摘 要：高中數(shù)學(xué)在概念的學(xué)習(xí)、問題的解決和知識(shí)框架的形成過程中，處處顯示著數(shù)學(xué)思想的光芒. 其中函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、歸類總結(jié)等思想的滲透，為學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)指引了方向，從本質(zhì)上提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，真正地做到了“增效減負(fù)”. 本文針對(duì)高考的熱點(diǎn)問題——函數(shù)，淺談在函數(shù)學(xué)習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)思想的滲透，以幫助學(xué)生順利解決函數(shù)問題，提升綜合能力.

關(guān)鍵詞：高中函數(shù)；數(shù)學(xué)思想；滲透教育

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的主要板塊，能夠幫助學(xué)生巧妙地學(xué)習(xí)方程、不等式和解析幾何等知識(shí)，是處理數(shù)學(xué)問題的有效手段. 在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，函數(shù)是最為基礎(chǔ)的概念，靈活地將數(shù)學(xué)知識(shí)橫向、縱向聯(lián)系在一起，以一種動(dòng)態(tài)的、相依的關(guān)系表現(xiàn)出來，在數(shù)學(xué)知識(shí)的穿梭中處處顯示著數(shù)學(xué)思想的光芒，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的基礎(chǔ)和精髓. 可見，在高中函數(shù)的學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)思想是廣大教育工作者研究的熱門課題，可以為學(xué)生靈活掌握函數(shù)奠定堅(jiān)實(shí)的思想基礎(chǔ).

[?] 深度解析數(shù)學(xué)思想，做到靈活滲透

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想就是學(xué)生在分析問題、解決問題過程中的一種思路，使學(xué)生在逐步的探索中找到解決問題的方法.

數(shù)學(xué)思想簡(jiǎn)單地可以分為函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和歸類總結(jié)思想，這些思想使學(xué)生可以從抽象的數(shù)學(xué)問題中，在分析、討論、辨析和總結(jié)中對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行概括，在深刻理解的基礎(chǔ)上提煉出問題的關(guān)鍵，找到解決問題的題眼，順利地由題中的已知聯(lián)系到未知，從而使問題得到解決. 數(shù)學(xué)思想的滲透幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，從而能夠更深層次地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行概括和運(yùn)用，對(duì)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律有一個(gè)理性的認(rèn)識(shí)，逐步形成解決數(shù)學(xué)問題的方法和手段，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供有利的思索方向，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)融會(huì)貫通、舉一反三.

[?] 深度解析高中函數(shù)，做到巧妙結(jié)合

1. 函數(shù)的概念和本質(zhì)

函數(shù)的定義大致分為四種：某一具體函數(shù)的特征狀態(tài)；一種法則或者規(guī)律，結(jié)合事物的發(fā)展而形成的定量或者不定量之間的關(guān)系；一種對(duì)應(yīng)法則，固定事物與對(duì)應(yīng)關(guān)系之間的法則；一種特殊關(guān)系或者特定關(guān)系的描述，利用不同的函數(shù)對(duì)其內(nèi)在的聯(lián)系進(jìn)行表示. 通過函數(shù)可以清楚了解所研究事物的變化過程，通過對(duì)其分析找到最終的解決方法，這無形中證明了豐富的辯證思想蘊(yùn)涵在函數(shù)中，等待我們來挖掘和利用.

“變量”一詞精確詮釋了函數(shù). 有了變量，運(yùn)動(dòng)、辯證法、微積分、積分進(jìn)入了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域. 函數(shù)的本質(zhì)就是利用公式、圖形的形式生動(dòng)具體地顯示事物的發(fā)展變化，顯示未來的發(fā)展和趨勢(shì).

2. 函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，一般要求學(xué)生對(duì)函數(shù)、函數(shù)表達(dá)式、反函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性這四個(gè)方面進(jìn)行學(xué)習(xí)，要求學(xué)生了解函數(shù)的概念和性質(zhì)，在給出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式后可以借助圖形來揭示函數(shù)的多個(gè)方面，利用不同的角度、形式和方法來認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì). 在歷年的高考中，函數(shù)占有很高的地位，其主要包括：三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，通過對(duì)這些函數(shù)及其圖形的研究，掌握函數(shù)的性質(zhì)并做到靈活運(yùn)用，使學(xué)生對(duì)初等函數(shù)有深入的了解，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

[?] 深度解析思想滲透，做到能力轉(zhuǎn)化

1. 函數(shù)與方程思想的滲透，靈活實(shí)現(xiàn)相互之間的轉(zhuǎn)化

函數(shù)在對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過程的分析、研究而建立具體問題中的數(shù)量關(guān)系，方程有效地揭示了運(yùn)動(dòng)變化的軌跡. 函數(shù)與方程思想，一方面是借助函數(shù)的性質(zhì)來解決不等式、方程、極值和取值范圍的問題；另一方面是將問題轉(zhuǎn)化為某一函數(shù)關(guān)系式來討論其性質(zhì). 函數(shù)與方程思想簡(jiǎn)化了解題過程，具有化繁為簡(jiǎn)的作用.

案例一：不等式x2+px>4x+p-3恒成立，滿足0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)，求x的取值范圍.

在這個(gè)問題的解決中，常規(guī)的方法是將x看做自變量，建立方程y=x2+（p-4）x+3-p，以此來求當(dāng)0≤p≤4、y>0時(shí)，x的取值范圍. 那么就需要用到一元二次方程式中的區(qū)間根原理，其解題過程是非常復(fù)雜的. 如果我們換一種思想，將p看成自變量，就可以將不等式轉(zhuǎn)化為這樣的函數(shù)：y=（x-1）p+（x2-4x+3），使得不等式巧妙地轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，在解決中就變得非常簡(jiǎn)單了，函數(shù)變?yōu)橐淮魏瘮?shù)上的一段. 要使不等式恒成立，只要解決f（0）>0、f（4）>0這兩個(gè)不等式組就可以了.

這個(gè)不等式的問題，經(jīng)過函數(shù)與方程思想的滲透，將其轉(zhuǎn)化為了一個(gè)簡(jiǎn)單的一次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖形的幫助順利解決問題. 通過這樣的巧妙轉(zhuǎn)化，找到了數(shù)學(xué)問題中變量之間的等量關(guān)系，使問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)問題，找到了不等式與函數(shù)之間的關(guān)系，從而極大地降低學(xué)生的思考難度，降低學(xué)生的思想負(fù)擔(dān)，真正達(dá)到“增效減負(fù)”的效果.

2. 分類討論思想的滲透，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)縝密的思維習(xí)慣

學(xué)生的認(rèn)知水平、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不同，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的觀察也會(huì)產(chǎn)生不同的見解，分類討論思想將問題按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干個(gè)小問題，提煉出其中的核心問題、重點(diǎn)問題，針對(duì)學(xué)生思維障礙進(jìn)行碰撞，使學(xué)生可以從多個(gè)角度、多個(gè)方面來分析問題，從而養(yǎng)成縝密、嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的數(shù)學(xué)品質(zhì)，做到不重復(fù)、不遺漏，從而順利實(shí)現(xiàn)整體問題的解決.

案例二：函數(shù)f（x）=

x+2

+

x-1

，試求其值域.

剛看到這個(gè)問題的時(shí)候，學(xué)生可以觀察到該函數(shù)不屬于初等函數(shù)的基本類型，一時(shí)找不到解決問題的切入口，問題的關(guān)鍵是學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)中沒有絕對(duì)值，又不知道如何進(jìn)行簡(jiǎn)化. 此時(shí)教師可以從簡(jiǎn)單處入手，組織學(xué)生討論如何將絕對(duì)值去掉，這一提示引導(dǎo)了學(xué)生的思維，學(xué)生將注意力集中在絕對(duì)值中正負(fù)號(hào)的討論上，從而在對(duì)x+2、x-1與零的比較中，討論x的取值范圍，列出相關(guān)的不等式組，使學(xué)生的注意力集中在整個(gè)數(shù)學(xué)問題的核心問題上. 在激烈的生生、師生討論中，總結(jié)得到了這樣三種成立的情況：當(dāng)x≤-2時(shí)，得到f（x）= -2x-1；當(dāng)-2

當(dāng)學(xué)生遇到陌生的問題時(shí)，其思維就會(huì)受到一定的限制，這時(shí)可以從眼前的障礙入手，利用問題來一步步地引導(dǎo)學(xué)生的思維，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，然后讓學(xué)生進(jìn)行集中討論，從而順利解決問題. 分類討論法對(duì)問題進(jìn)行了拆分，降低了解題的難度，增強(qiáng)了學(xué)生解決疑難問題的動(dòng)力.

3. 數(shù)形結(jié)合思想的滲透，結(jié)合抽象思維和形象思維

抽象的函數(shù)關(guān)系學(xué)生很難理解和轉(zhuǎn)化，而與直觀的圖形相結(jié)合，就使得學(xué)生能夠很好地將其中的數(shù)量關(guān)系和圖形性質(zhì)結(jié)合起來，特別是解決方程、不等式和三角函數(shù)問題時(shí)，能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單、具體，達(dá)到化難為易的效果.

案例三：已知函數(shù)x2+y2+7-6x=0，其中x、y都屬于實(shí)數(shù)，試求、y-x、x2+y2的最值.

學(xué)生一看就知道這是一個(gè)求最值的問題，但如果采用一般的消元法計(jì)算會(huì)非常的麻煩和復(fù)雜，于是引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)變形，從而得到（x-3）2+y2=2這個(gè)函數(shù)，使學(xué)生直接聯(lián)想到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 該圓的半徑為、圓心為（3，0），這樣就可以畫出相應(yīng)的圖象，就成了這個(gè)圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)所構(gòu)成直線的斜率；設(shè)y-x=b，y-x也就成為y=x+b在y軸上的截距；圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方就成了x2+y2，通過這樣的數(shù)形結(jié)合，直觀地建立已知和未知之間的關(guān)系，順利解決問題.

學(xué)生通過對(duì)數(shù)量關(guān)系的變形，巧妙地將抽象數(shù)量關(guān)系變?yōu)楹瘮?shù)圖形之間的關(guān)系，整個(gè)過程學(xué)生一眼就能看清楚，問題的解決變得清楚明了. 數(shù)形結(jié)合思想的滲透，不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，也增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，領(lǐng)悟到了數(shù)學(xué)的魅力所在.

4. 化歸思想滲透，全面強(qiáng)化邏輯思維和發(fā)散思維

復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題使學(xué)生感到陌生，化歸思想的利用巧妙地將函數(shù)中的難點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的、簡(jiǎn)單具體的數(shù)學(xué)問題. 在教學(xué)中，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的原有認(rèn)知，挖掘已知和未知之間的關(guān)系，有利于強(qiáng)化學(xué)生的想象思維、發(fā)散思維和邏輯思維，提高學(xué)生對(duì)自身的突破和創(chuàng)新.

案例四：函數(shù)f（x）=ax2-a+x，其中

a

≤1，試證明：當(dāng)|a|≤1時(shí)，

f（x）

≤.

學(xué)生對(duì)這個(gè)題的第一印象是二次函數(shù)的最值問題，然而在計(jì)算中學(xué)生卻感到非常的復(fù)雜，這時(shí)教師可以利用化歸思想的滲透引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來求最值，將原式轉(zhuǎn)變?yōu)間（x）=（x2-1）a+x，其中-1≤x≤1，且-1≤a≤1. 這樣一來，學(xué)生只需要根據(jù)x2-1的取值范圍來證明，這樣的轉(zhuǎn)化減輕了學(xué)生的思考負(fù)擔(dān).

通過這樣的化歸思想滲透，使學(xué)生變換一種思維，強(qiáng)化學(xué)生的邏輯思維和發(fā)散思維，從而可以利用簡(jiǎn)單的眼光看待問題，學(xué)生頓感解題的樂趣和輕松，從根本上提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

綜上所述，數(shù)學(xué)思想在函數(shù)教學(xué)中的滲透不是簡(jiǎn)單的融合，還需要教師充分結(jié)合學(xué)生的興趣、思維和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，靈活進(jìn)行思想灌輸和能力提升，使學(xué)生能夠充分發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)來吸收內(nèi)化相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，從而使數(shù)學(xué)思想真正轉(zhuǎn)化為學(xué)生的能力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的本領(lǐng).