潘軍洋，謝 懿，2，3

(1.南京大學(xué) 天文與空間科學(xué)學(xué)院，南京 210093；2.上海市 空間導(dǎo)航與定位技術(shù)重點實驗室，上海 200030；3.南京大學(xué) 現(xiàn)代天文與天體物理教育部重點實驗室，南京 210093)

火星任務(wù)中星上原時τ與TCG的相對論變換

潘軍洋1，謝 懿1，2，3

(1.南京大學(xué) 天文與空間科學(xué)學(xué)院，南京 210093；2.上海市 空間導(dǎo)航與定位技術(shù)重點實驗室，上海 200030；3.南京大學(xué) 現(xiàn)代天文與天體物理教育部重點實驗室，南京 210093)

愛因斯坦的廣義相對論已成為當今深空探測任務(wù)中一部分，為此將在研究環(huán)火星探測器星載鐘原時τ與地球質(zhì)心坐標時(TCG)的變換中應(yīng)用相對論變換關(guān)系，將τ與地球相關(guān)聯(lián)的局部時間尺度聯(lián)系起來，從而擴展了之前關(guān)于τ與太陽系質(zhì)心坐標時(TCB)相對論變換的工作(TCB是應(yīng)用于整個太陽系的全局坐標時)。研究發(fā)現(xiàn)τ和TCG的差在經(jīng)歷一年的時間后可達到0.2 s量級。為了區(qū)分相對論變換中各種效應(yīng)的貢獻，用數(shù)值方法計算了太陽、八大行星、三個大質(zhì)量小行星以及探測器的貢獻。發(fā)現(xiàn)在精確到1 μs量級下，相對論變換必須包括太陽、金星、月球、火星、木星、土星的引力影響以及探測器和地球的速度影響。

參考系；時間；數(shù)值方法；空間探測器

0 引 言

隨著現(xiàn)代技術(shù)的極大發(fā)展，愛因斯坦的廣義相對論(GR)已成為深空探測任務(wù)中的一部分。它早已不再局限于理論天文學(xué)和物理學(xué)層面而進入了應(yīng)用和工程領(lǐng)域[1]。由于GR引起的效應(yīng)在一些空間任務(wù)的無線電信號傳輸中很明顯地顯露出來[2-3]，這些效應(yīng)為GR提供了最強的約束條件[2]。

GR的一個重要概念就是拋棄牛頓絕對時空觀中的絕對時間。在GR下存在不同種類的時間：原時和坐標時[4]。理想時鐘的讀數(shù)為原時τ，這是一個可觀測量并只屬于時鐘自身。坐標時不能被直接觀測到，但它們可用作自然天體、人造天體和光線運動方程中的自變量。坐標時和原時通過四維空時間隔相聯(lián)系，這一特征取決于時鐘的運動學(xué)和動力學(xué)因素。它極大地改變了時鐘同步和時間變換的方式[1]。

在火星和其他行星探測任務(wù)中，星載鐘和地面上時鐘的同步對于控制、導(dǎo)航和科學(xué)探測是至關(guān)重要的。根據(jù)國際天文學(xué)聯(lián)合會(IAU)決議[5]，同步需要完成兩個中間步驟。第一步是τ和太陽系質(zhì)心坐標時(TCB)的相對論變換；第二步，TCB將被轉(zhuǎn)換為地球質(zhì)心坐標時(TCG)，TCG是屬于地球局部參考系的坐標時。之后TCG可以很方便地轉(zhuǎn)換為地球上的其他時標如地球時(TT)，國際原子時(TAI)，協(xié)調(diào)世界時(UTC)。

以“螢火1號”任務(wù)[6-7]作為中國未來火星探測的一個技術(shù)案例，已有一些工作致力于研究第一步轉(zhuǎn)換[8-9]。文獻[10]的作者(2012)通過分析和數(shù)值方法發(fā)現(xiàn)這個轉(zhuǎn)換的兩個主要因素：太陽的引力場和探測器在質(zhì)心參考系中的速度。這兩個因素的共同貢獻可達到每年幾個亞秒的量級[10]。文獻[11]的作者(2013)將鐘差考慮在內(nèi)，發(fā)現(xiàn)如果校準后的星載鐘精度高于10-6～10-5秒每年(取決于鐘差類型)，那么τ和TCB之間的相對論變換需要仔細處理[11]。

在這篇文章中，作為之前工作的延伸，將主要討論τ和TCG的相對論變換，也就是把第一步和第二步聯(lián)合起來。在第2節(jié)中，將在IAU決議下[5]計算類“螢火1號”任務(wù)的τ和TCG的相對論變換，并使該變換以歷表所采用的變量為引數(shù)(詳見附錄A)。在第3節(jié)中，將用數(shù)值方法計算該變換并給出不同來源的貢獻。在第4節(jié)中給出結(jié)論與討論。

1 τ與TCG的轉(zhuǎn)換關(guān)系

根據(jù)IAU決議[5]，航天器上星載鐘原時τ與t≡TCB的關(guān)系在一階后牛頓近似下為

(1)

這里定義ε≡1/c，忽略各天體引力場中非球?qū)ΨQ部分。下標“s”代表航天器，下標“A”代表需要考慮引力場作用的天體。對于T≡TCG，它和t的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

t-T=

(2)

其中:E代表地球。將方程(1)與方程(2)相加即得τ與TCG的相對論變換

(3)

為求得τ-T的值，其中一個可行的方法是利用歷表提供的太陽系天體相對于太陽系內(nèi)的位置和速度數(shù)據(jù)數(shù)值積分方程(3)等式右邊。然而實現(xiàn)這一計算并不方便，因為等式右邊的時間變量為TCB而不是質(zhì)心力學(xué)時(TDB)。TDB是太陽系星歷表中廣泛應(yīng)用的獨立變量。因此，出于應(yīng)用考慮，使方程(3)等式右邊以TDB為變量是必要的。利用TCB和TDB的關(guān)系[12]，得到新的關(guān)系

τ-T=∑3i=1ΔTi+∑7j=1ΔTj′+O(ε2J(A)n，ε4，L2B)

(4)

等式右邊以TDB為變量。ΔTi(i=1，2，3)與方程(3)中各項對應(yīng)。ΔT1相當于τ和t的相對論變換部分；ΔT2和ΔT3來自t和T的相對論變換。方程(4)的細節(jié)和完整表達式在附錄A中給出。在下一章中，我們將用數(shù)值方法研究這個方程中的每個成分。值得注意的是，方程(4)考慮了TCB和TDB的差異，這在之前的工作中是被忽略的[10-11]。

2 對τ-T的數(shù)值分析

按照文獻[11]的作者(2013)假設(shè)的情況，設(shè)想一個探測器從2017-01-01 00∶00∶00.0000(TDB)到2017-01-18 01 00∶00∶00.0000(TDB)時間內(nèi)環(huán)繞火星運行。在文章的余下部分將全部以該時間起點為零點。該探測器軌道相對于火星赤道傾角為5°。遠火點高度為8萬km，近火點高度為800 km，軌道周期約3.2天。為求得方程(4)的值，我們采用辛普森求積公式[13]，利用DE405歷表給出的數(shù)據(jù)進行數(shù)值積分。即天體的位置和速度數(shù)據(jù)來自DE405歷表，探測器軌道由Einstein-Infeld-Hoffmann方程[14]通過7階Runge-Kutta方法[13]數(shù)值積分得到，步長為其開普勒周期的1%。計算過程中計入的提供引力貢獻的天體有：太陽、八大行星、月球和三個大質(zhì)量小行星：谷神星、智神星、灶神星。

圖1顯示了ΔT1[方程(A.8)]，ΔT2[方程(A.9)]和ΔT1+ΔT2的貢獻。ΔT1對應(yīng)τ-t成分，為負值且可達到-0.3s/年。ΔT2對應(yīng)t-T成分，它可達到0.5s/年。因此ΔT1+ΔT2可達到約0.2 s/年的數(shù)量級。從理論和應(yīng)用考慮，一個重要的問題是區(qū)分貢獻的不同來源。圖2顯示了由各個天體的引力效應(yīng)和探測器的運動學(xué)效應(yīng)提供的貢獻。如果精確到±1 μs并忽略絕對值小于1 μs的項，會發(fā)現(xiàn)在ΔT1中只需要考慮太陽，火星，木星，土星和探測器速度的貢獻。同樣地，圖3除右下角外顯示了各個來源對ΔT2的貢獻。同樣精確到1 μs，需要考慮的項為由太陽、金星、月球、木星、土星引力和地球速度產(chǎn)生的影響。

圖1 ΔT1、ΔT2以及ΔT1+ΔT2隨時間(天)的變化曲線。其數(shù)學(xué)表達式見附錄方程(A.8)和(A，9) Fig.1 Curves of ΔT1， ΔT2 and ΔT1+ΔT2. Their mathematical descriptions are given in Eqs. (A.8) and (A.9)

ΔT3項[附錄方程(A.10)]在探測器通信鏈路末端，它取決于觀測者位置。如果考慮一個地面跟蹤站，ΔT3將受到地球自轉(zhuǎn)的強烈影響，數(shù)量級可達2 μs/d。圖3右下角ΔT3曲線是假設(shè)跟蹤站位于中國北京得到的。

圖2 ΔT1中各種效應(yīng)的貢獻隨時間(天)的變化曲線，包括：太陽 (Sun)、水星(Mercury)、金星(Venus)、地球(Earth)、月球(Moon)、火星(Mars)、谷神星(Ceres)、智神星(Pallas)、灶神星(Vesta)、木星(Jupiter)、土星(Saturn)、天王星(Uranus)、海王星(Neptune)以及探測器的速度Fig.2 In ΔT1， contributions from the Sun， Mercury， Venus， Earth， the Moon， Mars， Ceres， Pallas，Vesta， Jupiter， Saturn， Uranus， Neptune and the velocity of the spacecraft

表(j=1，…，7)的貢獻最大值

注:包括太陽 (Sun)、水星(Mercury)、金星(Venus)、地球(Earth)、月球(Moon)、火星(Mars)、谷神星(Ceres)、智神星(Pallas)、灶神星(Vesta)、木星(Jupiter)、土星(Saturn)、天王星(Uranus)、海王星(Neptune)以及太陽速度和其加速度點積vs·as、地球速度和其加速度點積vE·aE。

3 結(jié)論與討論

在這篇文章中，以類“螢火1號”任務(wù)作為例子，研究了星載鐘原時τ和TCG的相對論變換，擴展了先前關(guān)于τ和TCB相對論變換的工作。發(fā)現(xiàn)τ和TCG的差可達0.2 s/年。如果精確到1 μs，這一相對論變換必須考慮太陽、金星、月球、火星、木星和土星的引力影響以及地球和探測器的速度影響。

4 附錄A:τ-T：以TDB為變量

作為歷表的時間引數(shù)，TDB由下式[12]由TCB得到：

TDB=TCB-LB×(JDTCB-T0)×

(A.1)

其中：JDTCB為TCB的儒略日；T0=2 443 144.537 25；LB=1.550 519 768×10-8；TDB0=-6.55×10-5s為定義好的常量。噴氣推進實驗室將儒略日作為星歷表時間引數(shù)，因此將上式表為儒略日形式，有

(A.2)

其中，JDTDB0=TDB0/(86 400s)=-7.581 018 518 5×10-10。由此可得

(A.3)

其中，gJD(JDTDB)≡LB×(JDTDB-T0)-(1+LB)JDTDB0。

有關(guān)JDTCB的方程可展開為

(A.4)

(A.5)

(A.6)

聯(lián)合方程(A.5)和(A.6)，最終將得到

(A.7)

其中

(A.8)

(A.9)

(A.10)

(A.11)

(A.12)

(A.13)

(A.14)

(A.15)

(A.16)

(A.17)

[1] Nelson R. Relativistic time transfer in the vicinity of the Earth and in the solar system[J]. Metrologia， 2011，48(4):171-180.

[2] Bertotti B， Iess L， Tortora P. A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft[J]. Nature， 2003，425(6956):374-376．

[3] Ni Jensen J， Weaver G. The in-flight frequency behavior of two ultra-stable oscillators onboard the new horizons spacecraft[C]∥Proc. Annual Precise Time and Time Interval (PTTI) Meeting， 39th， Long Beach， CA: [s.n.], 2007:79-93．

[4] Misner C， Thorne K， Wheeler J. Gravitation [M]. San Francisco: W.H. Freeman and Co.， 1973:393-398.

[5] Soffel M， Klioner S， Petit G， et al. The IAU 2000 resolutions for astrometry， celestial mechanics， and metrology in the relativistic framework: explanatory supplement[J]. AJ， 2003，126(6):2687-2706．

[6] Ping J， Qian Z， Hong X， et al. Brief Introduction About Chinese Martian Mission Yinghuo-1[C]∥Lunar and Planetary Science Conference， 41st. The Woodlands， Texas: [s.n.], 2010:1060.

[7] Ping J， Shang K， Jian N， et al. Brief introduction of YINGHUO-1 Mars orbiter and open-loop tracking techniques[C]∥Proceedings of the Asia-Pacific International Conference on Gravitation and Astrophysics， 9th. Wuhan: [s.n.], 2010:225-232.

[8] Deng X， Xie Y. The effect of f(T) gravity on an interplanetary clock and its time transfer link[J]. Research in Astron. Astrophys. 2013，13(10):1225-1230．

[9] Deng X， Xie Y. Yukawa effects on the clock onboard a drag-free satellite[J]. MNRAS， 2013，431(4):3236-3239．

[10] Deng X. The transformation betweenτand TCB for deep space missions under IAU resolutions[J]. Research in Astron. Astrophys.， 2012，12(6):703-712．

[11] Pan J， Xie Y. Relativistic transformation betweenτand TCB for Mars missions: fourier analysis on its accessibility with clock offset [J]. Research in Astron. Astrophys.， 2013，13(11):1358-1362．

[12] Petit G， Luzum B， IERS Conventions[M].(IERS Technical Note; 36) Bundesamt für Kartographie und Geod?sie， 2010:151-152．

[13] Stoer J， Bulirsch R. Introduction to Numerical Analysis [M]. New York: Springer， 2002:491-498．

[14] Einstein A， Infeld L， Hoffmann B. The gravitational equations and the problem of motion[J]. Annals of Mathematics， 1938，39(1):65-100． 作者簡介： 謝懿(1981—)，男，博士，副教授，主要研究方向：基本天文學(xué)。 通信地址：江蘇省南京市漢口路22號南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院(210093) 電話：(025)89681230 E-mail:yixie@nju.edu.cn

[責任編輯：宋宏]

Relativistic Transformation between the Proper Timeτand TCG for Mars Missions

PAN Junyang1， XIE Yi1，2，3

(1.Department of Astronomy， Nanjing University， Nanjing 210093， China； 2.Shanghai Key Laboratory of Space Navigation and Position Techniques， Shanghai 200030， China; 3.Key Laboratory of Modern Astronomy and Astrophysics， Nanjing University， Ministry of Education， Nanjing 210093， China)

Considering the fact that the general theory of relativity has become a part of deep space missions， we investigate the relativistic transformation between the proper time of an onboard clockτand the geocentric coordinate time (TCG) for Mars missions. By connectingτwith this local timescale associated with the Earth， we extend previous works which focus on the transformation between τ and the barycentric coordinate time (TCB). (TCB is the global coordinate time for the whole solar system.) For practical convenience， the relation betweenτand TCG is recast to directly depend on quantities which can be read from ephemerides. We find that the difference between τ and TCG can reach the level of about 0∶2 seconds in a year. To distinguish various sources in the transformation， we numerically calculate the contributions caused by the Sun， eight planets， three large asteroids and the spacecraft. It is found that if the threshold of 1 microsecond is adopted， this transformation must include effects due to the Sun， Venus， the Moon， Mars， Jupiter， Saturn and the velocities of the spacecraft and Earth．

reference systems；time；numerical method；space vehicles

2015-01-01

2015-02-18

國家自然科學(xué)基金資助項目(J1210039)；上海市空間導(dǎo)航與定位技術(shù)重點實驗室基金(14DZ2276100)

P129

A

2095-7777(2015)01-0069-06

10.15982/j.issn.2095-7777.2015.01.010