彭海蛟， 丁紅勝， 白世武

(1．北京科技大學(xué) 物理系，北京 100083；2．中國石油天然氣管道科學(xué)研究院，廊坊 065000)

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基于磁偶極子模型水平鉆進(jìn)目標(biāo)定位的算法研究

彭海蛟1， 丁紅勝1， 白世武2

(1．北京科技大學(xué) 物理系，北京 100083；2．中國石油天然氣管道科學(xué)研究院，廊坊 065000)

在地下水平定向鉆進(jìn)技術(shù)中，為了實(shí)現(xiàn)水平定向鉆進(jìn)中的軌跡監(jiān)控和精確導(dǎo)向，需要實(shí)時(shí)獲取地下鉆頭的空間位置和姿態(tài)參數(shù)。這里基于磁偶極子模型下的磁場表達(dá)式，推導(dǎo)出采用通電螺線管線圈產(chǎn)生一個(gè)類似于磁偶極子的靜磁場與時(shí)諧場的磁場分布。通過非線性和線性算法，對(duì)源端鉆頭與目標(biāo)端的距離和相對(duì)方位進(jìn)行定位，從而提高了它們的相對(duì)位置的測量精度。同時(shí)利用磁定位的非線性算法和線性算法，使其目標(biāo)誤差最小，精度高，速度加快，穩(wěn)定可靠。

定向鉆進(jìn)技術(shù)； 磁偶極子； 螺線管； 磁定位； 定位算法

0 引言

定向?qū)舆B通井技術(shù)[1]就是利用可溶(燃)性礦產(chǎn)的開采特性，要求一個(gè)定向水平井與另一井的靶點(diǎn)或靶井對(duì)接連通，采用水平井鉆井技術(shù)與定向鉆探技術(shù)，使相距地面數(shù)百米的兩井或多井，在地下數(shù)百米甚至上千米的目標(biāo)開采處定向?qū)嵭袑?duì)接連通，從而來實(shí)現(xiàn)兩井或多井連通采礦。因此需要建立井口與靶點(diǎn)或者靶井的定向?qū)泳壽E設(shè)計(jì)方法，以便及時(shí)準(zhǔn)確地反映出對(duì)接井鉆井的要求。

目前幾乎所有用磁信號(hào)[2-3]來確定目標(biāo)井鉆井軌跡的一些常用方法，一般都是通過建立磁偶極子模型、利用測量出來的大量數(shù)據(jù)通過反演模型來確定出運(yùn)動(dòng)參數(shù)和目標(biāo)位置。最常見的利用磁信號(hào)來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位的三種方法[4]：①利用N個(gè)傳感器來確定出遠(yuǎn)場各點(diǎn)處的磁場信號(hào)，然后利用最小二乘法等一些參數(shù)擬合的算法來實(shí)現(xiàn)磁目標(biāo)定位；②通過埃德森方程及子空間匹配技術(shù)，從而估算出目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)(這種方法必須依賴各種布設(shè)的方案)；③通過很多更為復(fù)雜的測磁儀分別測量單點(diǎn)的磁場和磁場梯度分量，從而實(shí)現(xiàn)磁定位。

現(xiàn)階段國內(nèi)有很多人針對(duì)磁目標(biāo)定位的一些問題做了大量的研究。王金根等人[5-6]提出了多種定位的方法：最優(yōu)化定位、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)定位、函數(shù)組合法、 二次差分矩陣法和頻譜匹配法等。還有一些常用方法可歸結(jié)為磁場目標(biāo)定位常用方法中的前兩種[7-10]。

由于實(shí)際中沒有真正的磁偶極子源，這里分析了采用通電螺線管線圈產(chǎn)生一個(gè)類似于磁偶極子[6,11]的磁場分布，致力于前兩種方法，基于磁偶極子模型，研究了由源端到目標(biāo)端的定位算法，通過對(duì)其誤差函數(shù)的分析，提出了一種非線性算法與線性算法來計(jì)算出源端的位置參數(shù)和方向參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位。

1 螺線管線圈的靜磁場與時(shí)諧場分析

分析長度為L，線徑為d的單層密繞螺線管的外部磁場分布。以螺線管中心O點(diǎn)設(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖1所示，P點(diǎn)是螺線管外部任意的一點(diǎn)，到O點(diǎn)的距離為r，OP與z軸之間的夾角為，Q點(diǎn)是P點(diǎn)在z軸上的投影。在球坐標(biāo)系中P點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(r，θ，φ)，而在柱坐標(biāo)系中可表示為(ρ，φ，Z)。沿螺線管軸方向任意取一段微元dz，P點(diǎn)到該中心的距離為R，P點(diǎn)到該中心螺線管軸方向所成的夾角為δ。若螺線管的載流電流為I，則該微元上通過的電流大小可表示為I·dz/d，于是根據(jù)靜態(tài)磁偶極子物理模型得出載流環(huán)的磁場表達(dá)式為式(1)。

圖1 螺線管外部磁場分布示意圖

(1)

可得微元在P點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場為

(2)

R2=(r2+z2-2rzcosθ)

(3)

式(2)為沿螺線管軸向上的任一微元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場表達(dá)式，在區(qū)間(-L/2，L/2)上對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行積分，即得出螺線管在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場：

(4)

式(4)積分表達(dá)式可以分為兩部分來進(jìn)行，記為

(5)

(6)

將δ代入到式(5)與式(6)中積分得式(7)。

(7)

同樣可得

(8)

即可得通電螺線管線圈外的磁場分布表達(dá)式：

(9)

(10)

式(10)與磁偶極子磁場分布非常類似，只是磁偶極子為一個(gè)載流線圈，而單層的密繞螺線管可視為L/d個(gè)載流線圈的疊加。因此對(duì)于多層密繞螺線管，磁場分布可視為多個(gè)磁偶極子的疊加。而螺線管線圈的時(shí)諧場表達(dá)式除了包含諧變因子外，與靜磁場是完全一樣的，因此通電螺線管線圈產(chǎn)生的時(shí)諧場也就等效于磁偶極子準(zhǔn)靜態(tài)場，通電螺線管線圈的時(shí)諧場為：

(11)

2 靜態(tài)磁偶極子模型

2.1 模型建立和公式推導(dǎo)

(12)

圖2 磁偶極子模型

(13)

圖3 旋轉(zhuǎn)磁偶極子等效示意圖

Y軸與近鉆頭旋轉(zhuǎn)軸向一致，假設(shè)鉆頭旋轉(zhuǎn)速率為ω(rad/s)，t時(shí)刻后源端旋轉(zhuǎn)過的角度為ωt，則正交磁偶極子等效為：

(14)

2.2 參考場的構(gòu)造

圖4 磁場空間傳播模型

(15)

(16)

那么磁偶極子在遠(yuǎn)場各點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為：

式中：φ1為Z軸與OP的夾角，φ2為X軸與OP的夾角，θ1為X軸與P在XY平面上的投影之間角，θ2為Y軸與OP在YZ平面上的投影之間的夾角。

(17)

2.3 特征方位角和相對(duì)傾斜角的計(jì)算

(18)

將Hcs表達(dá)式代入到式(18)得α與φ0之間的關(guān)系：

(19)

(20)

由式(20)可算出相對(duì)傾斜角θ0因?yàn)榇排紭O子是跟著源端鉆頭一起旋轉(zhuǎn)的，而且P點(diǎn)的磁場是被橢圓極化的， 所以P點(diǎn)的磁場強(qiáng)度的最小值與距離r的關(guān)系可以表示為式(21)。

(21)

綜上可知：旋轉(zhuǎn)磁偶極子空間的坐標(biāo)P(r,θ0,φ0)，可以通過P點(diǎn)的特征磁場信號(hào)來確定，由極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系可得直角坐標(biāo)(x,y,z), 從而確定源端鉆頭與目標(biāo)端的相對(duì)位置關(guān)系。

通過旋轉(zhuǎn)磁偶極子的高精度導(dǎo)向定位算法計(jì)算出源端鉆頭與目標(biāo)端的相對(duì)位置關(guān)系，確定運(yùn)動(dòng)軌跡后，得到運(yùn)動(dòng)軌跡的傾角范圍和位置范圍，至少需要六個(gè)傳感器確定定位定向中得方向參數(shù)和位置參數(shù)的六個(gè)未知參數(shù)。定義目標(biāo)函數(shù)和誤差函數(shù)，通過非線性算法使誤差函數(shù)值最小，計(jì)算最合適的位置參數(shù)和方向參數(shù)。

3 磁場定位非線性算法與線性算法

圖5 磁場定位坐標(biāo)系

當(dāng)螺線管體的尺寸遠(yuǎn)小于源端與目標(biāo)端的距離時(shí)，即螺線管線圈可以被看作是磁偶極子。由磁偶極子理論表達(dá)式(12)可得，螺線管線圈空間某(x1,y1,z1)T點(diǎn)上的磁場強(qiáng)度為：

(22)

i2+j2+k2=1

即磁場強(qiáng)度的三個(gè)正交分量可以表示為：

Hlx=HT×

(23)

Hly=HT×

(24)

Hlz=HT×

(25)

3.1 非線性算法

如果要確定六個(gè)未知的定位定向的位置參數(shù)和方向參數(shù)需要N(N≥6)傳感器，由于存在噪聲、溫度、外界環(huán)境等因素的干擾，解可能會(huì)不唯一，根據(jù)以上原因我們定義一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最小值來獲得定位定向參數(shù)的最優(yōu)解，三個(gè)正交分量的磁場強(qiáng)度分別定義誤差函數(shù)[13]如下：

(26)

(27)

(28)

式(26)、式(27)、式(28)中:N為傳感器的數(shù)量，N≥6。

總目標(biāo)誤差E=Ex+Ey+Ez

根據(jù)上述誤差函數(shù)，當(dāng)總目標(biāo)誤差函數(shù)E達(dá)到最小時(shí)，計(jì)算出最合適的位置參數(shù)(a,b,c)和方向參數(shù)(i,j,k)，即非線性最小方差求解。由于非線性算法在求解的過程中需要較長時(shí)間，為了解決非線算法速度慢的問題，進(jìn)一步可使用線性算法。

3.2 線性算法

因?yàn)樵诖哦ㄎ焕梅蔷€性優(yōu)化算法的過程中有局限性。首先非線性優(yōu)化算法必須要給提前出一個(gè)初值，這樣才能計(jì)算出最優(yōu)解，如果給出的一個(gè)初值誤差比較大時(shí)，由于磁偶極子模型存在著局部最優(yōu)，這樣的話非線性算法就很難得到全局最優(yōu)解；其次利用非線性優(yōu)化算法準(zhǔn)確性不是很好，在整個(gè)過程中是需要大量的時(shí)間通過各種信號(hào)處理的方法來改善跟蹤其準(zhǔn)確性，而且非線性算法在求解過程中需要時(shí)間比較長。而線性算法能夠解決上面的所有問題，此算法可以根據(jù)絕對(duì)矢量運(yùn)算[14]來推導(dǎo)得到:

(29)

(30)

即：

(31)

化簡可得：

(H1x,H1y,H1zH1zyl-H1yzl,H1xzl-

(32)

同樣可以利用六個(gè)三軸傳感器，通過這些傳感器來選擇合適位置組成一個(gè)齊次線性方程組，從而計(jì)算出最合適的位置參數(shù)(a,b,c)和方向參數(shù)(i,j,k)。

4 結(jié)論

針對(duì)定向?qū)舆B通井技術(shù)的開采特性，為了實(shí)現(xiàn)兩井或多井連通開采的需要，通過研究通電螺線管線圈產(chǎn)生一個(gè)類似于磁偶極子的磁場分布和靜態(tài)磁偶極子與旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)磁偶極子的磁場信號(hào)分布規(guī)律，提出一種高精度導(dǎo)向定位的算法。利用磁定位的非線性算法與線性算法求解方程組對(duì)螺線管線圈進(jìn)行空間定位。

為了提高目標(biāo)定位的測量精度，利用磁場強(qiáng)度的三個(gè)正交分量定義了誤差函數(shù)，利用磁定位的非線性算法通過求解方程組來實(shí)現(xiàn)定位，由于非線性算法在求最優(yōu)解的過程中可能很難求得全局最優(yōu)解和求解時(shí)間較長的缺點(diǎn)，為了解決這這些問題，利用磁定位的線性算法，計(jì)算位置參數(shù)和方向參數(shù)來實(shí)現(xiàn)定位。非線性算法求最優(yōu)解需要依賴于初值，初值如果選定好，該算法的精度高，但是運(yùn)算速度慢，而線性算法求解過程中不依賴于初值，運(yùn)算速度快，但是該算法的精度低。如果采用線性和非線性算法的綜合算法，就能夠穩(wěn)定的、快速地得到精度高的定位結(jié)果。

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Algorithm study based on the magnetic dipole model on horizontal drilling target positioning

PENG Hai-jiao1， DING Hong-sheng1， BAI Shi-wu2

(1.Department of Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;2.Pipeline Research Institute of China National Petroleum Corporation, Langfang 065000, China)

In underground horizontal directional drilling technology, it needs to obtain the underground spatial position and posture parameters of the drill in real time to implement the horizontal directional drilling trajectory monitoring and precise orientation. Therefore, based on the magnetic field expression of the magnetic dipole model, the magnetic field distribution which is similar to the static magnetic field and the time-harmonic field of the magnetic dipole are deduced by using electric solenoid coil. To achieve positioningby means of the arithmetic of the relative orientation and the distance between the drill and the objective targets, the measurement accuracy of the relative position can be improved. In the mean time wetake advantage of the linear and nonlinearmethods of the magnetic localization to make the smallest target error,high precision, much more speed, stable and reliable.

horizontal directional drilling; magnetic dipole; solenoid; magnetic location; location algorithm

2014-08-12 改回日期：2014-11-04

國家自然科學(xué)基金資助(61072082)；中央高?；A(chǔ)科研業(yè)務(wù)費(fèi)(FRF-MP-12-008A)

彭海蛟(1987-),男，碩士，從事重磁方法研究,E-mail: penghaijiao1224@163.com。

1001-1749(2015)04-0422-06

P 631.2

A

10.3969/j.issn.1001-1749.2015.04.03