江秀強(qiáng)，陶婷，楊威，李爽

(1.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 210016；2. 南京航空航天大學(xué) 航天新技術(shù)實驗室，南京 210016)

附著小天體的最優(yōu)制導(dǎo)控制方法

江秀強(qiáng)1，2，陶婷1，2，楊威1，2，李爽1，2

(1.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 210016；2. 南京航空航天大學(xué) 航天新技術(shù)實驗室，南京 210016)

以小天體伴飛附著任務(wù)為工程背景，針對探測器在小天體復(fù)雜弱引力場條件下附著這一難題，研究了最優(yōu)制導(dǎo)控制策略。首先，考慮在小天體極區(qū)實施附著任務(wù)，建立并簡化動力學(xué)模型，給出約束條件和基于時間-燃耗最優(yōu)的混合性能指標(biāo)要求。然后，采用相平面法設(shè)計了最優(yōu)制導(dǎo)律，利用極限環(huán)設(shè)計最優(yōu)開關(guān)控制律；同時，采用高斯偽譜法把附著小天體的最優(yōu)制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化成非線性規(guī)劃問題，利用Matlab/GPOPS優(yōu)化工具包求取最優(yōu)數(shù)值解。最后，加入已有的基于矢量測量的自主光學(xué)導(dǎo)航模塊構(gòu)建GNC仿真回路，對兩種最優(yōu)制導(dǎo)控制策略進(jìn)行仿真驗證。結(jié)果表明：兩種制導(dǎo)控制策略都能滿足任務(wù)要求，但基于相平面法得到的最優(yōu)制導(dǎo)控制具有一定風(fēng)險，而基于高斯偽譜法得到的最優(yōu)制導(dǎo)控制精度更高、燃耗更少，適于工程應(yīng)用。

小天體；附著最優(yōu)制導(dǎo)；相平面法；高斯偽譜法

0 引 言

小天體探測拓展了人類探索和利用空間資源的視野，有助于科學(xué)家研究太陽系的形成與演化。近年來一些國家和航天組織相繼實施了自己的小天體探測任務(wù)。NASA在1996年發(fā)射的近地小行星交會探測器NEAR于2000年成功進(jìn)入繞飛小行星Eros的任務(wù)軌道，獲取了目標(biāo)小行星的形狀體積、質(zhì)量、地表特征和自旋狀態(tài)等參數(shù)，并于2001年2月12日通過事先規(guī)劃好的五次減速制動成功著陸Eros小行星，成為第一個成功軟著陸小行星的探測器[1-2]。日本宇宙航空研究開發(fā)機(jī)構(gòu)(JAXA)于2003年發(fā)射的“隼鳥”(Hayabusa)探測器于2006年飛抵距離“糸川”小行星20 km的預(yù)定任務(wù)軌道，獲取了“糸川”小行星的高精度三維地形圖。探測器在光學(xué)系統(tǒng)制導(dǎo)下垂直下降，并最終成功登陸“糸川”小行星，成為第一個通過自主導(dǎo)航控制成功著陸小行星的探測器[3-4]。歐洲航天局(ESA)的“羅塞塔”(Rosetta)探測器于2004年發(fā)射，于2014年11月12日釋放名為“菲萊”(Philae)的探測器成功降落在“丘留莫夫-格拉西緬科”彗星的彗核上并將進(jìn)行采樣返回[5-6]。小天體探測已成為深空探測的一大熱點。

隨著NEAR、Hayabusa、Rosetta等小天體探測任務(wù)的實施，著陸小行星的相關(guān)技術(shù)引起了國內(nèi)外學(xué)者們的關(guān)注。Furfaro等(2013)[7]基于高階滑?？刂评碚撎岢隽诵⌒行蔷_著陸的多滑模制導(dǎo)方法，該方法對于無模型有界擾動下具有一定魯棒性。Zhang等(2012)[8]結(jié)合光學(xué)自主導(dǎo)航算法，給出著陸小天體的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)策略。但這些擾動的界難以事先獲知，這類方法難以付諸實施。Lan等(2014)[9]以安全、精確附著為目標(biāo)，提出了一種基于時間約束的附著控制方法，將著陸誤差分解為位置誤差和視線角誤差，分別設(shè)計控制律使得有限時間內(nèi)視線角誤差穩(wěn)定在原點附近，位置誤差收斂于零附近。崔平遠(yuǎn)和崔祜濤等(2008—2012)研究了著陸小行星的特點和光學(xué)導(dǎo)航與制導(dǎo)方法[10-12]。龔勝平和李俊峰等(2011)研究了小天體伴飛的常推力控制方法，并以編號為1996FG3的小行星為例做了仿真驗證[13]。李爽等(2005—2009)研究了著陸小行星的自主GNC技術(shù)，針對由于目標(biāo)小行星的各種物理參數(shù)和運(yùn)動信息不能精確獲取而導(dǎo)致著陸小行星的動力學(xué)模型中存在不確定性這一問題，設(shè)計了軟著陸小行星的光學(xué)導(dǎo)航、PD制導(dǎo)、滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)和自主GNC方案[14-17]。在此基礎(chǔ)上，本文研究討論附著小天體的最優(yōu)制導(dǎo)控制方法。分別采用相平面法和高斯偽譜法，發(fā)展基于時間-燃耗最優(yōu)的附著小天體制導(dǎo)控制律。

1 附著小行星的最優(yōu)制導(dǎo)問題描述

[14-17]給出的附著系統(tǒng)動力學(xué)模型

(1)

上述動力學(xué)方程x，y通道存在耦合項，由于小天體的自旋速度很小、加之小天體的引力作用很弱，相對于探測器的速度和推力大小而言，可以忽略上述小項的影響，附著動力學(xué)方程可以簡化為[14-17]

(2)

為了保證上述簡化的合理性，采用在小天體的極區(qū)實施附著，附著制導(dǎo)的三軸目標(biāo)位置和速度即為零[15，18]。

以xl通道為例，單一通道的動力學(xué)方程可寫為

(3)

由于附著任務(wù)具有一定的時間和燃耗限制，給出時間-燃耗最優(yōu)性能指標(biāo)

(4)

其中：ct為時間加權(quán)系數(shù)，則哈密爾頓函數(shù)可以構(gòu)造為

(5)

為了保證時間燃耗最優(yōu)，根據(jù)極小值原理應(yīng)使選取合適的u(t)哈密爾頓函數(shù)H的值最小，即

(6)

最優(yōu)控制律

(7)

協(xié)狀態(tài)方程

(8)

受探測器所安裝的推力器的限制，其控制力加速度(推力加速度)滿足約束

(9)

探測器通過長時間的伴飛，可以獲取目標(biāo)小天體的地形地貌、引力場和運(yùn)行參數(shù)等準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，據(jù)此可確定附著任務(wù)起始點和目標(biāo)點的狀態(tài)，設(shè)狀態(tài)量X=[x，y，z]T，即確定了問題的初末條件

(10)

2 基于相平面法的最優(yōu)制導(dǎo)控制

相平面法是基于傳統(tǒng)直接法思想的一種經(jīng)典方法，也是工程中常用的。采用相平面法需求出三軸推力的正負(fù)開關(guān)線，而正關(guān)線和負(fù)關(guān)線方程是由角點條件和貫截條件來確定的。為了求出u(t)和X(t)的關(guān)系以便組成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，需將狀態(tài)方程的解求出。分u=-a，u=+a，u=0三種情況進(jìn)行討論：

1)當(dāng)u(t)=-a時，狀態(tài)方程為

(11)

2)當(dāng)u(t)=a時，狀態(tài)方程為

(12)

3)當(dāng)u(t)=0時，狀態(tài)方程為

(13)

圖1 相平面示意圖Fig.1 Sketch of phase plane

由前面的推導(dǎo)過程結(jié)合圖1可得

負(fù)開線方程

(14)

正開線方程

(15)

下面確定負(fù)關(guān)線β(-):u(t)=-a?u(t)=0。要確定負(fù)關(guān)線方程，就必須確定B1的軌跡。由于控制力u(t)只在tB1，tC1發(fā)生切換，所以在負(fù)關(guān)點B1和正開點C1處λ2(t)條件滿足

(16)

結(jié)合前式λ2(t)=c2-c1t可得

(17)

弧段C1O的終點條件為

(18)

由于到達(dá)終點的時間tf是待定的(附著時間自由)，則有

(19)

(20)

設(shè)tf-tC1=τ，則有

(21)

(22)

(23)

將x2(tC1)，λ2(tC1)代入(23)式中，并用λ1=c1代換得

(24)

在弧段B1C1上，由于u(t)=a=0，相軌跡勻速從負(fù)關(guān)點B1運(yùn)動到正開點C1，則有

(25)

(26)

(27)

由拐點條件知：

(28)

則有

(29)

由式(15)～(17)、(25)、(26)、(29)可得負(fù)關(guān)線方程

(30)

同理可得正關(guān)線方程

(31)

負(fù)關(guān)線方程

(32)

正關(guān)線方程

(33)

考慮到工程實際應(yīng)用，需要將上述制導(dǎo)指令調(diào)制成推力器的最優(yōu)開關(guān)控制信號，引入極限環(huán)實現(xiàn)這一最優(yōu)控制。設(shè)電磁閥的門限值為d，電磁閥滯寬為δ。如圖2所示，由于極限環(huán)的存在，開關(guān)曲線方程為

(34)

圖2 極限環(huán)最優(yōu)控制示意圖Fig.2 Sketch of limit cycle optimization control

從開關(guān)曲線方程及上面的曲線軌跡中，可以很容易地得到極限環(huán)的寬度為L=2d，而A點的縱坐標(biāo)的2倍代表著極限環(huán)的高度W=2Ay。通過求取A(Ax，Ay)，B(Ax，-Ay)可確定極限環(huán)的寬度。

于是，整個相空間可以分為三個區(qū)域(見式(36))：

(36)

3 基于高斯偽譜法的最優(yōu)制導(dǎo)控制

由于協(xié)狀態(tài)對初值猜測很敏感，故基于極大值原理的間接優(yōu)化理論在最優(yōu)制導(dǎo)控制問題求解中往往過程繁雜、效率低下。下面采用高斯偽譜法來求解附著小天體的最優(yōu)制導(dǎo)控制指令。

本文所定義的附著小天體的最優(yōu)制導(dǎo)控制問題是一個終端時刻可動的最優(yōu)問題，按照高斯偽譜法的步驟，首先將優(yōu)化問題的時間域t∈[t0，tf]，映射到區(qū)間τ∈[-1，1]，映射函數(shù)為

(37)

取t0=0，則上式可以簡化為

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

對式(39)求導(dǎo)并結(jié)合式(38)，可以得到

(43)

(44)

其中：k=1，2，…，N;i=0，1，…，N。由此，式(9)、(10)所示約束可以轉(zhuǎn)化為

(45)

由式(2)，動力學(xué)約束可以表示為

(46)

式(4)所示目標(biāo)函數(shù)可表示為

(47)

至此，附著小天體的最優(yōu)制導(dǎo)控制問題被轉(zhuǎn)化成了一個多約束的參數(shù)優(yōu)化問題，轉(zhuǎn)換過程如圖3所示。

在MATLAB環(huán)境下編程，上述轉(zhuǎn)換過程采用GPOPS優(yōu)化工具包進(jìn)行，非線性規(guī)劃問題(nonlinearprogramingproblem,NLP)的求解器采用SNOPT軟件包，最后同樣將解得的最優(yōu)制導(dǎo)指令調(diào)制成推力器的開關(guān)控制信號。

φ(X(t0),X(tf))=0

h(X(t),U(t))≤0h

↓

↓

ρ={X0,…,XN;U1,…,UN}

↓

圖3 優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換過程

Fig.3 Optimization problem transformation process

4 仿真分析

為貼近實際、完整地反映制導(dǎo)控制效果，采用文獻(xiàn)[17](2007)所述的基于矢量測量的自主光學(xué)導(dǎo)航模塊，與本文所述制導(dǎo)控制構(gòu)成一個完整的GNC回路，如圖4所示。

圖4 附著小天體的GNC仿真框圖Fig.4 Sketch of GNC for spacecraft attaches to a small body

圖5 基于相平面法的附著位置曲線Fig.5 Landing position curve: phase plane method

圖6 基于相平面法的附著速度曲線Fig.6 Landing velocity curve: phase plane method

圖7 基于相平面法的三軸噴氣控制加速度Fig.7 Tri-axis jet control acceleration: phase plane method

圖8 基于高斯偽譜法的附著位置曲線Fig.8 Landing position curve: gauss pseudospectral method

圖9 基于高斯偽譜法的附著速度曲線Fig.9 Landing velocity curve: gauss pseudospectral method

圖10 基于高斯偽譜法的三軸噴氣控制加速度Fig.10 Tri-axis control acceleration: gauss pseudospectral method

圖11 控制代價曲線Fig.11 Control cost curve

Table 1 Comparison of terminal position errors and velocity errors

分量對比末端位置誤差/m末端速度誤差/(m·s-1)PPMGPMPPMGPMx方向067013020002y方向-099-016-021-002z方向-015-005-039-003合誤差120021049004

從仿真結(jié)果可以看出，采用兩種方法都能控制探測器安全附著。但是采用相平面法的最優(yōu)制導(dǎo)律在控制過程中，推力器會處于頻繁的開關(guān)狀態(tài)，使得速度在收斂過程中不斷波動，在末端仍然具有明顯的速度和位置偏差，尤其是0.49 m/s的速度誤差已經(jīng)接近給定的附著速度誤差指標(biāo)上限0.5 m/s，這些都會給探測器的附著過程引入風(fēng)險，而且還會多消耗工質(zhì)。而采用高斯偽譜法的最優(yōu)制導(dǎo)控制過程平緩，三軸推力器的開關(guān)控制頻度和工作時間明顯減少，這使得附著過程的燃耗降低了一半以上，并且末端位置和速度的控制精度提高了一個數(shù)量級，利于在小天體上安全精確附著。而制導(dǎo)誤差與導(dǎo)航誤差[17]已經(jīng)非常接近，表明導(dǎo)航精度是限制制導(dǎo)精度進(jìn)一步提升的主要因素。雖然比前一種方法多用了19 s的時間，但這個小段時間很容易在任務(wù)起始點被消除。

5 結(jié)束語

本文分別基于相平面法和高斯偽譜法給出了附著小天體極區(qū)的兩種最優(yōu)制導(dǎo)控制策略。其中，采用經(jīng)典的相平面法給出了制導(dǎo)控制律的顯式表達(dá)式；基于高斯偽譜法的最優(yōu)制導(dǎo)給出了求解過程，由MATLAB/GPOPS優(yōu)化工具包求得數(shù)值解；最后將制導(dǎo)指令調(diào)制成推力器的開關(guān)信號。通過引入文獻(xiàn)[17](2007)的基于矢量測量的自主光學(xué)導(dǎo)航模塊，構(gòu)建GNC仿真回路，對兩種最優(yōu)制導(dǎo)控制策略進(jìn)行了仿真驗證。結(jié)果表明，采用高斯偽譜法不僅運(yùn)算時間短、收斂性好，而且制導(dǎo)過程平滑度、末端精度和控制代價都全面優(yōu)于經(jīng)典的相平面法，適合于在線實時最優(yōu)制導(dǎo)控制。基于相平面法得到的最優(yōu)制導(dǎo)則可以為高斯偽譜法的最優(yōu)制導(dǎo)求解提供一定的初值參考。

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[責(zé)任編輯：宋宏]

Optimal Guidance Control Strategies for Spacecraft Attaches to A Small Body

JIANG Xiuqiang1，2， TAO Ting1，2， YANG Wei1，2， LI Shuang1，2

(1.College of Astronautics， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China;2.Space New Technology Laboratory， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China)

The issue of spacecraft attaching to a small body with complex weak gravitation field is challenging. In this paper， two optimal guidance control strategies are addressed with the mission background of accompany flight and attaching to a small body. First， taking the attaching mission in polar area of small body into consideration， dynamics model is constructed and simplified， as well as the constraints and time-fuel integrated optimal performance index is described. Secondly， phase plane method (PPM) is used to design optimal guidance， and optimal on-off control is given by limit circle. Next， Gauss pseudospectral method (GPM) is utilized to transform optimal guidance problem into nonlinear program (NLP) problem， and MATLAB/GPOPS optimal tool software package is utilized to obtain the numerical solution of guidance. Finally， the vector measurement based autonomous optical navigation given in the previous work is introduced to GNC simulation loop， and the two optimal guidance control strategies are verified. Simulation results show that both of them meet the requirement of mission， but the phase plane method based optimal guidance control is a little risky， while the Gauss pseudospectral method based optimal guidance control has a lower fuel consumption and higher accuracy， so the latter is feasible for engineering practice.

small body; optimal attaching guidance; phase plane method; Gauss pseudospectral method

2014-12-26

2015-02-20

國家自然科學(xué)基金資助項目(61273051， 60804057)；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)項目(2011AA7034057E，2012AA121601)；上海航天科技創(chuàng)新基金項目(SAST201213)

V448.12

A

2095-7777(2015)01-0053-08

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.01.008