基于F類函數(shù)一種新的二元Copula構(gòu)造

閆曉麗，何小娟，段永超

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

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基于F類函數(shù)一種新的二元Copula構(gòu)造

閆曉麗，何小娟，段永超

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

介紹了二元Copula函數(shù)定義和Sklar定理，提出了基于F類函數(shù)一種新的二元Copula構(gòu)造形式，并對這種二元Copula函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)和研究。Copula函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用極為廣泛，這種新的二元Copula函數(shù)可以擴(kuò)大函數(shù)模型的選擇范圍，有利于我們選擇恰當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)模型來解決實(shí)際問題。

F類函數(shù)；二元Copula函數(shù)；構(gòu)造形式

Copula函數(shù)作為研究變量相關(guān)性的工具，不僅克服了傳統(tǒng)相關(guān)性分析方法研究變量非線性、非對稱的不足，而且能夠更加全面完整地刻畫變量間的結(jié)構(gòu)。Copula函數(shù)作為一種連接函數(shù)可以將聯(lián)合分布的構(gòu)造問題拆分為邊緣分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)來研究，而且在隨機(jī)變量作單調(diào)變換后仍會保持變量間的相關(guān)性不變，此外它還可以捕捉到變量間的尾部相關(guān)性等特性。因此，Copula函數(shù)常被應(yīng)用到保險(xiǎn)精算、風(fēng)險(xiǎn)管理，股票分析等領(lǐng)域用于變量間的相關(guān)性分析，并取得良好效果。然而在實(shí)際應(yīng)用中，針對不同的問題需要不同的Copula函數(shù)去求解，沒有一個(gè)通用的構(gòu)造方法，因此極大制約了Copula函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，所以構(gòu)造適當(dāng)可行的Copula函數(shù)是當(dāng)今的研究熱點(diǎn)。目前，針對二元Copula的構(gòu)造方法有許多種：如Sklar定理反演法[1]，可以直接從二元聯(lián)合分布函數(shù)求得二元Copula函數(shù)；Copula函數(shù)的任意線性凸組合[1]也可以構(gòu)造Copula函數(shù)；單調(diào)變換法[2]，在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中，由于隨機(jī)變量在嚴(yán)格單調(diào)變換下的Copula要么不變，要么以某種規(guī)律發(fā)生變化，所以可通過單調(diào)變換來構(gòu)造Copula函數(shù)；基于g函數(shù)[3]的二元Copula函數(shù)以及構(gòu)造阿基米德Copula生成元[4]等多種構(gòu)造方法。目前Copula函數(shù)族主要分為兩大類：橢圓族Copula和阿基米德族Copula，其中阿基米德族Copula具有對稱性、可結(jié)合性等特點(diǎn)，所以是應(yīng)用較為廣泛的一類Copula函數(shù)，對于這類函數(shù)只要找到滿足特定條件的生成元就能構(gòu)造Copula函數(shù)。

F類函數(shù)[5]也相當(dāng)于一種阿基米德生成元，本文在已有的F類函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種新的二元Copula函數(shù)的構(gòu)造形式，并研究了新的二元Copula函數(shù)的三種性質(zhì)。

1 二元Copula函數(shù)

1.1 二元Copula函數(shù)定義

一個(gè)二元函數(shù)是Copula函數(shù)(I2→I(I=[0,1]))，若滿足以下條件：

(1)邊界：?u,v∈I,C(0,v)=C(u,0)=0,C(1,v)=v,C(u,1)=u.

(2)增性：對于?a,b,c,d∈I,且a≤b,c≤d,有：

Vc([a,b]×[c,d])=C(b,d)-C(a,d)-C(b,c)+C(a,c)≥0

Vc([a,b]×[c,d])為Copula在矩形[a,b]×[c,d]上的二階差分。

1.2 Sklar定理

Sklar定理是Copula理論中的基礎(chǔ)定理，定理如下：

Sklar定理：假設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為H，邊緣分布為F和G，則存在著一個(gè)Copula函數(shù)C，使得:

H(x,y)=C(F(x),G(y))

若F和G是連續(xù)的，則Copula函數(shù)是唯一的；否則，在RanF×RanF上Copula函數(shù)是唯一的。

Frechet-Hoeffding給出了聯(lián)合分布函數(shù)的上下界。若H是聯(lián)合分布，邊際分布是F和G，則：

max{F(x)+G(y)-1,0}≤H(x,y)≤min{F(x),G(y)}

因?yàn)镠(x,y)=C(F(x),G(y))所以上式可以等價(jià)為：

W(u,v)=max{u+v-1,0}≤C(u,v)≤min{u,v}=M(u,v)

2 新的二元Copula函數(shù)構(gòu)造

2.1 F類函數(shù)

F類函數(shù)滿足的條件如下：f(x)是遞增凹函數(shù)(f′(x)≥0,f″(x)≤0)

(1)f(0)=0,f(1)=1

(2)f′(x)+xf″(x)≤0,x∈[0,1]

2.2 新的二元Copula函數(shù)

本文構(gòu)造的二元Copula函數(shù)是以F類函數(shù)為基礎(chǔ)提出的，函數(shù)形式如下：

C(u,v)=uv+f(u)f(v)-f(uv)

下面證明這種新的構(gòu)造形式確為二元Copula函數(shù)。

首先證明構(gòu)造出的新的函數(shù)形式滿足二元Copula函數(shù)條件：

(1)邊界：C(1,v)=v+f(1)f(v)-f(v)=v+f(v)-f(v)=v,

C(u,1)=u+f(u)f(1)-f(u)=u+f(u)-f(u)=u,

C(0,v)=0+f(0)f(v)-f(0)=0,C(u,0)=0+f(u)f(0)-f(0)=0.

(2)增性：u1,u2,v1,v2∈I，且u1

因?yàn)閡2>u1,v2>v1,且f(x)在I上單調(diào)遞增，所以：

(u2-u1)(v2-v1)+(f(u2)-f(u1))(f(v2)-f(v1))≥0

令：g=f(u2v1)+f(u1v2)-f(u2v2)-f(u1v1)=(f(u1v2)-f(u1v1))-(f(u2v2)-f(u2v1))

再令：h(x)=f(v2x)-f(v1x),得：g=h(u1)-h(u2)，

若w(x,y)=yf′(yx),則h′(x)=v2f′(v2x)-v1f′(v1x)=w(x,v2)-w(x，v1),

wy(x,y)=?yf′(yx)/?y=f′(yx)+xyf″(yx).

由條件f′(x)+xf″(x)≤0,x∈[0,1].

可知wy(x,y)≤0.

因?yàn)関1

所以對u1

因此，對u1

滿足二維遞增性，所以C(u,v)=uv+f(u)f(v)-f(uv)為二維Copula函數(shù)。

2.3 新二元Copula函數(shù)性質(zhì)

(2)?u1,u2,v1,v2∈I,且u1

Vc([u1,u2]×[v1,v2])=C(u2,v2)-C(u2,v1)-C(u1,v2)+C(u1,v1)=

證明：(1)首先證明f2(t)=f1(λt)/f1(λ)是F類函數(shù)。

f2(0)=f1(0)/f1(λ)=0,f2(1)=f1(λ)/f1(λ)=1.

(2) 證明新構(gòu)造的C(u,v)確為二元Copula函數(shù)，滿足二元Copula函數(shù)的條件：

邊界：C(u,0)=C(0,v)=0,

增性：u1,u2,v1,v2∈[0,1],u1

Vc([u1,u2]×[v1,v2])=C(u2,v2)-C(u1,v2)-C(u2,v2)+C(u1,v1)=u2v2+f2(u2)f2(v2)-f2(u2v2)-u2v1-f2(u2)f2(v1)+f2(u2v1)-u1v2-f2(u1)f2(v2)+f2(u1v2)+u1v1+f2(u1)f2(v1)-f2(u1v1)=(u2-u1)(v2-v1)+(f2(u2)-f2(u1))(f2(v2)-f2(v1))-f2(u2v2)+f2(u2v1)+f2(u1v2)-f2(u1v1)

(u2-u1)(v2-v1)+(f2(u2)-f2(u1))(f2(v2)-f2(v1))≥0

g=f2(u2v1)+f2(u1v2)-f2(u2v2)-f2(u1v1)=(f2(u1v2)-f2(u1v1))-(f2(u2v2)-f2(u2v1))

可知wy(x,y)≤0.

因?yàn)関1

所以對?u1

則Vc([u1,u2]×[v1,v2])=C(u2,v2)-C(u1,v2)-C(u2,v2)+C(u1,v1)≥0.

性質(zhì)3 設(shè)f1(t),f2(t)是F類函數(shù)，則g(t)=f2(f1(t))為F類函數(shù)，且構(gòu)造的C(u,v)=uv+f2(f1(u))f2(f1(v))-f2(f1(uv))是二元Copula函數(shù)。

證明：(1)證明g(t)=f2(f1(t))是F類函數(shù)。

g(0)=f2(f1(0))=0,g(1)=f2(f1(1))=1.

所以g(t)也是F類函數(shù)。

(2)證明新構(gòu)造C(u,v)確為二元Copula函數(shù)，滿足二元Copula函數(shù)條件：

邊界：C(u,0)=0+f2(f1(u))f2(f1(0))-f2(f1(0))=0.

C(0,v)=0+f2(f1(0))f2(f1(v))-f2(f1(0))=0.

增性：?u1,u2,v1,v2,u1

Vc([u1,u2]×[v1,v2])=C(u2,v2)-C(u2,v1)-C(u1,v2)+C(u1,v1)=u2v2+g(u2)g(v2)-g(u2v2)-u2v1-g(u2)g(v1)+g(u2v1)-u1v2-g(u1)g(v2)+g(u1v2)+u1v1+g(u1)g(v1)-g(u1v1)=(u2-u1)(v2-v1)+(g(u2)-g(u1))(g(v2)-g(v1))+g(u1v2)+g(u2v1)-g(u2v2)-g(u1v1)

所以(u2-u1)(v2-v1)+(g(u2)-g(u1))(g(v2)-g(v1))≥0.

令：H=g(u2v1)+g(u1v2)-g(u2v2)-g(u1v1)=(g(u1v2)-g(u1v1))-(g(u2v2)-g(u2v1)).

h(x)=g(v2x)-g(v1x),w(x,y)=yg′(yx), 所以H=h(u1)-h(u2).

h′(x)=v2g′(v2x)-v1g′(v1x)=w(x,v2)-w(x,v1)

wy(x,y)=?yg′(yx)/?y=g′(yx)+xyg″(yx).

由已知g′(t)+tg″(t)≤0,可得wy(x,y)≤0,所以h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，所以H≥0,則Vc([u1,u2]×(v1,v2))=C(u2,v2)-C(u1,v2)-C(u2,v2)+C(u1,v1)≥0.

因此構(gòu)造C(u,v)=uv+g(u)g(v)-g(uv)=uv+f2(f1(u))f2(f1(v))-f2(f1(uv)).

是一個(gè)二元Copula函數(shù)。

3 結(jié)束語

本文在已有的F類函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種新的二元Copula函數(shù)的構(gòu)造形式，并研究了新的二元Copula函數(shù)三種性質(zhì)，證明這種新的構(gòu)造形式確實(shí)合理可行。對于這種新的二元Copula函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用將是以后的研究熱點(diǎn)。

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A New Construction Method of 2-Copula Based on F-Function

YAN Xiao-Li，HE Xiao-Juan，DUAN Yong-Chao

(School of Applied Science，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

This paper introduces the definition of 2-Copula and the Sklar theorem，puts forward a new method to construct 2-Copula based on F-function.Furthermore，the properties of this new Copula function are analyzed. This Copula function has wide practical application and can expand the range of chance for function model，which helps choose the appropriate Copula function model so as to solve actual problems.

F-function，2-Copula，construction methods

2015-03-20

校博士啟動(dòng)基金(20122026)；2013省級UIT項(xiàng)目(2013244)

閆曉麗(1990-)，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論及其應(yīng)用。

1673-2057(2015)06-0486-05

0221

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.06.015