基于背景值和初始值改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型

劉俊峰，夏愛(ài)生，夏軍劍

(軍事交通學(xué)院基礎(chǔ)部，天津300161)

GM(1，1)模型(灰色預(yù)測(cè)模型)［1］自 20 世紀(jì)80年代提出以來(lái)，由于其所具備的所需樣本少、計(jì)算簡(jiǎn)單、可檢驗(yàn)等特點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于國(guó)民經(jīng)濟(jì)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等各個(gè)領(lǐng)域，并成功解決了大量實(shí)際問(wèn)題。但GM(1，1)模型本身存在一定的局限性，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是背景值的構(gòu)造，由于發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度有深刻的影響，而a、b的取值與背景值的構(gòu)造方法有關(guān)聯(lián)，當(dāng)a的預(yù)測(cè)值比較大時(shí)，傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)誤差相對(duì)來(lái)說(shuō)較大［2］;二是初始值的確定，傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)對(duì)于參數(shù)C的處理方法是曲線X(1)(t)過(guò)點(diǎn)(1，X(1)(1))，代入通解可以解出 C值，這樣做雖然可以使模型的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，但由于最優(yōu)的擬合曲線并不一定經(jīng)過(guò)歷史數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)，從而不能保證模擬序列和原始序列的最優(yōu)擬合:這些因素導(dǎo)致了傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型相對(duì)不穩(wěn)定?；谶@種情況，本文提出了一種改進(jìn)的GM(1，1)模型，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 灰色預(yù)測(cè)模型原理

令 X(0)為 n元序列，X(0)={X(0)(1)，X(0)(2)，…，X(0)(n)}，X(1)為 X(0)一次累加生成，X(1)={X(1)(1)，X(1)(2)，…，X(1)(n)}。

于是X(1)的GM(1，1)白化形式的微分方程為

假設(shè)擬合曲線X(1)(t)過(guò)累加序列的第一個(gè)點(diǎn)，即當(dāng)t=1時(shí)，^X(1)(t)=X(1)(1)代入式(3)，離散化可得GM(1，1)的時(shí)間相應(yīng)序列:

還原到原始序列可得灰色預(yù)測(cè)模型

2GM(1，1)模型的改進(jìn)

2.1 對(duì)背景值的改進(jìn)

通過(guò)分析傳統(tǒng)的GM(1，1)模型的建模過(guò)程，發(fā)現(xiàn)發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度有深刻影響，a、b的取值與背景值的構(gòu)造方法有關(guān)聯(lián)，傳統(tǒng)的背景值Z(k)(t)dt=(k+1)+X(1)(k))。經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)發(fā)現(xiàn)當(dāng)a比較小時(shí)，預(yù)測(cè)的誤差偏小;當(dāng)a越大時(shí)，預(yù)測(cè)誤差就越大。本文提出修改背景值的權(quán)值λ，即令

根據(jù)微分方程解的形式，可求出權(quán)值λ，并可進(jìn)行多次迭代，以達(dá)到減小誤差的目的。對(duì)式(1)在［k，k+1］上進(jìn)行積分:

從上式可以看出，當(dāng)a較小時(shí)，λ取1/2較合理，當(dāng)a比較大時(shí)，λ取1/2會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差加大。

由式(4)可得

在預(yù)測(cè)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)矩陣B中含有待估參數(shù)a的函數(shù)λ，這里賦初始值λ=1/2，進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得到a的一次估計(jì)值a1，把a(bǔ)1代入式(5)，改變矩陣B，重新進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得到a的二次估計(jì)值a2，可逐步進(jìn)行下去得出a的最優(yōu)值。

2.2 對(duì)初始值的改進(jìn)

對(duì)于白化微分方程式(1)的通解為式(3)，傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)對(duì)于參數(shù)C的處理方法是曲線X(1)(t)過(guò)(1，X(1)(1))點(diǎn)，代入通解可以解出 C值。這樣做雖然可以使模型的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，但由于沒(méi)有對(duì)白化方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而不能保證模擬序列和原始序列的最優(yōu)擬合。因?yàn)樽顑?yōu)的擬合曲線并不一定經(jīng)過(guò)歷史數(shù)據(jù)中的某一點(diǎn)。

針對(duì)GM(1，1)模型檢驗(yàn)的一般方法，運(yùn)用最小二乘法原理優(yōu)化模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，以X(1)序列的模擬值和X(1)序列的觀測(cè)值的殘差平方和最小為條件［3-4］，確定時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中的常數(shù)C，從而建立起相應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，大大提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

(1)白化微分方程=b的解亦稱(chēng)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，表達(dá)式為

(2)灰色微分方程X(0)(t)+aZ(t)=b的時(shí)間相應(yīng)序列為

證明

為了求C，利用最小二乘原理，構(gòu)造X(0)序列的模擬值和X(0)序列的觀測(cè)值的殘差平方和函數(shù):

求C使得S(C)達(dá)到最小。令S'(C)=0，求得唯一駐點(diǎn):

根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，得知?dú)埐钇椒胶蚐(C)在此駐點(diǎn)處取最小，故

(2)令 t=k+1，可以得到灰色微分方程X(0)(t)+aZ(t)=b的時(shí)間相應(yīng)序列為

(3)對(duì)X(1)累減后化簡(jiǎn)可還原原始數(shù)據(jù)。

3 實(shí)例分析與對(duì)比

為檢驗(yàn)改進(jìn)模型的性能，以文獻(xiàn)［5］中2003—2011年我國(guó)原煤總產(chǎn)量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例(見(jiàn)表1)，建立本文改進(jìn)的GM(1，1)模型，對(duì)2009—2011年原煤總產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與文獻(xiàn)［5］中預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比(見(jiàn)表2)。具體步驟:

(1)對(duì)原始序列進(jìn)行累加處理，得到它的累加生成序列;

(2)利用經(jīng)典模型預(yù)測(cè)初值，代入式(5)，利用式(6)進(jìn)行預(yù)測(cè);

(3)把預(yù)測(cè)出來(lái)的值再次代入式(5)，利用式(6)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得出時(shí)間相應(yīng)式(1)的具體形式;

(4)把C值代入式(1)中預(yù)測(cè)出2009年的原煤總產(chǎn)量，并把預(yù)測(cè)值加入到原序列，重復(fù)以上步驟，直至把2009—2011年原煤總產(chǎn)量都被預(yù)測(cè)出來(lái)。

表1 2003—2011年我國(guó)原煤總產(chǎn)量

表2 2008—2011年我國(guó)原煤總產(chǎn)量預(yù)測(cè)值與相對(duì)誤差值對(duì)比

由表2可以看出，2008—2011年文獻(xiàn)［5］模型預(yù)測(cè)結(jié)果的平均誤差為1.25%;本文改進(jìn)的GM(1，1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果的平均誤差為0.81%，而2003—2011年本文預(yù)測(cè)結(jié)果的平均誤差為0.683%?？梢?jiàn)本文改進(jìn)的預(yù)測(cè)模型精度有了明顯的提高。

4 結(jié)語(yǔ)

在傳統(tǒng)的GM(1，1)模型中通常將背景值取為相鄰兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值，對(duì)于不同的數(shù)據(jù)勢(shì)必導(dǎo)致誤差的精度不同，當(dāng)a比較大時(shí)，預(yù)測(cè)的誤差較大。另外，直接將 ^X(1)(1)=X(1)(1)作為已知條件，求解模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，這些都導(dǎo)致得出的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)精度不高。本文首先對(duì)背景值進(jìn)行加權(quán)處理，從而得到精度較高的權(quán)值，同時(shí)根據(jù)最小二乘原理確定時(shí)間響應(yīng)函數(shù)中的常數(shù)C，建立起相應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，并通過(guò)實(shí)例表明，改進(jìn)的模型可以提高預(yù)測(cè)精度。

［1］ 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1985:1-25.

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［5］ 羅迪，馬新.基于Gauss－Legendre公式改進(jìn)的煤炭產(chǎn)量灰色預(yù)測(cè)模型研究［J］.煤炭工程，2014，46(4):90-93.