摘 要：等比數(shù)列是一種比較特殊的數(shù)列，它在日常生活中有著極為廣泛的應(yīng)用空間，比如在進(jìn)行產(chǎn)品規(guī)格設(shè)計(jì)時(shí)、在進(jìn)行儲(chǔ)蓄或者分期付款時(shí)，都要涉及與等比數(shù)列有關(guān)的計(jì)算. 在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列教學(xué)時(shí)，便應(yīng)當(dāng)注意到理論知識(shí)與實(shí)踐應(yīng)用的結(jié)合，從教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)即要注意實(shí)踐應(yīng)用的可能性及其與學(xué)生接受程度的銜接把握.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；等比數(shù)列；實(shí)踐；教學(xué)方法

等比數(shù)列是一種比較特殊的數(shù)列，它一方面具有理論知識(shí)內(nèi)涵豐富的特點(diǎn)，同時(shí)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系也較緊密，而另一方面，它在日常生活中有著極為廣泛的應(yīng)用空間，學(xué)好等比數(shù)列對(duì)于學(xué)好整個(gè)數(shù)列章節(jié)的內(nèi)容，甚至高中數(shù)學(xué)都有極大的促進(jìn)意義. 可是由于受到多種因素的制約，很多學(xué)生在處理與等比數(shù)列有關(guān)知識(shí)時(shí)，常常走入誤區(qū)，最為顯著的問(wèn)題是懂理論而不懂實(shí)踐，從而影響到處理實(shí)際問(wèn)題的準(zhǔn)確性與靈活性. 為了避免這種“常見病”的發(fā)生，我們需要從課題導(dǎo)入階段即注意到等比數(shù)列實(shí)踐應(yīng)用教學(xué)策略的實(shí)施問(wèn)題.

[?] 高中生等比數(shù)列知識(shí)輸入的實(shí)踐應(yīng)用

等比數(shù)列知識(shí)的理論性很強(qiáng)，但這并不意味著其實(shí)踐性薄弱，恰恰相反，因?yàn)榈缺葦?shù)列知識(shí)的趣味性與實(shí)用性所致，其在生活中得到了廣泛應(yīng)用，并且引起了古今多位數(shù)學(xué)家的注意，這些數(shù)學(xué)家所給出的名題，是高中數(shù)學(xué)課堂課題引入的法寶.

意大利中世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家斐波那契曾經(jīng)在1202年時(shí)創(chuàng)作《計(jì)算的書》，在當(dāng)時(shí)即風(fēng)靡一時(shí)，成為各學(xué)院普遍應(yīng)用的數(shù)學(xué)專業(yè)教科書，在《計(jì)算的書》里面，斐波那契提到了一個(gè)兔子數(shù)列問(wèn)題，是數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典，與之類似的還有另外一個(gè)問(wèn)題. 7名婦女去羅馬，每名婦女7匹馬，每匹馬馱7麻袋，每個(gè)麻袋7張餅，每張餅配7把刀，每把刀有7個(gè)鞘，請(qǐng)問(wèn)婦女、馬、麻袋、餅、刀與刀鞘的數(shù)量分別是多少？

在公元前1650年的埃及，一位叫做阿摩斯的祭司在草紙上抄下了下面的問(wèn)題：現(xiàn)有5間房子，每間房子里有5只貓，每只貓每天吃5只老鼠，每只老鼠每天吃7棵麥子，問(wèn)數(shù)量各是多少？

同樣，在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》里面也有一個(gè)關(guān)于等比數(shù)列的問(wèn)題，它以數(shù)字9為首項(xiàng)和公比，題目是這樣的：“出門望九堤”，內(nèi)容是：“今出門望見九堤，堤有九木；木有九枝；枝有九巢；巢有九禽；禽有九雛；雛有九毛；毛有九色，各有幾何？”

當(dāng)在正式接觸等比數(shù)列之前，教師給學(xué)生呈現(xiàn)上述三個(gè)富于實(shí)踐性與趣味性的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)表現(xiàn)出極大的學(xué)習(xí)熱情. 教師便可趁熱打鐵，設(shè)置出接近學(xué)生心理的探究方案.

探究方案一：同學(xué)們，當(dāng)看到上述幾個(gè)問(wèn)題以后，你有哪些想法？

通過(guò)這種歷史數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用問(wèn)題而呈現(xiàn)的探究方案，可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)哲學(xué)中體現(xiàn)的思想方法：從古至今，許多數(shù)學(xué)家都提出了極富創(chuàng)造性的問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行研究是良好的學(xué)習(xí)方法，利于幫助學(xué)生揭開數(shù)學(xué)的神秘面紗.

探究方案二：要求同學(xué)們把每個(gè)問(wèn)題里面的量依順序形成數(shù)列，并提出“這些數(shù)列屬于此前我們學(xué)過(guò)的等差數(shù)列嗎”的問(wèn)題，并要求學(xué)生說(shuō)明原因.

新知學(xué)習(xí)要有掌握知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，也就是說(shuō)舊知識(shí)是新知識(shí)的起點(diǎn). 因此從問(wèn)題中設(shè)想到等差數(shù)列，對(duì)于學(xué)生接觸等比數(shù)列來(lái)說(shuō)能夠幫助其激活學(xué)生心理認(rèn)知，為等比數(shù)列的類比研究埋下伏筆.

探究方案三：既然上述三個(gè)實(shí)踐問(wèn)題中的數(shù)列不屬于等差數(shù)列，那么我們?cè)僬页鏊麄兯哂械慕y(tǒng)一特征.

該探究方案建立在學(xué)生既有認(rèn)知體系的基礎(chǔ)上，因此學(xué)生非常容易了解到這些數(shù)列所具有的特征，那就是相鄰兩項(xiàng)比值為同一常數(shù)，接下來(lái)便可以以等差數(shù)列為參考，明確此類數(shù)列為等比數(shù)列.

[?] 高中生等比數(shù)列知識(shí)輸出的實(shí)踐應(yīng)用

當(dāng)學(xué)生了解了等比數(shù)列的基本概念以后，教師即應(yīng)迅速改變教學(xué)思路，從原來(lái)的給學(xué)生灌輸基本理論與解題技巧的角度，轉(zhuǎn)移到帶領(lǐng)學(xué)生在實(shí)踐中輸出舊知識(shí)啟發(fā)新知識(shí)的角度，也就是說(shuō)教學(xué)不是停留在僵化的單線介入模式上，而是要形成新型的以實(shí)踐應(yīng)用促進(jìn)能力提升的模式. 這種觀念的轉(zhuǎn)移使得高中等比數(shù)列課堂教學(xué)呈現(xiàn)出質(zhì)的變化，重點(diǎn)表現(xiàn)在兩個(gè)方面，其一是對(duì)重點(diǎn)與難點(diǎn)的定位出現(xiàn)了變化；其二是對(duì)過(guò)程設(shè)計(jì)增加了實(shí)踐性色彩.

（一）對(duì)重點(diǎn)與難點(diǎn)的定位

教學(xué)重點(diǎn)通常情況下意為教學(xué)過(guò)程中關(guān)鍵的概念、原理（其中包括定理與公式等），此外還有一些對(duì)解決問(wèn)題有幫助的方法與技能；教學(xué)難點(diǎn)通常情況下意為按照經(jīng)驗(yàn)所發(fā)現(xiàn)的，學(xué)生不容易理解的有關(guān)教學(xué)內(nèi)容. 傳統(tǒng)意義上對(duì)于重點(diǎn)的定位，對(duì)于難點(diǎn)的把握與突破，無(wú)疑是課堂教學(xué)的重點(diǎn)，而在實(shí)踐應(yīng)用的理念下，重點(diǎn)與難點(diǎn)的基本內(nèi)容雖然不會(huì)發(fā)生大的變化，但是定位途徑卻有了很大差別，那就是教師要從單純教授重難點(diǎn)的思路中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)而用實(shí)踐應(yīng)用的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生自覺發(fā)現(xiàn)重點(diǎn)，認(rèn)識(shí)難點(diǎn).

比如從學(xué)生對(duì)數(shù)列的了解程度來(lái)分析，學(xué)生已經(jīng)能夠明白等差數(shù)列對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活的重要意義，了解到現(xiàn)實(shí)生活中有大量數(shù)列模型和等差數(shù)列是有密切關(guān)系的，同時(shí)掌握了等差數(shù)列概念及通項(xiàng)公式等知識(shí). 在此情況下，教師可以告知學(xué)生：和等差數(shù)列類似，等比數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用范圍也非常廣泛. 然后教師即可以在等比數(shù)列公式傳授之前，給學(xué)生提供生活中常見的問(wèn)題情境，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)從生活中走向重點(diǎn)、難點(diǎn)，探索并研究等比數(shù)列通項(xiàng)公式為解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)的便利. 這種先果后因的探索方式經(jīng)實(shí)踐證明是較為有效的.

另外，因?yàn)閿?shù)列是一類比較特別的函數(shù)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式同時(shí)也是數(shù)列函數(shù)表達(dá)式. 我們站在函數(shù)的角度進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列通項(xiàng)公式同指數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有相近之處. 那么教師也完全可以將指數(shù)函數(shù)引入到課堂教學(xué)中來(lái)，作為實(shí)踐應(yīng)用的環(huán)境背景，讓學(xué)生在輸出知識(shí)時(shí)增加知識(shí)、增長(zhǎng)能力，如此一來(lái)掌握重難點(diǎn)知識(shí)便減少了難度.

（二）在過(guò)程設(shè)計(jì)中增加實(shí)踐性

根據(jù)高中數(shù)學(xué)等比數(shù)列實(shí)踐性應(yīng)用教學(xué)的要求，教師應(yīng)當(dāng)以更加積極的姿態(tài)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程予以設(shè)計(jì). 在教學(xué)過(guò)程中存在一對(duì)主要矛盾，那就是等比數(shù)列目標(biāo)要求學(xué)生實(shí)際水平及接受能力間的矛盾，這個(gè)矛盾的深化程度影響著教學(xué)性質(zhì)與教學(xué)層次，并貫穿在教學(xué)過(guò)程始終. 教學(xué)過(guò)程的雙方是教師和學(xué)生，師生的互動(dòng)交往會(huì)對(duì)這對(duì)主要矛盾產(chǎn)生直接影響，如果過(guò)程設(shè)計(jì)得當(dāng)，學(xué)生便可以在教師的帶領(lǐng)下更好地建構(gòu)思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并很快將目標(biāo)知識(shí)帶入思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)之內(nèi). 教師在進(jìn)行過(guò)程設(shè)計(jì)時(shí)，需要注意到輸入與輸出的關(guān)系問(wèn)題，體現(xiàn)出以學(xué)生發(fā)展作為根本要求的目標(biāo)，同時(shí)正確定位自身的組織者角色. 一次成功的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)需要包含教學(xué)程序、雙方活動(dòng)及設(shè)計(jì)意圖等項(xiàng)內(nèi)容. 我們強(qiáng)調(diào)基于知識(shí)輸出的實(shí)踐應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)在過(guò)程設(shè)計(jì)中增加實(shí)踐性，在等比數(shù)列的教學(xué)中可以很好地體現(xiàn)出來(lái)，比如為了達(dá)到良好的教學(xué)效果，便要注意加強(qiáng)等比數(shù)列同等差數(shù)列的類比關(guān)系引導(dǎo)，讓學(xué)生在輸出等差數(shù)列知識(shí)時(shí)輸入等比數(shù)列知識(shí). 比較顯著的一個(gè)案例是：按照等差數(shù)列處于直角坐標(biāo)系里面的作圖能夠認(rèn)識(shí)到等差數(shù)列同一次函數(shù)間所具有的關(guān)系，這是知識(shí)的輸出；而在學(xué)習(xí)等比數(shù)列同指數(shù)函數(shù)相互關(guān)系時(shí)，也可以類比思考相似方法，這是知識(shí)的輸入. 總之教學(xué)設(shè)計(jì)是教師進(jìn)行課堂教學(xué)的前提條件，如果教師應(yīng)用得當(dāng)，便可以讓學(xué)生一邊學(xué)習(xí)一邊思考，一邊利用舊知識(shí)，一邊汲取新知識(shí)，在新舊知識(shí)的同步輸入輸出過(guò)程中，增加實(shí)踐性無(wú)疑是一種有效的教學(xué)策略.

[?] 總結(jié)

當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教育界在討論教學(xué)問(wèn)題時(shí)提到頻率最高的一個(gè)詞是“有效”，誠(chéng)然，對(duì)于一名數(shù)學(xué)教育人員來(lái)說(shuō)，出于有效的要求，我們繞不開三個(gè)重要問(wèn)題：哪種數(shù)學(xué)教學(xué)方式最為有效？怎樣讓數(shù)學(xué)課堂更加有效？怎樣拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離. 筆者的觀點(diǎn)是：這三個(gè)問(wèn)題可以歸結(jié)為一個(gè)統(tǒng)一的答案，那就是對(duì)于理論和實(shí)踐應(yīng)用聯(lián)系的不懈追求. 荷蘭數(shù)學(xué)教育專家福來(lái)但塔爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“與其讓學(xué)生走近數(shù)學(xué)，倒不如反其道而行之，讓數(shù)學(xué)更接近學(xué)生. ”這個(gè)讓數(shù)學(xué)接近學(xué)生的過(guò)程，就是最理想的教學(xué)過(guò)程，也就是數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐應(yīng)用相聯(lián)系的過(guò)程. 在此過(guò)程中，學(xué)生從學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)的根本轉(zhuǎn)變才有可能實(shí)現(xiàn)，才能從學(xué)習(xí)生成性知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樽杂X接受數(shù)學(xué)遷移訓(xùn)練，從而獨(dú)立思考問(wèn)題、解決問(wèn)題.