時(shí)書音　張若男

摘要 介紹高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，并舉例說(shuō)明高等數(shù)學(xué)解決初等數(shù)學(xué)的方便快捷。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 初等數(shù)學(xué)

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中存在以下兩個(gè)方面的問(wèn)題：一方面由于初等數(shù)學(xué)難以與高等數(shù)學(xué)直接銜接，使不少學(xué)生一接觸到高等數(shù)學(xué)就開始頭痛，另一方面，由于高等數(shù)學(xué)理論與初等數(shù)學(xué)教學(xué)需要嚴(yán)重脫節(jié)，許多高師畢業(yè)生對(duì)如何用高等數(shù)學(xué)知識(shí)指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)教學(xué)感到茫然。

一、高等數(shù)學(xué)知識(shí)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系

初等數(shù)學(xué)講多項(xiàng)式的運(yùn)算法則而高等數(shù)學(xué)在拓寬多項(xiàng)式的含義，嚴(yán)格定義多項(xiàng)式的次數(shù)及加法、乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)上，接著講多項(xiàng)式的整除理論及最大公因式理論。

初等數(shù)學(xué)講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。高等數(shù)學(xué)接著講一元次方程根的定義，復(fù)數(shù)域上一元次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的個(gè)數(shù)，實(shí)系數(shù)一次方程根的特點(diǎn)，有理系數(shù)一元次方程有理根的性質(zhì)及求法，一元次方程根的近似解法及公式解簡(jiǎn)介。

初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)為高等數(shù)學(xué)的數(shù)環(huán)、數(shù)域提供例子。初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為高等數(shù)學(xué)的向量空間提供例子。初等數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式成為高等數(shù)學(xué)中坐標(biāo)變換公式的例子。

初等幾何學(xué)習(xí)的向量的長(zhǎng)度和夾角為歐氏空間向量的長(zhǎng)度和夾角提供模型，三角形不等式為歐氏空間中兩點(diǎn)間距離的性質(zhì)提供模型，線段在平面上的投影為歐氏空間中向量在子空間的投影提供模型。綜上所述可知，高等數(shù)學(xué)在知識(shí)上的確是中學(xué)數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高。它不但解釋了許多中學(xué)數(shù)學(xué)未能說(shuō)清楚的問(wèn)題，如多項(xiàng)式的根及因式分解理論、線性方程組理論等，而且以整數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為實(shí)例，引入了數(shù)環(huán)、數(shù)域、向量空間、歐氏空間等數(shù)學(xué)系統(tǒng)。這對(duì)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、原理和方法指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)教學(xué)是十分有用的。

二、高等數(shù)學(xué)的優(yōu)越性

在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，從方法上要和初等數(shù)學(xué)進(jìn)行比較。例如選擇一些既可以用高等數(shù)學(xué)又可以用初等數(shù)學(xué)解決的問(wèn)題，分別采用兩種方法解答。通過(guò)對(duì)比性我們就會(huì)體會(huì)到知識(shí)的相關(guān)性，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，還提高我們的理解能力和認(rèn)識(shí)水平。如證明三角形中位線定理、三角形三線定理，平行四邊形對(duì)角線相互平分定理等等，除利用初等數(shù)學(xué)方法證明之外，還可以利用解析幾何學(xué)中向量法證明。正弦函數(shù)的遞增性，中學(xué)對(duì)這一問(wèn)題是通過(guò)觀察圖象直觀描述的，沒(méi)有給出理論上的證明，可以說(shuō)是在中學(xué)階段沒(méi)有得到充分解決的問(wèn)題。而在高等數(shù)學(xué)中，則通過(guò)求導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的遞增性的方法來(lái)解決。

三、導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一。用導(dǎo)數(shù)解初等數(shù)學(xué)題簡(jiǎn)便易行，不需要多大技巧，而且適用面較寬。特別是用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，均無(wú)需多大技巧，且過(guò)程簡(jiǎn)單，只需要求出導(dǎo)函數(shù)然后判斷符號(hào)就可以啦，若用初等數(shù)學(xué)知識(shí)討論，需要一些技巧，且解法要繁瑣，困難很多。由此可知，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，其解題方法固定，它比用單調(diào)性的證明要簡(jiǎn)單也容易理解與掌握。

四、二則的區(qū)別

在初等數(shù)學(xué)中初步萌生的若干數(shù)學(xué)觀念，包括數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)等，在高等代數(shù)中將得到深化和發(fā)展。關(guān)于數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，由初等數(shù)學(xué)研究的數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)等內(nèi)容，初等幾何研究的點(diǎn)、線、面、常見圖形等內(nèi)容，不難看出：數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式。然而這個(gè)觀念在高等代數(shù)等后繼課程中卻不斷受到?jīng)_擊。首先，集合的包含關(guān)系，多項(xiàng)式的整除關(guān)系，向量的線性關(guān)系，矩陣的等價(jià)、相似、合同關(guān)系己不再是傳統(tǒng)意義下的數(shù)量關(guān)系。其次，向量空間、歐氏空間也不再局限于有直觀意義的空間形式。高等代數(shù)等近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程都說(shuō)明：數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用抽象量化方法研究關(guān)系、結(jié)構(gòu)、模式的科學(xué)。這一新的觀念對(duì)于指導(dǎo)中學(xué)教改是至關(guān)重要的。關(guān)于數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)，人們普遍認(rèn)為是抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性，然而僅從中學(xué)數(shù)學(xué)是很難深刻體會(huì)到這些特點(diǎn)的。首先看抽象性。中學(xué)數(shù)學(xué)中，從用字母表示數(shù)，諸多數(shù)學(xué)概念的形成已使學(xué)生初步體會(huì)到抽象的含義和作用。但是對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)如何借助于抽象而不斷發(fā)展卻知之甚微，通過(guò)高等代數(shù)等后繼課程的學(xué)習(xí)，這樣的例子就漸漸多了起來(lái)。

高等數(shù)學(xué)許多內(nèi)容的知識(shí)背景源于初等數(shù)學(xué)，在課程教學(xué)改革實(shí)踐中，不僅要挖掘知識(shí)體系方面的聯(lián)系，更要挖掘數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)觀念方面的聯(lián)系。高等數(shù)學(xué)應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)并不是簡(jiǎn)單的一題多解，而是一種知識(shí)的融會(huì)貫通和發(fā)展學(xué)生的發(fā)散和聯(lián)想思維。高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充。高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的進(jìn)化。高等數(shù)學(xué)不僅是初等數(shù)學(xué)的延拓，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，只有很好的掌握高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)才能適應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展和教材改革。高等數(shù)學(xué)知識(shí)在開闊視野，指導(dǎo)中學(xué)解題等方面的作用尤為突出。在許多問(wèn)題中，如果我們能用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，將命題轉(zhuǎn)化為一般性的問(wèn)題進(jìn)行解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。