【摘要】群是近世代數(shù)中最基本的內(nèi)容之一，群在集合上的作用是群論中的重要概念并且在組合計數(shù)上有著廣泛的應(yīng)用。以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力為目標，對近世代數(shù)中“群在集合上作用”部分在教學(xué)時進行內(nèi)容優(yōu)化，增加其在組合計數(shù)中應(yīng)用環(huán)節(jié)的講解，以在實踐中的應(yīng)用加強學(xué)生對知識的理解。

【關(guān)鍵詞】近世代數(shù) 群在集合上的作用 課程改革 教學(xué)實踐

【基金項目】商洛學(xué)院科研基金（12SKY011，13jyjx119）。

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）07-0147-01

1.引言

近世代數(shù)又稱為抽象代數(shù)，是以研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)與構(gòu)造為主的一門學(xué)科。群是近世代數(shù)中最基本的內(nèi)容之一，群在集合上的作用是群論中的重要概念，并且應(yīng)用廣泛，尤其是在具有對稱性的組合計數(shù)問題上有重要應(yīng)用，但這一部分內(nèi)容在“近世代數(shù)”課程教學(xué)中是一個難點。一方面就其內(nèi)容本身而言，完全體現(xiàn)了近世代數(shù)高度抽象的特點，另一方面它的應(yīng)用又與其他學(xué)科相結(jié)合，因此在教學(xué)中，學(xué)生很難理解。同時，隨著高校改革的發(fā)展，加強培養(yǎng)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)不僅是一大批高校的改革方向，更是社會所需。我們在“近世代數(shù)”這門抽象程度高、推理邏輯性強的課程進行教學(xué)改革，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力為目標，對近世代數(shù)中“群在集合上作用”部分在教學(xué)時進行內(nèi)容優(yōu)化，增加其在組合計數(shù)中應(yīng)用環(huán)節(jié)的講解，以在實踐中的應(yīng)用加強學(xué)生對知識的理解。

2.“群在集合上的作用”教學(xué)過程

在大多數(shù)本科生的近世代數(shù)課程教材中都是把“群在集合上的作用”的概念和它的應(yīng)用分開敘述，并且應(yīng)用基本上都是在簡單幾何體上的計數(shù)的應(yīng)用，缺少連貫性。這就使得學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時，由于它的高度抽象性，學(xué)的僅僅是一知半解，只是單單記住它的形式；而到后面再學(xué)習(xí)它的應(yīng)用時，對前面所學(xué)概念已模糊不清，對它的應(yīng)用就更難理解了。

我們在教學(xué)時，嘗試把“群在集合上的作用”的概念和其應(yīng)用放在一塊來講，打亂教材的編排次序，并且增加一些組合計數(shù)中應(yīng)用的例子。

“群在集合上的作用的概念及其應(yīng)用”講授時大概需要2個學(xué)時。第一個學(xué)時重點是群在集合上的作用的概念的講解，由幾何體的變換群，以正四邊形的全體變換（四種旋轉(zhuǎn)變換變換和四種鏡面反射變換）所構(gòu)成的變換群入手，引出群在集合上的作用的概念，再回頭運用正五邊形、正六邊形和正四面體的例子解釋、驗證群在集合上作用的概念，加深學(xué)生對概念的理解。強調(diào)群在集合上的作用的重點是找準群，看清集合元素，理解好群對集合作用的條件。然后給出群在集合上作用的軌道的概念，結(jié)合前面講的例子，分析得出軌道的簡單性質(zhì)。最后留給學(xué)生思考題：設(shè)有2種顏色的珠子，要做成有四顆珠子的手鏈，最多有多少種不同的方案？做一簡單分析，回應(yīng)開頭正四邊形的變換群，同時引出下一節(jié)群在集合上的作用在組合計數(shù)上的應(yīng)用。

第二個學(xué)時重點講解群在集合上的作用在組合計數(shù)上的的應(yīng)用。以上一節(jié)的思考題開始，給出 Burnside 引理（也稱 Burnside 定理），引出與之類似的組合計數(shù)中經(jīng)常用到的 Polya 定理。然后以求解在平面圖形和立體圖形的頂點上染色方案數(shù)為例，講解 Polya 計數(shù)定理的應(yīng)用。平面圖形的染色先以均勻分為兩節(jié)的木棒、均勻分為三節(jié)，均勻分為n節(jié)的木棒染色再到四個珠子的手鏈、五個珠子的手鏈的染色方案，立體圖形主要以正四面體和正六面體為例。這樣舉例由淺入深，學(xué)生更容易理解接受。例題講解時重點放在分析變換群的構(gòu)造，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出圖形的變換群由旋轉(zhuǎn)變化和鏡面反射變化兩類構(gòu)成，并且區(qū)分平面圖形和空間圖形的的不同特點。最后總結(jié)群在集合上的作用的概念和其應(yīng)用，重點強調(diào)利用其計數(shù)時關(guān)鍵是群的構(gòu)造。

3.教學(xué)效果分析

我們這樣對教學(xué)內(nèi)容重新整合后，使得“群在集合上的作用”的概念及其應(yīng)用聯(lián)系起來，不但在講解時節(jié)省了學(xué)時，并且增加組合計數(shù)中的 Polya 計數(shù)定理。從學(xué)生的作業(yè)和課后對學(xué)生的隨機調(diào)查中可知，學(xué)生對“群在集合上的作用”的理解較往屆學(xué)生有很大提高，學(xué)生對這部分概念不再是單單形式上記憶，而是體會到了群在集合上的作用的內(nèi)涵，并且學(xué)會如何運用抽象的代數(shù)知識解決一些組合計數(shù)問題，體會到了代數(shù)知識的強大功能，提高了學(xué)習(xí)的興趣。

通過教學(xué)實踐的效果看，這樣把群在集合上作用的概念和它的應(yīng)用結(jié)合在一塊講，使學(xué)生能夠通過應(yīng)用更好地理解概念，對概念的理解的加深能夠更好的掌握它的應(yīng)用；更重要的讓學(xué)生體會帶群在集合上作用的強大功能，潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用知識的能力，適應(yīng)了培養(yǎng)應(yīng)用人才目標的需求。

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作者簡介：

王曉（1980—），男，河南南陽人，碩士，講師， 研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。