傳鵬

平移與旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學(xué)們動(dòng)手能力、觀察能力的好素材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容. 題型多以填空題、計(jì)算題呈現(xiàn). 在解答此類問(wèn)題時(shí)，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解. 根據(jù)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等形，通過(guò)線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到求解的目的.

例1 （2006年江蘇省宿遷市）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若∠BAD′ = 30°，則∠AED′ 等于 （ ）.

A. 30° B. 45°

C. 60° D. 75°

分析 由已知條件∠BAD′= 30°，易得∠DAD′= 60°.

又∵ D，D′關(guān)于AE對(duì)稱，∴∠EAD = ∠EAD′ = 30°.

∴ ∠AED = ∠AED′ = 60°.

故選C.

點(diǎn)評(píng) 本例考查靈活運(yùn)用翻折前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)的能力，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)∠EAD = ∠EAD′，∠AED = ∠AED′.

例2 如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，∠PAD = ∠PDA = 15°，連接PB，PC，請(qǐng)問(wèn)：△PBC是等邊三角形嗎？為什么？

分析 本題關(guān)鍵是說(shuō)明∠PCD = ∠PBA = 30°，利用條件可以設(shè)想將△APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，而使A與C重合，此時(shí)問(wèn)題得到解決.

解 將△APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△DP′C，再作△DP′C關(guān)于DC的軸對(duì)稱圖形△DQC，得△CDQ與△ADP經(jīng)過(guò)對(duì)折后能夠重合.

∵ PD = QD，

∴ ∠PDQ = 90° - 15° - 15° = 60°.

∴ △PDQ為等邊三角形.

∴ ∠PQD = 60°.

∵∠DQC = ∠APD = 180° - 15° - 15° = 150°，

∴∠PQC = 360° - 60° - 150° = 150° = ∠DQC.

∵ PQ = QD = CQ，

∴ ∠PCQ = ∠DCQ = 15°.

∴ ∠PCD = 30°.

∴ ∠PCB = 60°.

∵ PC = BC = CD，

∴ △PBC為等邊三角形.

例3 如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，BC = 3，將腰CD以D為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接AE，CE，則△ADE的面積是 （ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能確定

分析 解題的關(guān)鍵是求△ADE的邊AD上的高. 可先求作直角梯形的高DF，想到將△CDF繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△EDG，由EG = GF，只要求出CF的長(zhǎng)，就可以求出△ADE的面積.

解 過(guò)D作DF⊥BC于F，過(guò)E作EG⊥AG，交AD的延長(zhǎng)線于G.

∵∠B = 90°，AD∥BC，

∴四邊形ABFD為矩形.

∴ FC = BC - AD = 3 - 2 = 1，∠EDC = ∠FDC = 90°.

∴ ∠FDC = ∠EDG. 又∵ ∠DFC = ∠G = 90°，ED = CD，

∴ △EDG ≌ △CDF. ∴ EG = CF = 1.

∴ △ADE的面積 = ■AD·EG = ■ × 2 × 1 = 1.

因此，選擇A.

點(diǎn)評(píng) 明確△ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成DE，作梯形高是常見(jiàn)的解題方法之一.