摘 要：教材編寫有兩條主線：一條是數(shù)學(xué)知識(shí)（明線），另一條是數(shù)學(xué)思想方法（暗線）. 前者容易理解，后者不易看透，前者是教材寫什么，后者是明確為什么要這樣寫. 因此，解讀（通覽教材，掌握內(nèi)容，明確定位）——深究（深鉆教材，弄清重點(diǎn)，把握意圖）——理解（理解教材，挖掘深度，拓展廣度），對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)教育者來(lái)說(shuō)非常重要.

關(guān)鍵詞：蘇教版教材；數(shù)列；特點(diǎn)

蘇教版（試驗(yàn)修訂本·必修五）的第二章數(shù)列內(nèi)容按照“問(wèn)題情境——數(shù)學(xué)活動(dòng)——意義建構(gòu)——數(shù)學(xué)理論——數(shù)學(xué)應(yīng)用——回顧反思”情況的順序展開，通過(guò)列舉生活中的大量實(shí)例，給出數(shù)列的實(shí)際背景，使學(xué)生了解數(shù)列的概念，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，進(jìn)而建立起等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，并探索了等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些基本數(shù)量關(guān)系，研究了這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用. 本文就該章節(jié)的一些顯著變化及其在數(shù)學(xué)教育、教學(xué)方面的深刻意義結(jié)合總體教學(xué)設(shè)計(jì)談一些個(gè)人的淺見.

[?] 新教材數(shù)列章節(jié)的幾個(gè)鮮明特征

（一）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，注重?cái)?shù)學(xué)過(guò)程

在教材內(nèi)容的引入方面，從日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到的如存款利息、購(gòu)房貸款、資產(chǎn)折舊等實(shí)際問(wèn)題談到本章所要學(xué)習(xí)的數(shù)列知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的引入，以計(jì)算某倉(cāng)庫(kù)有兩堆數(shù)目相等但擺放次序相反的鋼管總數(shù)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)：ak+an-（k-1）=a1+an，再引出倒序求和方法.對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念引入也改變舊教材從一個(gè)數(shù)列直接引出定義，而是從三個(gè)特殊問(wèn)題情境，先概括出三個(gè)特殊的數(shù)列，通過(guò)設(shè)問(wèn)觀察其共同特點(diǎn)，從特殊到一般，讓學(xué)生體會(huì)定義過(guò)程.

習(xí)題編排也注意了培養(yǎng)學(xué)生的歸納思維：新教材P39，P52的習(xí)題中，第10題關(guān)于等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的性質(zhì)讓學(xué)生從特殊到一般，推出2an=an-k+an+k，a=an-kan+k（n>k>0，n，k∈N+）. 盡管用通項(xiàng)公式可以方便證明，但用八個(gè)問(wèn)號(hào)編排使學(xué)生學(xué)會(huì)從特殊歸納一般的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法.

新教材注意了擴(kuò)充整合知識(shí)，拓展思維空間. 充要條件概念在舊教材數(shù)列部分沒沾邊，而新教材有多處呈現(xiàn). 在等差中項(xiàng)概念正逆敘述后還特意設(shè)問(wèn)A=是a、A、b成等差數(shù)列的充要條件嗎？等比中項(xiàng)概念也正逆敘述. 另外在參考例題中特意將舊教材中一個(gè)例題：直角三角形三邊長(zhǎng)成等差的性質(zhì)證明改用充要條件命題，雙向證明. 在復(fù)習(xí)參考題中也有充要條件命題出現(xiàn). 眾所周知，充要條件是數(shù)學(xué)思維的基本模式，也是序的本質(zhì)詮釋. 新教材對(duì)此予以強(qiáng)化，正是通過(guò)數(shù)學(xué)概念間邏輯聯(lián)系的方向性，讓學(xué)生體驗(yàn)和理解概念形成的過(guò)程.

（二）利用教材特點(diǎn)，滲透數(shù)學(xué)思想

由于數(shù)列可以看做是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N+（或它的有限子集{1，2，…n}）的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，所以繼函數(shù)之后提前編排數(shù)列教學(xué)，承上啟下，順理成章，恰到好處. 同時(shí)數(shù)列內(nèi)容所反映的基本數(shù)學(xué)思想和方法比較豐富，運(yùn)用的初中知識(shí)也較多，如數(shù)式的運(yùn)算、變換，基本量觀點(diǎn)、方程思想和待定系數(shù)法等.

新教材P116頁(yè)的例2：“在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首項(xiàng)a1和公差d”. P112的例4：“已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎”？這些例題都是新增編的基本例題，讓學(xué)生掌握常用的數(shù)學(xué)思想方法，如方程思想、基本量思想、待定系數(shù)法等. 特別是P117上的例4：“已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=pn+q，其中p，q是常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？如果是，其首項(xiàng)與公差是什么？”這個(gè)例題是新教材編寫的“代表作”，直接揭示了等差數(shù)列的判定方法之一，同時(shí)從其圖象表示可以看出等差數(shù)列的幾何意義；另外還可以從一次函數(shù)的兩個(gè)基本量看出等差數(shù)列由a1=p+q和d=p所確定，可謂是一舉三得.

新教材利用數(shù)列教材內(nèi)容的特點(diǎn)，盡力展示函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)文化提供了眾多素材.

（三）豐富教學(xué)內(nèi)容，拓展思維空間

新教材的另一個(gè)顯著特點(diǎn)是豐富了教學(xué)內(nèi)容，增加辯證思維容量，努力促進(jìn)學(xué)生智力成長(zhǎng)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)理性思維. 主要表現(xiàn)：其一，明確定義了數(shù)列的遞推公式概念. 教材以等差數(shù)列前后項(xiàng)的關(guān)系，實(shí)例引入，給出遞推公式定義，讓學(xué)生理解遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，培養(yǎng)學(xué)生由此及彼的聯(lián)想思維能力；其二，教材與時(shí)俱進(jìn)，更新內(nèi)容，增加了子數(shù)列、和數(shù)列以及數(shù)列的線性運(yùn)算等內(nèi)容，一方面加深對(duì)等差、等比兩類基本數(shù)列有關(guān)性質(zhì)的理解，另一方面將數(shù)列內(nèi)容中的辯證唯物主義觀點(diǎn)，如對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、普遍聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的思想方法充分展示出來(lái)，拓展了教與學(xué)的思維空間，有利于學(xué)生的智力成長(zhǎng)和理性思維的培養(yǎng).

如P118和P128練習(xí)中第3題都是特殊數(shù)列（等差、等比）對(duì)去掉前k項(xiàng)、取出所有奇數(shù)項(xiàng)以及每隔一常數(shù)（如7、10）項(xiàng)取出一項(xiàng)的子數(shù)列的研究. 又如P119由{an}、{bn}為等差數(shù)列（項(xiàng)數(shù)相同），探討{pan+qbn}（其中p、q是常數(shù)）的等差性質(zhì)；P127由{an}、{bn}為等比數(shù)列（項(xiàng)數(shù)相同），研究{an·bn}的等比性質(zhì)；以及P129{an}（an>0）為等比數(shù)列，求證{}是等比數(shù)列. 再如P123研究群數(shù)列an=1+2+3+…+（n-1）+n+（n-1）+…+3+2+1以及P123、P133研究等差、等比數(shù)列的分段和Sk，S2k-k，S3k-2k（k∈N+）成等差、等比的性質(zhì)等等.

新教材為我們奉獻(xiàn)了理想的重要課程資源. 如何利用和開發(fā)好新課程資源，實(shí)現(xiàn)課程改革宗旨，如何以人的發(fā)展為本，轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，倡導(dǎo)和實(shí)施建構(gòu)的學(xué)習(xí)，把教育重心移到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力上來(lái)，是擺在我們教育工作者面前必須認(rèn)真思考的問(wèn)題. 下面就數(shù)列內(nèi)容的總體教學(xué)設(shè)計(jì)談一些淺見.

[?] 多元的有效教學(xué)意圖和教學(xué)對(duì)話策略

數(shù)列內(nèi)容的新課程設(shè)計(jì)與時(shí)俱進(jìn)，注重了數(shù)學(xué)過(guò)程，滲透數(shù)學(xué)思想和拓展思維空間. 基于對(duì)課程與教學(xué)一體化的認(rèn)識(shí)，我們的教學(xué)設(shè)計(jì)需要與新課程相對(duì)應(yīng)的新的教學(xué)觀. 教學(xué)的目的在于幫助每一個(gè)學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)，教師須精心策劃多元的有效教學(xué)意圖，實(shí)施教學(xué)對(duì)話、體驗(yàn)過(guò)程的交流互動(dòng)策略，使學(xué)習(xí)者得到盡可能充分的發(fā)展.

（一）豐富課程思考以拓展學(xué)生視野

對(duì)數(shù)列內(nèi)容應(yīng)該從以下四方面豐富思考，幫助學(xué)生理解知識(shí)，拓展視野，即“背景、程序、辯證、回歸”.

1. 函數(shù)是源，數(shù)列是流. 背景，即揭示背景，對(duì)數(shù)列知識(shí)理解更深刻. 數(shù)列有關(guān)概念、性質(zhì)只是函數(shù)的相應(yīng)概念、性質(zhì)在限制自變量n∈N+下的體現(xiàn). 如等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式分別是n的一次、二次函數(shù)（缺常數(shù)項(xiàng)）；等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式分別是指數(shù)函數(shù)qn的一次復(fù)合：an=qn、Sn=qn-（q≠1）；尤其是分段函數(shù)思想在數(shù)列學(xué)習(xí)中學(xué)生時(shí)常疏忽. 如

an=S1（n=1），

Sn-Sn-1（n≥2），

Sn=na1（q=1），

（q≠1）.

2. 定義是源，結(jié)構(gòu)是流. 程序，即理解程序性知識(shí)，遷移、運(yùn)用知識(shí)更自然. 中學(xué)里學(xué)習(xí)的數(shù)列知識(shí)主要是等差、等比兩類特殊數(shù)列以及它們的組合、變式. 對(duì)等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式的歸納求法、求和公式的倒序相加、等差性質(zhì)、判定等差……都是由等差定義推出；對(duì)等比數(shù)列其通項(xiàng)歸納、求和公式的錯(cuò)項(xiàng)相減、等比性質(zhì)、判定等比……也都由an=an-1q得到. 對(duì)于等差、等比數(shù)列的子數(shù)列、分段和數(shù)列以及它們的組合、變式均可以用特殊數(shù)列定義轉(zhuǎn)化. 如遞推數(shù)列a1=a，

an+1=can+d，其中c≠0、c≠1，其特例即等差數(shù)列、等比數(shù)列.

3. 關(guān)系是源，形式是流. 辯證，即以辯證觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列，雖然數(shù)列給出方法千變?nèi)f化，形式各異，但其數(shù)學(xué)關(guān)系，基本量的結(jié)構(gòu)關(guān)系是源頭. 一方面認(rèn)識(shí)問(wèn)題，運(yùn)用辯證觀點(diǎn)以揭示其關(guān)系為基本策略，抓住關(guān)系就是牽住了牛鼻子；另一方面變換問(wèn)題，圍繞關(guān)系辯證選擇變換策略，或者利用已知關(guān)系，變換問(wèn)題形式.

4. 生活是源，數(shù)學(xué)是流. 回歸，即生產(chǎn)、生活、實(shí)踐是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的直接源泉. 數(shù)學(xué)思維是對(duì)客觀實(shí)際的抽象、概括、總結(jié). 等差、等比數(shù)列知識(shí)是現(xiàn)實(shí)中等量增、減，指數(shù)變化的模式概括. 其實(shí)四則運(yùn)算中的加減、乘除（指數(shù)運(yùn)算不過(guò)是連續(xù)乘而已a(bǔ)n=aaa…a）及其混合的規(guī)律性變化在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見. 山林木材的等比增長(zhǎng)、銀行存款的復(fù)利計(jì)息、城市建設(shè)住房總面積的等比增長(zhǎng)，伴隨著年末等量砍伐利用、等額取用款子、舊房的等量拆除，即所謂等比、等差復(fù)合問(wèn)題. 引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)一類問(wèn)題共性，歸納領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)模式，使教學(xué)既源于具體情境，又超越具體情境，學(xué)生獲取的才是高于真情實(shí)感的，能動(dòng)而有活力的知識(shí).

（二）體驗(yàn)數(shù)學(xué)過(guò)程的教學(xué)對(duì)話策略

下面通過(guò)一個(gè)教學(xué)案例，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)過(guò)程的教學(xué)對(duì)話策略的具體運(yùn)用. （教科書P133頁(yè)研究性課題）分期付款中的有關(guān)計(jì)算.

設(shè)購(gòu)買一件售價(jià)為a元的商品，采用分期付款方式，要求在m個(gè)月內(nèi)將款全部付清，分n次付款（n是m的約數(shù)）月利率為p，求每次付款數(shù).

解法1：要求m個(gè)月內(nèi)付清，分n次付，每次間隔個(gè)月. 設(shè)每次均還x元.

第1次還款后尚欠：a（1+p）-x；

第2次還款后尚欠：[a（1+p）-x]·（1+p）-x=a（1+p）-x（1+p）-x；

第3次還款后尚欠：[a（1+p）-x（1+p）-x]（1+p）-x

=a（1+p）-x[（1+p）+（1+p）+1]

……

第n次還款后清：a（1+p）-x[（1+p）+…+（1+p）+1]=0

a（1+p）m=x

，

即x=.

解法2：商品增值與還款連息兩個(gè)量分別考慮：商品增值a（1+p）m，

還款連息：x[（1+p）+…+（1+p）+1]列成等式，

所以x[（1+p）+…+（1+p）+1]=a（1+p）m，

即有x=.

兩種解法比較，解法2較簡(jiǎn)潔，解法1用歸納思想，解法2體現(xiàn)降維思維. 一題多解、多題一解是數(shù)學(xué)思維的基本素質(zhì)，只有在學(xué)習(xí)過(guò)程中，有意識(shí)地將知識(shí)遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗(yàn)多樣性，學(xué)懂學(xué)透，數(shù)學(xué)能力、創(chuàng)新思維才能與日俱增.

新課程改革提倡“用教科書教”，這給教師帶來(lái)了極大的自主創(chuàng)造空間. 新課程為倡導(dǎo)建構(gòu)學(xué)習(xí)、培養(yǎng)理性思維做了示范，而我們教師是課程資源的有機(jī)組成部分. 只要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)（練習(xí)、實(shí)踐），體驗(yàn)數(shù)學(xué)過(guò)程（反思、理性化），就能拓展課程資源，以活潑、清新、富于理性思維的內(nèi)容參與教學(xué)，拓展空間，激活思維，提高素質(zhì)，以實(shí)現(xiàn)新課程改革的初衷.