金奎

[摘 要]數(shù)位順序表串聯(lián)著整數(shù)學習的脈絡。以“干流”為喻，直觀形象地闡述數(shù)位順序表演變過程中，學生積累整數(shù)學習的經(jīng)驗的始末。立足教材的分析與對比，捕捉到在數(shù)位順序表、計數(shù)器、輔助圖的多次無縫鏈接中，學生經(jīng)歷學表、借表、補縫、隱表、無表的壓縮與釋放。最終，整數(shù)學習干流中的經(jīng)驗不斷豐盈，數(shù)位表演變價值不斷突顯，知識結構逐步建立牢固。

[關鍵詞]逆覓 經(jīng)驗干流 數(shù)位表 入?？?源頭

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）11-017

干流指什么？在一個水系中，直接流入海洋或內(nèi)陸湖泊的河流可稱干流，流入干流的河流叫做支流。加以引申，“數(shù)”經(jīng)驗干流則是指直接影響數(shù)概念建立中各階段的主體經(jīng)驗，其間眾多支流可稱為支經(jīng)驗，進而形成與河流相似的經(jīng)驗流。

整數(shù)是學生能親手觸摸的數(shù)，認識、大小、數(shù)位、計數(shù)、位數(shù)、取值等眾多知識，都包含在壓縮模型——數(shù)位順序表中，決定它成為整數(shù)認識的經(jīng)驗干流。（如下圖）

由圖可見：大數(shù)認識之前，學生經(jīng)歷著長時間整數(shù)的浸潤，數(shù)位順序表串聯(lián)著整數(shù)學習的脈絡。其間目睹著經(jīng)驗干流的擴展與壯大，當經(jīng)驗集聚已像洪峰一樣隨時會“決堤而出”時，分級線成為入?？?，如何平穩(wěn)入海？數(shù)位順序表經(jīng)歷了怎樣的壓縮與釋放？不妨逆尋“表”的演變，探究其教學價值。

干流的入?？谌绾涡纬桑?/p>

涓涓細流，匯成大海，入海的悲壯誰來識？

四年級上冊“大數(shù)的認識”是學生認識整數(shù)暫告一段落的節(jié)點。其間數(shù)位順序表在經(jīng)歷了“提取、抽象、壓縮”后在此處悄然隱退，釋放為淡淡的“印痕”——“分級線”，成為認識大數(shù)、理解大數(shù)、比較大數(shù)的核心線索和重要手段，并悄然入海。

一、學表→借表

1.四位一級的整體性認知

“萬以上數(shù)的認識”延續(xù)原有用計數(shù)器遷移進率的經(jīng)驗，進一步完善數(shù)位順序表，第一次明確概括了計數(shù)單位、數(shù)級、數(shù)位的概念，教學中可以讓學生讀一讀、填一填加深對表的認知與記憶，使學生掌握個級包括個位、十位、百位、千位，萬級包括萬位、十萬位、百萬位、千萬位，以此類推億級的各個數(shù)位，從整體上認知“四位一級”的有序性，并體會數(shù)的無窮大。

2.關鍵數(shù)位的占領性記憶

當學生已經(jīng)熟練掌握基本知識后，可說一說：從右邊起，第五位是什么位？第九位是什么位？適時點撥：記住從右邊起第五位是萬位，第九位是億位。

萬位和億位作為兩個“戰(zhàn)略高地”，既是各級的轉(zhuǎn)折點，也是充當了分級線演變進程中 “拐杖”的角色，數(shù)的讀法、寫法都將借數(shù)位順序表進行學習，教師需通過點、面結合的方式，引導學生反復操練。有了對數(shù)級的扎實掌握，數(shù)位表與分級線可共同出示：

兩級的數(shù)怎么讀？讀的時候腦中浮現(xiàn)的是什么？成功的學習往往是前經(jīng)驗的提取。在“表”與“線”的聯(lián)合中，首先提取的是萬以內(nèi)數(shù)的讀寫法，為萬級的讀寫提供經(jīng)驗；其次提取的是回想數(shù)級，運用分級線加上“萬”字或把分級線當作“萬”字寫出萬級上的數(shù)字。至于零的讀法與補位，都與“四位一級”相關，更加說明了數(shù)位順序表的現(xiàn)實意義。

3.分級線的隙中補縫

以上兩圖中的數(shù)位順序表外形更為簡單，但可能會打亂學生剛剛建立起來的表的具象，為了及時彌補，可跟進以下練習：

學生借助數(shù)位表中的數(shù)級直接在表下用虛線劃分各級，充分感知分級線與表中數(shù)級之間的對應關系，認識與讀法之間的縫隙得到填補；表與線的柔和處理使“流經(jīng)之地毫無堵塞，順利暢通”，讓更多的學生體會數(shù)學前后知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，學會有意識把控演變經(jīng)驗。

二、有表→隱表

教材從完整表到簡單表，步子穩(wěn)健，并以表和分級線同時呈現(xiàn)的方式使學生能夠在顯與隱的交互中掌握讀寫方法，但這并不是教學所要達到的最終目標，事實上數(shù)位表的隱形就是分級線，所以“有表有線”必將行進為“無表有線”。（如下表）

這些讀寫的練習都遵循由表到隱表的思路。讀數(shù)時，借助“萬”字定乾坤；寫數(shù)時，引導學生先畫分級線再寫，發(fā)揮出“表”的作用。

三、強化→弱視

分級線不斷強化，數(shù)位表漸漸隱去，讀數(shù)和寫數(shù)有了更簡潔的“眼見載體”。每見到讀數(shù)或?qū)憯?shù)，學生腦中會一下子跳出分級線，說明分級線已真正成為數(shù)位表的代言。盡管億以上數(shù)的認識（左下圖）也還是從表入手進化為分級線，但事實上學生已經(jīng)越過了“表”的經(jīng)驗，完全可以采用自學的方式進行。

讀數(shù)中學生可以自主表示分級，更重要的是“，”比虛線更為簡潔，形式上更接近無線。在讀數(shù)與寫數(shù)的混合練習中（如右上圖），教材中沒有任何分級的提示，就是讓學生根據(jù)自身的能力選擇合理的方式，這種強化與弱視并行的 “寬容”充分關注了不同的學生渡過“洪峰”的時差。

四、有形→無形

無論是“表”或是“線”，都是對整數(shù)認識的有形支撐，吻合學生認知的規(guī)律。當線的刺激由強變得越來越弱時，更多的學生也許會用心中的符號代替線，如下例取近似數(shù)時常常會在千位加“點”——借萬位找千位，那么億以上數(shù)的改寫或省略則借億位找到千萬位，這已經(jīng)是分級線的“變形”，也是占領性記憶的用武之地。能想到這樣加“點”，其實學生已經(jīng)無數(shù)次地閃現(xiàn)過“無線”的念頭，甚至有的已用腦中“留空”或筆下“留空”的方式直接研究了。

數(shù)位順序表這一“干流”憑借分級線的強與弱、有與無渡過洪峰般的經(jīng)驗涌動，實現(xiàn)有機提升。但這一路并不艱辛與驚險，“線”，無需做出力挽狂攬的壯舉便出海，這說明原有經(jīng)驗對大數(shù)認識具有較強的“保駕”之力。不妨逆流而上，尋覓干流的途徑與源頭。

支流的匯入為哪般？

干流中流淌的經(jīng)驗來自于眾多支流的匯入，學生的方法、能力都隨著匯入更加豐富。如二年級下冊的“萬以內(nèi)數(shù)的認識”分兩部分進行，一是1000以內(nèi)數(shù)的認識，二是10000以內(nèi)數(shù)的認識，但兩個階段不僅僅是內(nèi)容的承接，更重要的是經(jīng)驗的歷練、方法的選?。?

不難看出，“1000以內(nèi)數(shù)的認識”中，通過立體、面、小棒等引出計數(shù)器中的千位；在此基礎上“10000以內(nèi)數(shù)的認識”則把計數(shù)器抽象為大數(shù)認識前最完整的數(shù)位順序表，并進化為簡易的數(shù)位表進行寫數(shù)教學，這與大數(shù)教學完全一致，“100以內(nèi)的數(shù)的認識”也是如此?？梢娪嫈?shù)器是數(shù)位順序表最接近的數(shù)學實物圖，無論哪個階段，它將成為學生理解數(shù)的組成、讀寫等知識的最重要載體。

干流的源頭在哪里？

計數(shù)器給了整數(shù)認識強大的直觀支撐與理解，學生既可以把具象的數(shù)逐步抽象成珠子，又可借眼見的珠子釋放大量生活實物，那么計數(shù)器是什么時候引入教學的？干流的真正源頭在哪里？

1.計數(shù)器首次出現(xiàn)的輕巧

計數(shù)器在一年級上冊“11～20數(shù)的讀寫”一課第一次正式出現(xiàn)，并做到了三對應（左下圖）。一是借助熟知的小棒生活實物圖輕巧地引出計數(shù)器這一學具實物圖，學生能夠感悟十位、個位與之一一對應，明白十根小棒只用十位上一顆珠子即可替代的計數(shù)原理；二是數(shù)位與數(shù)的抽象圖，對應計數(shù)器十位和個位的珠子圖，使“數(shù)”可在具象與抽象之間自由穿越；三是文字表述與各輔助圖遙相呼應，學生可以根據(jù)“圖經(jīng)驗”初步感知數(shù)位順序與數(shù)的讀寫法，這也正是以后學習更大數(shù)的策略與方式。為了突出計數(shù)器對于數(shù)認識的作用，教材（右下圖）加強了計數(shù)器“展開式”與“壓縮式”的對比練習，突破十位上一顆珠子的“事實數(shù)量”就是十塊方格的難點；計數(shù)器畢竟只是數(shù)位表的過渡，因此第2題又據(jù)“表”建“位”，幫助學生讀數(shù)與寫數(shù)。

2.輔助圖多層次的豐羽

小棒不僅是生活實物也是學具實物，成為計數(shù)器的原形完全符和兒童理解數(shù)學的認知規(guī)律。其實在零起點教學時，學生已經(jīng)緊緊依靠這些輔助圖學習數(shù)了。

1～5的認識突出了生活實物圖與學具實物圖（如小棒、算珠）等的結合，然后抽象為數(shù)學意義的點子圖，多種輔助使數(shù)學“有血有肉”。從順逆兩方面分析可以看出“6、7的認識”成為數(shù)啟蒙認識中的紐帶：“6”承接了1～5以“展開小棒根數(shù)”為主的呈現(xiàn)方式，但隱去了生活實物圖，而“7”首次以“折疊的幾根”去擺一擺，引導學生自己去創(chuàng)造“多少”，并把這一方式延續(xù)給8、9、10的認識。因此，“20以內(nèi)數(shù)的認識”整個過程已出現(xiàn)多層次數(shù)的認識輔助手段，為計數(shù)器的產(chǎn)生、數(shù)位表的壯大、分級線的演變等積累了豐富的活動經(jīng)驗和推理經(jīng)驗，能讓學生在整數(shù)學習的“河道”里根據(jù)自身認知水平去自由游弋。由此看來干流的源頭，就在步入認識“1”的那一刻。

結語

當我們從分級線這一入海口逆干流而上，找到源頭的那份期待越發(fā)迫切；當我們順流而下，一路感受著各個階段中學生對于數(shù)的認識日益深刻的那份喜悅：執(zhí)著中經(jīng)歷了從生活實物圖、學具實物圖，到數(shù)學實物圖、數(shù)學抽象圖等支流經(jīng)驗的積累過程，逐步實現(xiàn)計數(shù)器與順序表的無縫對接；然而干流越來越寬廣，越來越充盈時，卻只化為一縷細線，縱身匯入數(shù)的大?！?/p>

（責編 金 鈴）