摘 要：教學(xué)中不可小視學(xué)生，有些學(xué)生對數(shù)學(xué)問題不僅僅局限于常規(guī)的解法，而是在你不經(jīng)意的時候讓你眼前一亮，或是猝不及防，他們的那些為什么，可以讓課堂產(chǎn)生意想不到的效果. 由此給我們教者一些思考，只有讓學(xué)生陶醉在和諧、辯證、統(tǒng)一的數(shù)學(xué)求解探究的氛圍之中，才能夠讓他們真正地學(xué)會思考，學(xué)會學(xué)習(xí)，使課堂效益最大化.

關(guān)鍵詞：獨立思考；探究；合作交流；數(shù)學(xué)思維

在高三復(fù)習(xí)中，常常會進(jìn)行靈活性較強的綜合題演練和講評，其目的在于，強化學(xué)生對核心知識與方法的綜合運用，加深理解，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，從而近一步提高靈活解題的能力，以及能從整體的高度駕馭高中所學(xué)的內(nèi)容. 但在實際的教學(xué)中，往往并不能達(dá)到預(yù)期中的目標(biāo)和效果，而不得不陷入就題論題的講課模式，極大地阻礙了學(xué)生獨立思考、積極探究，更談不上合作交流、開啟思維. 本文想以一道高三模擬試題為例，談?wù)劺脤υ囶}的解答過程的研究，再現(xiàn)師生真實思維的過程，思考實現(xiàn)有效溝通的方法.

[?] 題目

如圖1：△ABC中，AB=3，AC=6，BC=7， AD為∠BAC的角平分線且AD交BC于D，求BD∶DC.

[A][B][C][D]

圖1

[?] 課堂再現(xiàn)

教師：同學(xué)們，這道題考查的知識背景是什么？

學(xué)生1：我認(rèn)為主要考查三角形的邊角關(guān)系.

教師：很好，那么接下來請三個學(xué)習(xí)小組分別研究該圖形中給定的邊角關(guān)系，并進(jìn)一步探究它們之間的聯(lián)系.

小組1代表：由三邊的長：AB=3，AC=6，BC=7，運用余弦定理可以求出三角的余弦值.

小組2代表：因為AD是∠BAC的角平分線，所以∠BAD =∠CAD且sin ∠BAD=sin∠CAD，cos∠BAD=cos∠CAD.

小組3代表：∠ADB+∠ADC=180°這個關(guān)系也很重要，sin∠ADB=sin∠ADC，cos∠ADB+cos∠ADC=0.

教師：大家分析得很好，那么聯(lián)系三角形邊角關(guān)系的紐帶是什么呢？

學(xué)生一起回答：正弦定理與余弦定理！

教師：很好，接下來就請同學(xué)們圍繞正弦定理與余弦定理這兩個核心來探索本題，看能否各自突破，還是要聯(lián)手解決？（思考，研究，激烈的討論……）

小組1代表板書：△BAD中：=（1），

△CAD中：=（2）.

因為∠ADB+∠ADC=π，∠BAD=∠CAD，

所以sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠CAD，所以得：===.

小組2代表板書：設(shè)AD=y，BD=x，CD=7-x，

cos∠ADB=，

cos∠ADC=，

cos∠BAD=，

cos∠CAD=，

所以

+

=0，

=

. 但因為運算量大而未解出答案.

小組3代表，我組贊同小組2的解法，但我們建立的是方程組：

cosB=

=，

=

，

很快解出x=.

教師：以BD的長為目標(biāo)，運用“方程（組）的思想”解決問題確實是可行的一種選擇，但此種方法運算量相對較大，所以方程的選擇至關(guān)重要，在這一點上小組3的選擇是明智的. 以上是大家從正弦、余弦定理的角度解決了本題，也抓住了三角形問題的核心，但對于這道題的解答，我們是不是還可以找到其他的解題途徑呢？（小組思考交流）

學(xué)生2：作AH⊥BD，垂足為H，S△ABD=BD·AH=AB·AD·sin∠BAD，S△ACD=CD·AH=AC·AD·sin∠CAD，因為====.

[A][B][C][D][H]

圖2

教師：此解法非常漂亮，運用幾何關(guān)系，巧妙地借助三角形的面積公式將本題求解，真的很棒！學(xué)生的氣氛明顯活躍了，很多人都蠢蠢欲動.

學(xué)生3：受學(xué)生2的啟發(fā)，他分別過D作AB和AC邊上的高DE，DF，S△ABD=BD·AH=AB·DE，S△ACD=CD·AH=AC·DF，所以====.

[A][B][C][D][E][F]

圖3

教師：你太棒了！你的思維腳步跟得可真快呀，根本未用高中數(shù)學(xué)知識就渡過了這個難關(guān)，那么同學(xué)們能否就憑借初中平面幾何的知識來進(jìn)一步探究本題呢？

學(xué)生4：本題求的是一個比值，我認(rèn)為應(yīng)該可以從構(gòu)造相似比的角度去思考，但是暫時我還未想到辦法. （同學(xué)們笑了）

教師：學(xué)生4的想法很可貴，同學(xué)們能否就從這個切入口試試看？（思考，探究，討論）

[A][B][C][D][E]

圖4

小組3代表：過C作AB的平行線CE交AD的延長線于點E， 易得△ABD∽△CED，∠AEC=∠CAE，所以=，AC=CE，所以==.

因此， 靈活性思維是善于抓住問題的各個方面，又不忽視其重要細(xì)節(jié)的思維品質(zhì)，并要求學(xué)生能認(rèn)真分析題意，調(diào)動和選擇與之相應(yīng)的知識，尋找解答途徑.

小組1代表：我們過點B作AC的平行線BE交AD的延長線于點E，也可以類似地解決問題.

==. 因為∠BAD=∠ADE=∠DAE，所以AE=DE，所以=，所以DE=2，所以=，所以=.

[A][B][C][D][E]

圖5

小組2代表：也可以過點D作AB的平行線交AC于E.

教師：同學(xué)們的思維也啟發(fā)了老師，大家不覺得“”這個比值很特殊嗎？

學(xué)生：三角形的重心將每一條中線分成了的兩段.

教師：BC是中線嗎？D是重心嗎？（思考，探究，討論）

學(xué)生：老師，我們有辦法了，將AB長延至E使BE=AB=3，連接CE，延長AD交CE于F，則CB為邊AE的中線，AF為邊CE的中線，那么D即為三角形ACE的重心.

[A][B][C][D][E][F]

圖6

教師：非常好！但是如果將AB=3換成AB=4呢？或?qū)D為角A的平分線去掉呢？剛剛“構(gòu)造重心”的這種方法具有一定的局限性. 以上的解題方法真可謂異彩紛呈！探究的路上，老師從你們身上感染了不懈追求的精神，老師相信你們一定能成功地徜徉在數(shù)學(xué)的海洋里，最后希望同學(xué)們能扎實地掌握一類問題的通性通法！

[?] 幾點思考

重新審視這道題目，很顯然命題人的意圖是以一道“較簡單”的題來考查三角形的邊角關(guān)系，但該題的得分情況卻讓人始料未及，大部分學(xué)生無從下筆，少部分做出來的學(xué)生也在此耗費了大量的時間，再加上這道題放在15題的位置也很大程度上影響了考生的心態(tài)，導(dǎo)致后面的基礎(chǔ)題與中檔題發(fā)揮不好，最終這次模擬考試的數(shù)學(xué)成績可想而知. 這種結(jié)果引起了我們的反思，究竟我們平時的教學(xué)環(huán)節(jié)出了什么問題，真的是學(xué)生能力達(dá)不到嗎？在這堂課講評后，我們從學(xué)生的反應(yīng)可以發(fā)現(xiàn)，我們在平常教學(xué)中不可小視學(xué)生，有些學(xué)生解數(shù)學(xué)問題時不局限于常規(guī)的解法，而是在你不經(jīng)意的時候讓你眼前一亮，或是猝不及防，他們的那些為什么，可以讓課堂產(chǎn)生意想不到的效果. 由此給我們教者一些思考，只有讓學(xué)生陶醉在和諧、辯證、統(tǒng)一的數(shù)學(xué)求解探究的氛圍之中，才能夠讓學(xué)生真正地學(xué)會思考，學(xué)會學(xué)習(xí)，使課堂效益最大化.

1. 讓數(shù)學(xué)課堂在學(xué)生的問題探究中自然生成

有效的數(shù)學(xué)課堂離不開教師的精心預(yù)設(shè)，但如果死抱預(yù)設(shè)的教案，害怕“出格”，排斥學(xué)生的個性思考，其結(jié)果是泯滅了學(xué)生的創(chuàng)造性. 就像本節(jié)講評課，如果教師只是講幾種解法，不讓學(xué)生去探究，學(xué)生的思維不可能得到有效的鍛煉. 可能與教師先前預(yù)設(shè)的課堂講評內(nèi)容是不一樣的，從課堂容量的角度看似遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，但是筆者相信這節(jié)課一定會讓學(xué)生對三角形的邊角關(guān)系問題的解決有了一個更深刻的認(rèn)識，也讓為師者對學(xué)生的思維潛力有了全新的認(rèn)識. 從學(xué)生身上筆者看到了迷惘時的焦急、探究時的熱情、成功時的喜悅. 而這樣的一個過程對于我們老師來說又何嘗不是一種提高，況且要成為一個優(yōu)秀的課堂引導(dǎo)者，需要我們對自己有更高的要求，要有更充分的課前準(zhǔn)備和研究. 筆者相信只有提高了自己，才有可能提高學(xué)生.

2. 讓數(shù)學(xué)課堂在學(xué)生的積極思考中和諧統(tǒng)一

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是動態(tài)的，學(xué)生不是承載知識的容器，他們帶著自己的知識、經(jīng)驗、思考、興致參與課堂，用特有的思維方式構(gòu)建著對數(shù)學(xué)的理解，教學(xué)中對學(xué)生的思考要因勢利導(dǎo)，善于從學(xué)生的問題中生成鮮活的教學(xué)資源，并充分加以利用，如利用課堂上學(xué)生的靈機一動、疏忽大意、節(jié)外生枝、深思頓悟等等，努力為學(xué)生營造一個寬松、民主、開放、愉快的教學(xué)環(huán)境，讓學(xué)生多質(zhì)疑，多探索，使數(shù)學(xué)課堂充滿生機和活力，真正成為學(xué)生全面發(fā)展、訓(xùn)練思維的主戰(zhàn)場. 在本節(jié)課中，通過評講活動，展示學(xué)生的原思維情景，特別是其中的曲折反復(fù)的探索經(jīng)歷，讓學(xué)生看到了老師和同學(xué)當(dāng)初是如何進(jìn)行分析、判斷，繞過障礙，走向成功的，尤其是展現(xiàn)出師生探索中的無效或錯誤的思維過程，讓學(xué)生評價為什么會產(chǎn)生錯誤或無效，如何避免，讓學(xué)生看到更正錯誤、調(diào)整方向的思維過程，這種再創(chuàng)造的形式，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)品質(zhì)的樸素而有效的方法.

3. 教師要加強學(xué)習(xí)，提高課堂的應(yīng)變能力

在教學(xué)的實踐中，我們能體會到，課前無論教師將問題考慮得多么充分，都無法完全預(yù)測到學(xué)生在課堂上自我構(gòu)建新知的過程中會回答或提出怎樣的問題，新課程的理念之風(fēng)已經(jīng)在教育這片沃土上吹拂了很久，我們教師也慢慢地從思想上接受和認(rèn)同了新理念，但是在教學(xué)實踐中，我們還難以真正做到“學(xué)生會說的話我們老師不說，學(xué)生能做的事我們老師不做”. 反思自己的教學(xué)，就好比“教小孩走路”，已經(jīng)從“將其緊緊地抱在懷中”向“將其放到地面上，只是還不敢大膽放開他們的手”轉(zhuǎn)變，相信現(xiàn)在的自己已經(jīng)從學(xué)生的身上獲得了勇氣，筆者已不怕他們會跌倒，因為筆者知道他們一定能勇敢地站起來，何況還有我們老師“做好了準(zhǔn)備”適時地拉他們一把. 只有這樣，他們才能早一天穩(wěn)健地獨行在數(shù)學(xué)之路上. 所謂“學(xué)然后知不足，教然后知困也”. 教師如何教？是將知識點告知學(xué)生，還是讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下的合作探究中去發(fā)現(xiàn)？是將一種又一種的解題方法展現(xiàn)給學(xué)生，還是讓學(xué)生自行去挖掘，去討論，去比較？是不辭辛苦地一次又一次強調(diào)何處是易錯點，還是讓學(xué)生在易錯處狠狠跌個大跟頭再痛定思痛，追根溯源？是在講解問題時提示并詢問學(xué)生這是何種思想方法，還是不斷滲透思想方法，并讓學(xué)生探究感悟每一種思想方法的“源頭”和“流向”？ 的確，學(xué)生在學(xué)習(xí)中暴露出來的問題也正折射了我們教師在教學(xué)中的不足，我們期待學(xué)生的提高與進(jìn)步，就應(yīng)該對自己有更高的要求與追求.

總之，課堂教學(xué)是一個動態(tài)的生成過程，教師隨時都面臨著巨大的挑戰(zhàn). 只有不斷地加強自身的學(xué)習(xí)，深入理解課堂教學(xué)的本質(zhì)，并掌握一定的教學(xué)技巧，才能不斷地提升課堂應(yīng)變能力，更好地適應(yīng)新課程的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，機智地引領(lǐng)課堂走向智慧、高效，為培養(yǎng)高素質(zhì)的人才做出積極的貢獻(xiàn).