Abel方程的偶等價(jià)性

毛妨妨，郭影影，周正新

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225002)

Abel方程的偶等價(jià)性

毛妨妨，郭影影，周正新*

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225002)

應(yīng)用偶等價(jià)理論研究Abel方程之間的偶等價(jià)性，給出了Abel方程與其自治方程偶等價(jià)的若干充要條件，并應(yīng)用所得結(jié)論探討了Abel方程周期解的定性性態(tài).

偶等價(jià);Abel方程;周期解;定性性態(tài)

Mironenko［1］首次提出利用反射函數(shù)的方法將微分系統(tǒng)進(jìn)行分類，在同一等價(jià)類中，只須討論那些被稱為最簡單系統(tǒng)解的定性性態(tài).目前，利用反射函數(shù)的方法［2-3］研究微分系統(tǒng)的等價(jià)性及其解的定性性態(tài)已取得了若干重要結(jié)果［4-7］.最近，Zhou等［8-9］研究了多項(xiàng)式微分方程之間的等價(jià)性，Belsky等［10-11］研究了Abel方程之間的等價(jià)性.鑒于反射函數(shù)的構(gòu)造較為困難，Mironenko［12］提出了微分系統(tǒng)偶等價(jià)的概念，這樣無須借助反射函數(shù)就可以得到非自治系統(tǒng)與自治系統(tǒng)偶等價(jià)的充要條件.本文主要應(yīng)用偶等價(jià)的方法研究Abel方程之間的偶等價(jià)性.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮微分系統(tǒng)

滿足右端函數(shù)連續(xù)可微，且其初值問題存在唯一解.設(shè)

為變換函數(shù)，且滿足條件:(i)X(t，x)連續(xù)可微;(ii)S(t，x)=S(－t，x);(iii)存在關(guān)于x的可微反函數(shù) x=S－1(t，y).

定義1［12］35若存在變換函數(shù)(2)可將(1)轉(zhuǎn)化為

則稱微分系統(tǒng)(1)與(3)偶等價(jià);若變換函數(shù)(2)又滿足 S(0，x)=x且 ?S(t，x)/?x≠0，則系統(tǒng)(1)與其對(duì)應(yīng)的自治系統(tǒng)x'=X(0，x)偶等價(jià).

引理1［12］35系統(tǒng)(1)與自治系統(tǒng)x'=X(0，x)偶等價(jià)的充要條件為

2 主要結(jié)果

本文主要研究Abel方程

及其對(duì)應(yīng)的自治方程

其中ai（t）（i＝0，1，2，3）為R上連續(xù)可微函數(shù).

下面分兩類情形證明方程（4）與（5）偶等價(jià).首先，討論a3o（t）≠0時(shí)方程（4）與（5）偶等價(jià)的情形，這里a3o（t）≠0是指在t＝0的某一去心鄰域內(nèi)a3o（t）≠0.

證明 充分性：假設(shè)條件（i）～（v）成立，由已知條件可驗(yàn)證引理1中（＊）式成立，故方程（4）與（5）偶等價(jià).

必要性：若方程（4）與（5）偶等價(jià)，則由引理1知（＊）式成立.先將（4）式代入（＊）式，比較所得等式兩邊x同次冪的系數(shù)可得

由（10）式可得條件（ii）成立.再將（9），（10）式代入（8）式可得

再將條件（iii），（iv）代入（6）式，可得

聯(lián)立（11）和（12）式，得

類似地，可證得以下2個(gè)定理.

討論a3o（t）≡0時(shí)方程（4）與（5）偶等價(jià)的情形，可得如下定理.

由文獻(xiàn)［12］35中定理4，易證如下定理.

定理5 若ai（t＋2ω）＝ai（t）（i＝0，1，2，3），且方程（4）與（5）偶等價(jià)，則

的解x＝η（t；ω，x0）為2ω周期解當(dāng)且僅當(dāng)下述初值問題

的解x＝γ（t；ω，y0）為2ω周期解，且初值問題（4′）的解x＝η（t；t0，x0）與初值問題（5′）的解x＝γ（t；t0，y0）穩(wěn)定性相同.

下面舉例說明上述定理的應(yīng)用.

例1 驗(yàn)證 Abel方程x′＝（sint－2cost）x3＋（3sint－6cost）x2＋（3sint－6cost＋1）x＋（sint－2cost＋1）與其自治方程x′＝－2x3－6x2－5x－1偶等價(jià)，其中x∈R.

易見，上述 Abel方程中a3o（t）＝sint，a3e（t）＝－2cost，a2o（t）＝3sint，a2e（t）＝－6cost，a1o（t）＝3sint，a1e（t）＝－6cost＋1，a0o（t）＝sint，a0e（t）＝－2cost＋1，不難驗(yàn)證δ0（t）≡0，δ1（t）≡0，從而利用定理3可得上述Abel方程與其自治方程偶等價(jià).

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Even equivalence of Abel equations

MAO Fangfang，GUO Yingying，ZHOU Zhengxin＊

（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

This paper discusses the even equivalence of the Abel equations.Many necessary and sufficient conditions are established for the Abel equation which is equivalent to a given stationary equation.The obtained results are applied to discuss the qualitative behaviors of the periodic solutions of these equations.

even equivalence；Abel equation；periodic solution；qualitative behavior

O 175.12

A

1007-824X(2015)03-0004-04

2015-05-07.* 聯(lián)系人，E-mail:zxzhou@yzu.edu.cn.

江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK2012682);國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374010).

毛妨妨，郭影影，周正新.Abel方程的偶等價(jià)性［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，18(3):4-7.

（責(zé)任編輯 青 禾）