解方式分別對應(yīng)著行為主義、認(rèn)知主義和建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)心理觀. 本節(jié)課教學(xué)綜合運(yùn)用三種理解方式，力求讓學(xué)生達(dá)到探究性理解.

[?] 教材分析

數(shù)系的擴(kuò)充是中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充，為了體現(xiàn)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，以及數(shù)系擴(kuò)充過程中數(shù)系結(jié)構(gòu)與運(yùn)算性質(zhì)的變化，教材從社會生活和數(shù)學(xué)內(nèi)部兩個角度對數(shù)的概念的擴(kuò)展做了簡要回顧，旨在更好地幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生和發(fā)展過程，認(rèn)識到數(shù)學(xué)發(fā)展既有來自外部的實(shí)際需求，也有來自內(nèi)部的邏輯規(guī)律，讓學(xué)生品味數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，從而培養(yǎng)他們的人文素養(yǎng). 數(shù)系擴(kuò)充以后，復(fù)數(shù)作為一種新的數(shù)學(xué)語言，為我們今后用代數(shù)方法解決幾何問題提供了新的工具和方法.

[?] 教學(xué)目標(biāo)

1. 了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示；掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件.

2. 了解數(shù)系擴(kuò)充的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，感知數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展的客觀要求.

3. 通過回憶、歸納數(shù)系的發(fā)展和數(shù)系的擴(kuò)充過程，從中體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，讓學(xué)生品味數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，從而培養(yǎng)他們的人文素養(yǎng).

[?] 教學(xué)策略選擇與設(shè)計

小組學(xué)習(xí)、合作探究、產(chǎn)生式教學(xué)策略；問題驅(qū)動教學(xué)模式.

[?] 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn)：數(shù)系的擴(kuò)充過程，復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件.

難點(diǎn)：虛數(shù)單位i的引進(jìn)及復(fù)數(shù)的概念.

[?] 教學(xué)過程

1. 設(shè)置情境，再現(xiàn)歷史

問題1：將10分成兩部分，使兩者的乘積為40.

設(shè)計意圖：一方面展示數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)娘L(fēng)采，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；另一方面，引領(lǐng)學(xué)生重溫歷史，感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)并不神秘，數(shù)學(xué)家也是從常規(guī)問題入手.

問題2：有沒有兩個數(shù)之和為10呢？有沒有兩個數(shù)之積為40呢？那為什么剛才的問題無解呢？

設(shè)計意圖：充分暴露數(shù)學(xué)家的思維過程，一方面讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的科研精神，另一方面讓學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài).

問題3：實(shí)數(shù)集中有沒有這兩個數(shù)？

設(shè)計意圖：打破原有認(rèn)知平衡，形成認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受到數(shù)已經(jīng)不夠用了，體現(xiàn)學(xué)習(xí)新知識的必要性.

2. 設(shè)計問題，追溯歷史

問題4：實(shí)數(shù)系是如何構(gòu)建并發(fā)展的？請說說它們形成和擴(kuò)充的成因？

學(xué)生1：從社會實(shí)踐來看，為了滿足生活和生產(chǎn)實(shí)踐的需要，數(shù)的概念在不斷的發(fā)展著.為了計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)，為了測量等需要產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，為了刻畫相反意義的量產(chǎn)生了負(fù)數(shù)，為了解決度量正方形對角線長的問題產(chǎn)生了無理數(shù)，這樣便有了整個實(shí)數(shù)系.

學(xué)生2：數(shù)的概念的發(fā)展一方面是生產(chǎn)生活的需要，另一方面也是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，例如對以下方程求解：

方程x+2=1在自然數(shù)集N內(nèi)無解，引入了負(fù)數(shù)，其在整數(shù)集Z內(nèi)便有解；

方程2x-1=0在整數(shù)集Z內(nèi)無解，引入了分?jǐn)?shù)，其在有理數(shù)集Q內(nèi)便有解；

方程x2-2=0在有理數(shù)集Q內(nèi)無解，引入了無理數(shù)，其在實(shí)數(shù)集R內(nèi)便有解.

自然數(shù)集N[負(fù)數(shù)] [ ]整數(shù)集Z[分?jǐn)?shù)] [ ]有理數(shù)集Q[有理數(shù)] [ ]實(shí)數(shù)集R.

問題5：數(shù)系的三次擴(kuò)充遵循什么共同的規(guī)律？

學(xué)生3：（1）引入新數(shù)；

（2）在新數(shù)集中，原有的運(yùn)算及其性質(zhì)仍然適用；

（3）新數(shù)集解決了原數(shù)集中一些不能解決的問題.

設(shè)計意圖：從數(shù)的發(fā)展過程讓學(xué)生感悟，數(shù)是客觀存在的，也是人類智慧的結(jié)晶，它既是發(fā)現(xiàn)的，也是發(fā)展的. 每當(dāng)遇到新的似乎不可逾越的問題和障礙時，人類的聰明之處就在于他們會引入新的符號，開辟新的方向，從而帶來新的突破，進(jìn)入新的領(lǐng)域.

3. 師生互動，探求新知

問題6：數(shù)系的擴(kuò)充和發(fā)展是否就到此停滯不前了呢？在以往我們對數(shù)進(jìn)行運(yùn)算或解方程時，還遺留了哪些沒有解決的問題？如何去突破？

學(xué)生4：對負(fù)數(shù)進(jìn)行開方運(yùn)算，或解一元二次方程，當(dāng)判別式Δ<0時，我們便停滯不前，不再深究，確實(shí)有待進(jìn)一步探究.

教師：上述問題其實(shí)可以歸結(jié)為一個基本問題：-1有沒有平方根？它的平方根又是什么？如何表示？

結(jié)合前面的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然會想到可以引入一個新的符號來表示-1的平方根.

簡介虛數(shù)單位“i”的誕生歷史：

1484年法國數(shù)學(xué)家舒開在《算術(shù)三章》中，提出方程x2-3x+4=0的根為x=±，聲明此根是不可能的.

1545年意大利數(shù)學(xué)家卡丹第一次開始討論負(fù)數(shù)開平方的問題，并將“負(fù)數(shù)的平方根”稱為“詭辯量”.

1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡兒給這種虛幻的數(shù)起名為虛數(shù)，意思是虛幻的數(shù).

1777年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首先用字母“i”來表示-1的平方根，虛數(shù)單位i正式誕生.

1801年德國數(shù)學(xué)家高斯系統(tǒng)使用了i這個符號使之通行于世.

1837年愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓建立了完整的復(fù)數(shù)系.

設(shè)計意圖：了解虛數(shù)單位i的引入的艱難歷程，讓學(xué)生感悟科學(xué)上的每一次發(fā)現(xiàn)的進(jìn)步都經(jīng)歷了一個曲折和漫長的過程，同時凝聚著很多人的心血.

（1）復(fù)數(shù)的概念

i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：

①i2=-1；

②實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立.

說明：“加法、乘法運(yùn)算律”是指加法的交換律、結(jié)合律，乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律.

問題7：請你寫出由實(shí)數(shù)2和i進(jìn)行四則運(yùn)算后的一些運(yùn)算結(jié)果.

學(xué)生5：2+i，2-i，2i，-2i

設(shè)計意圖：通過學(xué)生自己寫出的結(jié)果，觀察歸納出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作C.

說明：

①復(fù)數(shù)通常用z表示，即z=a+bi（a，b∈R），其中a，b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部；

②當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，z是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b≠0時，z叫做虛數(shù)，特別地，當(dāng)a=0，b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù).

（3）復(fù)數(shù)的分類

復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）實(shí)數(shù)（b=0）

虛數(shù)（b≠0）純虛數(shù)（a=0，b≠0）

非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）

問題8：判斷下列命題的真假，并說明理由.

①若a=0，則復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù)；

②若復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù)，則a=0.

學(xué)生6：命題①是假命題，命題②是真命題. 因?yàn)閍=0，且b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）是純虛數(shù).

設(shè)計意圖：借助判斷進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對純虛數(shù)概念的理解.

（4）復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部與虛部分別相等.

a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）?a=c，

b=d.

4. 練習(xí)反饋，鞏固提高

例1 說出下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.

4，2-3i，0，-+i，5+i，6i.

問題9：上面的復(fù)數(shù)如何進(jìn)行分類？

設(shè)計意圖：學(xué)生自己觀察、分類并說出分類后它們有什么共同特點(diǎn)，進(jìn)而得出復(fù)數(shù)的分類.

例2 實(shí)數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i是：

（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）6+2i；（5）0？

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)鞏固復(fù)數(shù)分類的概念，后兩問讓學(xué)生大膽嘗試求出對應(yīng)m的值，培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑、善于探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成鍥而不舍的鉆研精神，進(jìn)而得出兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件.

例3 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求實(shí)數(shù)x，y的值.

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的展示、交流，教師的點(diǎn)評，讓學(xué)生在合作對話中解決問題以及體會把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的方法.

試一試：仿照例3自編題目，并求解.

設(shè)計意圖：及時鞏固概念，讓學(xué)生體會到互動學(xué)習(xí)的快樂，理解轉(zhuǎn)化的思想方法在解題中的應(yīng)用，并為復(fù)數(shù)的幾何意義的理解打好基礎(chǔ).

5. 歸納提升 布置作業(yè)

（1）讓學(xué)生回憶并小結(jié)、提煉本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：

①虛數(shù)的單位i；

②復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；

③復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念.

（2）主要思想方法有類比思想、等價與轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想.

設(shè)計意圖：通過學(xué)生自主小結(jié)，讓學(xué)生對本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識有一個整體的把握，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和語言表達(dá)能力.

（2）作業(yè)

①搜集與本節(jié)課有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識，感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程.

②完成習(xí)題3.1 1～4

[?] 教學(xué)反思

本節(jié)課由九個問題貫穿始終，讓問題像清涼的風(fēng)，吹拂在學(xué)生的心田，把問題當(dāng)成老師手中的矛，讓學(xué)生自覺舉起手中的盾，通過“問題串”的設(shè)計，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成和概括過程.

德國教育學(xué)家第斯多惠指出：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于鼓勵、喚醒、鼓舞. ”蘇格拉底也說過“教育不是灌輸，而是點(diǎn)燃火焰. ”教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)課堂激發(fā)學(xué)生積極思維的一種比較好的做法是“問題驅(qū)動法”. 因?yàn)橛辛藛栴}，思維就有了方向；有了問題，思維就有了動力；有了問題，思維才有創(chuàng)新. 問題是思維的起點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn). 沒有問題的教學(xué)將失去魅力.

概念教學(xué)重在理解，在吃透概念的基礎(chǔ)上，學(xué)生才能以不變應(yīng)萬變，形成良好的數(shù)學(xué)問題解決能力. 數(shù)學(xué)教學(xué)的高效就在于圍繞學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計出適度、科學(xué)的問題串來組織教學(xué)，使課堂成為學(xué)生生命生長、潛能形成和個性成長的舞臺. 通過設(shè)置問題串，讓學(xué)生形成認(rèn)知沖突；通過設(shè)置問題串，引領(lǐng)學(xué)生追溯歷史，提煉數(shù)系擴(kuò)充的原則；通過設(shè)置問題串，幫助學(xué)生合乎情理地建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓數(shù)學(xué)理論自然誕生在學(xué)生的思想中，教師僅起到“助產(chǎn)士”的作用.