費(fèi)?？。S文宏，孫維瑾，賀珍妮

(1.裝甲兵工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 100072；2.北京師范大學(xué) 物理系，北京 100875)

脈沖星導(dǎo)航的相對論定位法(Ⅰ)：相對論定位系統(tǒng)

費(fèi)?？?，黃文宏2，孫維瑾1，賀珍妮1

(1.裝甲兵工程學(xué)院 基礎(chǔ)部，北京 100072；2.北京師范大學(xué) 物理系，北京 100875)

為了討論脈沖星導(dǎo)航的相對論定位法，介紹近年來國際上興起的相對論定位系統(tǒng)。它是以導(dǎo)航星座的固有時間(即自身攜帶時鐘記錄的時間)為坐標(biāo)的一種新型的定位方法，相對于以導(dǎo)航星座時空坐標(biāo)為基準(zhǔn)的方法，在一定前提下具有較大優(yōu)越性。

相對論定位系統(tǒng)，零標(biāo)架，光坐標(biāo)

1 引言

無論是衛(wèi)星導(dǎo)航還是現(xiàn)在正在研究中的X射線脈沖星導(dǎo)航(X-ray pulsar-based navigation，XNAV)，都是測量光波從導(dǎo)航星座(衛(wèi)星或脈沖星)到達(dá)觀測者的傳播時間即光子到達(dá)時間(time of arrival，TOA)，由于光速不變性，TOA等價于導(dǎo)航星座到觀測者的距離，可以將這種導(dǎo)航方法稱作TOA定位法。從純粹廣義相對論的觀點(diǎn)來看，TOA定位法中測量的系統(tǒng)時間(例如北斗時(BeiDou navigation satellite system time，BDT)或全球定位系統(tǒng)時(global positioning system time，GPST)屬于坐標(biāo)時間在考慮引力作用的情況下，坐標(biāo)時間并不滿足光速不變性，于是將引力對測量時間的影響(相對論效應(yīng))作為一種修正加進(jìn)去，因此TOA定位法實(shí)際上是一種半經(jīng)典理論，是經(jīng)典力學(xué)與相對論的混合體。

原則上說，直接在相對論框架內(nèi)建立導(dǎo)航理論是完全可行的，有不少學(xué)者在這方面作了深入探討。文獻(xiàn)[1]在深入研究衛(wèi)星導(dǎo)航理論過程中，首先將相對論測量理論引入導(dǎo)航系統(tǒng)，提出全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)中的可觀測量是指固有量而并非坐標(biāo)量，認(rèn)為應(yīng)該借鑒相對論天體物理的研究方法，在4維零標(biāo)架中討論光傳播問題，文獻(xiàn)[2]隨后建立了一種共軛零標(biāo)架，將對應(yīng)坐標(biāo)稱之為GPS典型坐標(biāo)；文獻(xiàn)[3-8]將這一方法系統(tǒng)化，提出4個發(fā)射體的固有時間構(gòu)成4維時空的光坐標(biāo)或發(fā)射坐標(biāo)，可以為任意觀測者定位導(dǎo)航。由此建立起來的理論體系稱之為相對論定位系統(tǒng)(relativistic positioning system，RPS)，它是以相對論測量理論為基礎(chǔ)的一種全新的導(dǎo)航方法。

為敘述方便，本章采用c=1的自然單位制，即下文中的時間理解為通常時間的c倍，量綱為長度，速度是以c為度量單位的無量綱物理量。

2 正交標(biāo)架與零標(biāo)架

(1)

(2)

這里采用愛因斯坦求和慣例，即表達(dá)式中上下指標(biāo)相同時表示對該指標(biāo)求和。式(2)中的〈,〉定義為兩個4維矢量的閔氏內(nèi)積，相當(dāng)于3維歐氏空間的矢量點(diǎn)積。該標(biāo)架的特點(diǎn)是時間和空間概念比較清楚。

(3)

(4)

(5)

如果度規(guī)張量的對角元素gaa=0，則有

(6)

式(6)中的3維歐氏空間矢量

(7)

同理，根據(jù)度規(guī)張量的逆變分量與閔氏度規(guī)的關(guān)系

(8)

以及共軛基矢量之間的關(guān)系

(9)

可以證明，gaa=0表示每一個新共軛基矢ωa在閔氏標(biāo)架的共軛時間軸e0上的分量值與3維歐氏空間的分量值相同，新共軛基矢量是零矢量。

綜合上面的討論，將

gaa=0 或gaa=0

(10)

的標(biāo)架稱作零標(biāo)架(nullframe)或共軛零標(biāo)架(conjugatenullframe)，其含義為標(biāo)架的基矢量或共軛基矢量是閔氏空間的零矢量。

圖1 3維閔氏空間的零標(biāo)架及其在2維歐氏空間的投影

舉一個3維時空零標(biāo)架的例子。如圖1所示，設(shè)新標(biāo)架基矢量(ω1,ω2,ω3)與3維正交標(biāo)架基矢量的關(guān)系是

(12)

利用式(3)可得該標(biāo)架下的度規(guī)

g11=g22=g33=0

所以{ω1,ω2,ω3}構(gòu)成一個3維零標(biāo)架。從圖中可以看出，零標(biāo)架的3個基矢量均位于原點(diǎn)的光錐上，它們在2維歐氏空間{x1,x2}上的投影分別是

(13)

零標(biāo)架的固有性質(zhì)為研究光波的傳播特性提供了一個非常有效的工具，下面討論的相對論定位系統(tǒng)就是基于零標(biāo)架的一種新的導(dǎo)航方法。

3 零標(biāo)架中的光坐標(biāo)

如圖2所示，設(shè)發(fā)射體(導(dǎo)航星座)在閔氏空間的世界線為γa(τa)(a=1,2,3,4)，τa為發(fā)射體a的固有時。 在運(yùn)動過程中發(fā)射體不斷沿自身光錐發(fā)射光波，當(dāng)觀測者接收到4個發(fā)射體的光波時，表明發(fā)射點(diǎn)Pa(xa)必定位于接收點(diǎn)P(x)的過去光錐上，或者說接收點(diǎn)必定是4個發(fā)射點(diǎn)將來光錐的交點(diǎn)。由于沿光錐的時空間隔為0，即PPa的閔氏長度為0，有

0=ημν(xμ-xaμ)(xν-xaν)
=ημνxaμxaν-2ημνxaμxν+ημνxμxν
=-2+

(14)

發(fā)射點(diǎn)坐標(biāo)(xaμ)是指發(fā)射體a的時空坐標(biāo)的μ分量，當(dāng)它們?yōu)橐阎繒r，由上面4式可確定接收點(diǎn)的坐標(biāo)(xμ)。這實(shí)際上就是衛(wèi)星導(dǎo)航的基本原理。

圖2 發(fā)射體的世界線與觀測者的過去光錐

假設(shè)發(fā)射體a的3維速度va為常量，則4維閔氏速度也是常量

(15)

積分得

xaμ=xaμ(0)+uaμτa

(16)

注意式中的“0”是指τa=0，即xaμ(0)表示發(fā)射體a在τa=0時的4維初始坐標(biāo)。將上式代入式(14)并利用閔氏速度內(nèi)積

時空間隔變成

(τa)2-2τa+<ξa,ξa>=0

(17)

式(17)中的

(18)

是觀測者相對于發(fā)射體初始位置的4維位移矢量。由此解出

(19)

這里已經(jīng)舍去根號前取“+”號的另一解，因?yàn)樗鼘?yīng)于發(fā)射體世界線與接收點(diǎn)的將來光錐相交，與所設(shè)條件不符。如果發(fā)射體的速度uaμ以及初始坐標(biāo)xaμ(0)為已知量，上式給出發(fā)射體的固有時與觀測者坐標(biāo)的關(guān)系。

式(19)表明發(fā)射體的固有時是觀測者坐標(biāo)的函數(shù)

進(jìn)一步將它當(dāng)成一種坐標(biāo)變換，只要變換矩陣的行列式不為0，則

既然光坐標(biāo)構(gòu)成坐標(biāo)系，就應(yīng)該有相應(yīng)的標(biāo)架和度規(guī)，下面證明光坐標(biāo)對應(yīng)的標(biāo)架正是所謂的零標(biāo)架。將式(19)對坐標(biāo)dxμ=dξaμ微分

(20)

式(20)中的協(xié)變分量

(21)

{τa}與{xμ}的變換系數(shù)為

(22)

由式(8)，不難求出度規(guī)張量的對角元素

(23)

因此發(fā)射坐標(biāo){τa}構(gòu)成零標(biāo)架。顯然，式(19)也可表示成

(24)

此時可以看到，所謂相對論定位系統(tǒng)，其實(shí)質(zhì)是以發(fā)射體(導(dǎo)航星座)的固有時間即4個光坐標(biāo)τa而不是16個時空坐標(biāo)xaμ來確定觀測者的運(yùn)動狀態(tài)xμ，但前提是4個發(fā)射體的速度為已知常量。這4個光坐標(biāo)是零標(biāo)架的4個分量，任意觀測者的運(yùn)動狀態(tài)可以唯一地由這4個坐標(biāo)所確定。

4 2維平直時空的相對論定位法

通過上面的討論可以得到應(yīng)用RPS的前提條件是導(dǎo)航星座應(yīng)該具有確定的速度。如果導(dǎo)航星座可以看成分段勻速直線運(yùn)動，則可以對每一段的發(fā)射體初始位置和運(yùn)動速度建立零標(biāo)架。如果發(fā)射體具有不變的常速度則問題變得相對簡單，而X射線脈沖星在質(zhì)心天球參考系(barycentriccelestialreferencesystem，BCRS)中的速度(自行)在較長時間內(nèi)可以看成常數(shù)。下面來討論2維時空中脈沖星導(dǎo)航的相對論定位法。

在BCRS中引入2維Newman-Penrose坐標(biāo){U,V}，與2維閔氏坐標(biāo){t,x}的關(guān)系分別為

(25)

新坐標(biāo)下的線元是

dτ2=dt2-dx2=dUdV

(26)

因g11=g22=0，故Newman-Penrose標(biāo)架是零標(biāo)架。

設(shè)脈沖星a(a=1,2)在BCRS中的速度va為常數(shù)，根據(jù)式(15)和式(25)，可知脈沖星的閔氏速度矢量在零標(biāo)架下的分量也為常量

(27)

式(27)中定義的

是va對應(yīng)的閔氏時空雙曲角，這里只需要理解為一個代號。設(shè)脈沖星的初始坐標(biāo)分別為(Ua(0),Va(0))，由上式積分得到它們的坐標(biāo)是

(28)

根據(jù)發(fā)射點(diǎn)(Ua,Va)與接收點(diǎn)(U,V)的時空間隔

(U-Ua)(V-Va)=0

(29)

解出U=Ua或V=Va。如果航天器位于兩顆脈沖星之間，則接收點(diǎn)的坐標(biāo)為

(30)

式(30)也可以根據(jù)式(19)求出。將

代入式(19)，求出脈沖星a的固有時

分別取a=1,2就得到

(31)

式(31)與式(30)完全一致。

設(shè)脈沖星的初始時空坐標(biāo)滿足

t1(0)=-x1(0),t2(0)=x2(0)

(32)

即U1(0)=0，V2(0)=0。則式(30)或式(31)簡化成

(33)

當(dāng)兩顆脈沖星的速度(v1,v2)已知的情況下，航天器的時空坐標(biāo)(t,x)與光坐標(biāo)(τ1,τ2)或(U,V)存在一一對應(yīng)關(guān)系。

圖3 發(fā)射點(diǎn)和接收點(diǎn)的時空坐標(biāo)(a)與光坐標(biāo)(b)

下面通過圖3作具體說明。

圖3中{t,x}和{U,V}是正交標(biāo)架和零標(biāo)架，γ,γ1,γ2是航天器和兩顆脈沖星的世界線。由于脈沖星做勻速運(yùn)動，脈沖星世界線是2維時空的斜直線，與時間軸的夾角θ=tan-1v(取c=1)反映了脈沖星在BCRS中的速度。設(shè)兩顆脈沖星的初始時間和空間坐標(biāo)分別滿足式(36)，實(shí)際上是要求坐標(biāo)原點(diǎn)的光坐標(biāo)為(0，0)。脈沖星不斷沿自身的光錐發(fā)射光波，這些波矢量構(gòu)成坐標(biāo)系{U,V}的坐標(biāo)網(wǎng)格(grid)，每一條波矢量就是一條坐標(biāo)線，對應(yīng)于一顆脈沖星的固有時。例如，設(shè)兩顆脈沖星的固有周期分別是P1,P2，它們每隔一個周期發(fā)射一個脈沖，則圖中P點(diǎn)對應(yīng)的固有時分別為τ1=5.0P1，τ2=2.0P2，即它的光坐標(biāo)為(τ1,τ2)，如果用(U,V)表示則為(ew1τ1,e-w2τ2)。

5 結(jié)束語

從本質(zhì)上看，相對論定位法不是直接測量航天器的時空坐標(biāo)，而是測量導(dǎo)航星座的固有時間，如果導(dǎo)航星座發(fā)射穩(wěn)定的光波，就可以根據(jù)光波的相位(取決于發(fā)射體的固有時間)得到光坐標(biāo)，達(dá)到導(dǎo)航定位的目的。

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Relativistic Positioning Method of Pulsar-based Navigation I：Relativistic Positioning System

FEI Bao-jun1，HUANG Wen-hong2，SUN Wei-jin1，HE Zhen-ni1

(1.Department of Fundamental Courses，Academy of Armored Force Engineering，Beijing 100072，China；2.Department of Physics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China)

In order to discuss relativistic positioning method of pulsar-based navigation，we are going to introduce the international rise in recent years of relativistic positioning system.It is a new positioning method based on the proper time of navigation constellations(i.e.，the time recorded by its own clock).Compared with the method based on time and space coordinates of navigation constellation，it has a large advantage under certain premise.

relativistic positioning system(RPS)，null frame，light coordinates

2014-07-03

費(fèi)?？?1956)，男，湖北洪湖人，教授，主要從事應(yīng)用相對論和脈沖星導(dǎo)航研究工作。

P131，V44

A

2095-4999(2015)-01-0019-05