●翟愛國 (戴南高級中學 江蘇興化 225721) ●張安林 (興化市教育局教研室 江蘇興化 225700)

對一道江蘇高考試題的解法探究

●翟愛國 (戴南高級中學 江蘇興化 225721) ●張安林 (興化市教育局教研室 江蘇興化 225700)

圖1

1)求橢圓的標準方程；

2)過點F的直線與橢圓交于點A，B，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.

(2015年江蘇省數(shù)學高考試題第18題)

本題考查的內容豐富、包羅萬象，涉及橢圓定義、方程、幾何性質、圓錐曲線統(tǒng)一定義、焦點弦、直線與橢圓的位置關系、直線與直線的位置關系、定值問題等諸多基礎知識.在圓錐曲線背景下動直線過定點、定值、最值問題一直以來是高考考查的熱點.筆者對第2)小題進行了全新地審視與研究，獲得了8種不同的解法和3個探究，現(xiàn)整理如下，供讀者參考.

(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.

由弦長公式得

再由題意得PC2=4AB2，化簡得

k6-k4-k2+1=0,

即

(k2-1)2(k2+1)=0,

解得

k=±1,

因此直線AB的方程為y=±(x-1).

計算得

再由PC2=4AB2，解得k=±1,因此直線AB的方程為y=±(x-1).

點評 比較解法2和解法1中得到的PC2，顯然解法2中求得的更簡潔.兩點間距離公式、直線上兩點間距離公式、弦長公式本質上是一樣的，學生對公式本質的掌握才能避免解題被動.另外，筆者還嘗試用點P到直線AB的距離公式求線段PC的長度，運算過程也較解法1簡潔.

解法3 設直線AB的斜率為k，則k≠0.由解法2知，

又AB=AF+BF=(a-ex1)+(a-ex2)=

點評 解法3是用橢圓的焦半徑公式求線段AB的長度，較用弦長公式計算來得簡潔.

解法4 設直線AB的斜率為k，則k≠0.設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

2個式子相減，得

變形得

點評 解法4用點差法，求出點C的坐標，不同于解法1中常用的“韋達定理法”求弦中點坐標.

亦即xC+2=2(y1-y2)=2k(x1-x2)，

從而

由解法1知

代入化簡得

k4-2k2+1=0，

即

(k2-1)2=0,

解得

k=±1(以下略).

點評 解法5是通過作輔助線，找到2個相似三角形，把條件PC=2AB的等量關系轉化為另一個等量關系xC+2=2k(x1-x2)，為本題繼續(xù)尋找圖形中的幾何量之間關系求解參數(shù)k開了一個好頭.

圖2 圖3

由△PCD∽△FMC得

變形得

化簡得k2=1(以下略).

點評 解法6和解法5的相同點是借助2個相似三角形尋求新的等量關系式；不同點是解法6中△FMC是圖形中已有的三角形，其中求線段FC長用的是兩點間距離公式.

研究解法6，筆者發(fā)現(xiàn)：當直線AB的斜率k存在且k≠0時，

此時

是巧合還是必然？

從而

又因為PC=2AB，由橢圓的焦點弦長公式

得

即

點評 解法7用到橢圓的焦點弦長公式，學生不作要求.此解法為探究3從特殊到一般的證明作了鋪墊.

解 設直線AB的斜率為k，則k≠0.由解法2知

令t=k2(其中t>0)，則

得

其中0

點評 解法8體現(xiàn)了數(shù)學構建由特殊到一般、再由一般到特殊的過程.

決定解析幾何題計算量大小有2個因素：條件的充分挖掘和思路方法的決策.解析幾何問題一直是高考的重頭戲，它的解答方法靈活多樣，運算能力要求高.在利用代數(shù)方法求解的過程中，往往“過程冗長、運算煩瑣”而令廣大考生“望而生畏、不戰(zhàn)而退”.因此，要更好地解決解析幾何問題就要進行一題多解，進行思維訓練.讓學生在持續(xù)不斷的思考與研究中逐漸接近問題的本質，讓學生在數(shù)學概念里尋覓解題的靈魂，在數(shù)學公式中追索真理，在習題中發(fā)展智慧，這才是我們教學的真正目的所在！