陳德前

一 知識(shí)要點(diǎn)自檢

1.平行四邊形的性質(zhì)：（l）平行四邊形的對(duì)邊______且______；（2）平行四邊形的對(duì)角____，鄰角______；（3）平行四邊形的對(duì)角線______；（4）平行四邊形是______對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是______.

2.平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊______的四邊形是平行四邊形（定義）；（2）兩組對(duì)邊______的四邊形是平行四邊形；（3）兩組對(duì)角______的四邊形是平行四邊形；（4）對(duì)角線______的四邊形是平行四邊形；（5）一組對(duì)邊______且______的四邊形是平行四邊形.

3.矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，同時(shí)它還具有自身的性質(zhì)：（1）矩形的四個(gè)角都是______；（2）矩形的對(duì)角線______；（3）矩形是軸對(duì)稱圖形，有______條對(duì)稱軸.

4.矩形的判定：（l）有一個(gè)角是______的平行四邊形是矩形；（2）對(duì)角線______的平行四邊形是矩形；（3）有______個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

5.菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，同時(shí)它還具有自身的性質(zhì)：（1）菱形的四條邊都____；（2）菱形的對(duì)角線____，且每一條對(duì)角線平分______；（3）菱形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)角線就是它的對(duì)稱軸，菱形有______條對(duì)稱軸；（4）菱形的面積等于______乘積的一半.

6.菱形的判定：（l）有一組鄰邊______的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線______的平行四邊形是菱形；（3）______條邊相等的四邊形是菱形.

7.正方形的性質(zhì)：既具有______的性質(zhì)，義具有______的性質(zhì).

8.正方形的判定：（l）有一組鄰邊______的矩形是正方形；（2）有一個(gè)角是______的菱形是正方形.

9.三角形的中位線：連接三角形兩邊______的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線______第三邊，且等于第三邊的______.由三角形的中位線可同時(shí)得出線段間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

10.直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的____，它將直角三角形分為兩個(gè)等腰三角形.

11.平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到______的距離叫做這兩條平行線之間的距離.平行線之間的距離______.

二 常用解題技巧

1.直接應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)解決有關(guān)角或線段的問(wèn)題

例l （2014年·宿遷）如圖l，則∠ADB的度數(shù)是（）.

A.16°

B.22°

C.32°

D.68°

解析：由BC=BD可得∠BDC=∠C=74°，故∠CBD=32°.再由平行四邊形的性質(zhì)可求得∠ADB=32°.故選C.

點(diǎn)評(píng)：求平行四邊形中的角時(shí)，常利用平行四邊形的對(duì)邊平行、對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)等性質(zhì)，

側(cè)2（2014年·黔南）如圖2.把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊.設(shè)重疊部分為△EBD，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）.

解析：根據(jù)矩形的性質(zhì)，并結(jié)合折疊的性質(zhì)來(lái)分析，知A，B正確，由折疊知∠CBD=∠C'BD.又AD//BC，所以∠ADB=∠CBD，從而有∠ADB=∠C'BD，EB=ED.C正確.由于矩形的形狀不一定，所以D不一定成立.因此選D.

點(diǎn)評(píng)：折疊前后圖形的形狀與大小不變.

2.應(yīng)用判定方法進(jìn)行判定

例3 （2014年·安順）如圖3，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D.AN是△ABC的外角∠CAM的平分線.CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形ADCE為矩形.

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？請(qǐng)給出證明.

解析：（1）通過(guò)證明四邊形ADCE是有三個(gè)角是直角的四邊形，來(lái)說(shuō)明它為矩形.

（2）假設(shè)四邊形ADCE為正方形，則有AD=DC=BD.進(jìn)而得出∠B=45°或∠BAC=90°等.證明從略.

點(diǎn)評(píng)：判定特殊平行四邊形的方法一般有兩種：（1）一次判定法：即從任意四邊形出發(fā)，根據(jù)有關(guān)結(jié)論，直接說(shuō)明該四邊形是矩形、菱形或正方形（如（1）題）；（2）逐層判定法：先判定是否為平行四邊形，再判定是否為矩形或菱形，最后判定是否為正方形，在具體解題中，我們常將這兩種方法結(jié)合起來(lái)使用.

3.先證明四邊形是平行四邊形或特殊平行四邊形.再應(yīng)用有關(guān)的性質(zhì)

例4 （2014年·宿遷）如圖4，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高.

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形.

（2）求證：∠DHF=∠DEF.

解析：（1）由點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，運(yùn)用中位線定理得到DE∥AC，EF//AB，可知四邊形ADEF是平行四邊形.

（2）由四邊形ADEF是平行四邊形，有∠DAF=∠DEF.在Rt△AHB中，D是AB的中點(diǎn)，可得∠DAH=∠DHA：同理可得∠FAH=∠FHA.從而有∠DAF=∠DHF，于是∠DHF=∠DEF.

點(diǎn)評(píng)：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DH=DA，進(jìn)而得到，是轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系的一個(gè)常用方法.

三 綜合題賞析

例5 （2014年·深圳）如圖5，已知BD垂直平分AC，

（l）證明四邊形ABDF是平行四邊形.

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長(zhǎng)，

解析：（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得△ABC和△ADC均為等腰三角形，故而四邊形ABDF是平行四邊形.

（2）由條件可知是菱形，得到AB=BD=5.設(shè)BE=x，則DE=5-x.然后利用勾股定理，有得到，解得.則

點(diǎn)評(píng)：本題涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，具有一定的綜合性，

例6（2012年·綏化）如圖6，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4）.矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)G處.E.F分別在AD和AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）.

（l）求G點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求直線EF的解析式.

解析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知FC=AF=2.而FB=AB-AF=1，故在Rt△BFG中，可求出，則從而得到G點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）由（1）可知FG=2FB，Rt△BFG為含30°角的直角三角形，則∠BFG=60。，結(jié)合折疊的性質(zhì)可知，從而.于是EF=2AF=4.利用勾股定理可求出，故E點(diǎn)的坐標(biāo)為又F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4），所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，計(jì)算略.

點(diǎn)評(píng)：本題是矩形與一次函數(shù)的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)與判定等，綜合性較強(qiáng)，

四 易錯(cuò)點(diǎn)評(píng)析

1.特殊代替一般

例7（2014年·徐州）若順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則該四邊形一定是（）.

A.矩形

B.等腰梯形

C.對(duì)角線相等的四邊形

D.對(duì)角線互相垂直的四邊形

錯(cuò)解：選A或選B.

解析：錯(cuò)解由三角形中位線的性質(zhì)，認(rèn)為順次連接對(duì)角線相等的矩形或等腰梯形的各邊中點(diǎn)所圍成的四邊形是菱形，從而選擇A或B，犯了以特殊代替一般的錯(cuò)誤.事實(shí)上，矩形或等腰梯形僅僅是對(duì)角線相等的四邊形中的“特殊情況”，正確答案應(yīng)選C.

2.思考問(wèn)題不周

例9 （2014年·襄陽(yáng)）在oABCD中，BC邊上的高為.則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于______.

錯(cuò)解：如圖7，在平行四邊形ABCD中，AB=CD=5，4D=BC.設(shè)BC邊上的高為AE在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，根據(jù)勾股定理得BE=3.同理得CE=2.故BC=BE+CE=5，的周長(zhǎng)為2x（5+5）=20.

解析：本題是無(wú)圖題，解題時(shí)應(yīng)考慮周全，它相當(dāng)于已知△ABC的兩邊AB和AC以及第三邊BC上的高AE，求第三邊BC的長(zhǎng)度，因?yàn)槿切蔚母逜E可在△ABC的內(nèi)部，也可在△ABC的外部，所以應(yīng)分兩種情況討論.

（1）若高AE在△ABC的內(nèi)部，如圖7，解法如上；

（2）若高AE在△ABC的外部，如圖8，同理可得BE=3，CE=2，故BC=BE-CE=3-2=1，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2x（5+1）=12.

綜上，可知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20或12.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于涉“高”問(wèn)題，一定要注意高的位置的多種可能性.謹(jǐn)防漏解.