• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      基于幾何畫板的圓錐曲線統(tǒng)一性的實(shí)驗(yàn)探究

      2015-05-30 11:12:41潘穎藝
      關(guān)鍵詞:畫板雙曲線圓錐

      潘穎藝

      《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”基于幾何畫板的圓錐曲線統(tǒng)一性的探究,就是通過學(xué)生自己動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程,親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”過程,在探究中,不僅學(xué)會(huì)證明,也學(xué)會(huì)猜想.

      下面以人教版《數(shù)學(xué)》選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》為例,嘗試作以下三個(gè)方面的實(shí)驗(yàn)探究.

      1. 圓錐曲線生成過程的動(dòng)態(tài)模擬實(shí)驗(yàn),直觀地展示圓錐曲線形成的統(tǒng)一性

      大家知道,用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐,截口曲線是一個(gè)圓.那么,改變平面與圓錐軸線的夾角,將得到什么圖形呢?

      早在古希臘,阿波羅尼奧斯用同一個(gè)(正的或斜的)圓錐的截面來研究圓錐曲線,并發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支,而且在他的《圓錐曲線論》中引入拋物線(齊曲線)、橢圓(虧曲線)和雙曲線(超曲線)的名稱.

      現(xiàn)在,嘗試?yán)脦缀萎嫲遘浖M生成圓錐曲線的動(dòng)態(tài)軌跡.

      教師指導(dǎo)學(xué)生制作動(dòng)態(tài)課件,一系列繁瑣的制作步驟,精細(xì)的尺規(guī)作圖,以及制作中觀察、思考、合作交流和討論,學(xué)生就像“數(shù)學(xué)家”一樣,親身經(jīng)歷圓錐曲線產(chǎn)生、形成的全過程,體會(huì)跌跤中如何摸索前進(jìn),以及頑強(qiáng)地探究他們所攻問題的勇氣.課件完成后,學(xué)生動(dòng)手拖動(dòng)平面M′N′N(如圖1所示),教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察:截面M′N′N與圓錐軸線的夾角大小不一樣時(shí),得到不同的截口曲線,即圓、橢圓、拋物線、雙曲線.從直觀感知、操作確認(rèn),加深對(duì)曲線的不同形狀的理解.

      因此,圓錐曲線形成的模擬實(shí)驗(yàn),學(xué)生不僅追尋圓錐曲線生成的歷史足跡,而且感受到圓錐曲線的“統(tǒng)一美”.

      2. 從三種圓錐曲線各自的定義到統(tǒng)一的定義的多元表征,再次領(lǐng)悟圓錐曲線的發(fā)展過程的統(tǒng)一美

      平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓.那么,平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓嗎?打開幾何畫板軟件,能否用尺規(guī)作圖的方法獲取軌跡呢?

      作定圓F1,半徑為定長(zhǎng)r,點(diǎn)F2是圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn),線段PF2的垂直平分線和直線PF1相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí),標(biāo)記點(diǎn)Q的軌跡.如圖2所示.

      觀察:繪制的點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓;利用幾何畫板的度量功能,列出圖3中表格數(shù)據(jù)后再次發(fā)現(xiàn):當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí),QF1 + QF2 = 3.93,并且常數(shù)3.93始終保持不變,符合橢圓的定義.

      思考:(1)當(dāng)點(diǎn)F2在圓內(nèi)移動(dòng)時(shí),QF1 + QF2是否仍保持某一個(gè)常數(shù)不變呢?

      (2)是否不管r多大,總是可以作出橢圓呢?(讓學(xué)生測(cè)量|PF1|和|F1F2|的長(zhǎng)度,加深對(duì)條件2a > |F1F2|的認(rèn)識(shí))那么,如何證明點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓?

      探究:慢慢地拖動(dòng)點(diǎn)F2到圓F1外,觀察這個(gè)過程軌跡怎樣變化?(橢圓越來越扁,最后軌跡消失)

      想一想:橢圓為什么消失呢?(此時(shí),2a < |F1F2|,不能構(gòu)成橢圓)

      從圖形觀察得到,橢圓是線段PF1與線段PF2的中垂線的交點(diǎn)軌跡.拖動(dòng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng),線段PF1與線段PF2的中垂線始終不相交,但與線段PF1所在直線相交,表明軌跡存在,猜想:點(diǎn)Q的軌跡是什么呢?

      此時(shí),結(jié)合橢圓探究過程,采用類比推理方法,獲取如圖4所示的雙曲線.

      繼續(xù)探究(極限化):若圓的半徑取無窮大(圓周近似為一條直線,圓心在無窮遠(yuǎn)處),那么線段PF2的中垂線與半徑所在直線PQ的交點(diǎn)軌跡就是拋物線了.

      因此,點(diǎn)F2在圓內(nèi)、外位置關(guān)系的不同以及圓的大小不同,獲取了不同的曲線(橢圓、雙曲線、拋物線),實(shí)現(xiàn)了圓錐曲線在概念上初步的統(tǒng)一.

      追溯數(shù)學(xué)史,歐幾里得在《幾何原本》中描述:平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比等于常數(shù)e的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是圓錐曲線.現(xiàn)在,利用軟件對(duì)該描述進(jìn)行驗(yàn)證和探究:(如圖5所示)

      兩邊平方并化簡(jiǎn)、整理得:(1 - e2)x2 + y2 - 2(c + e2p)x + c2-e2p2 = 0.

      這就是圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)在直角坐標(biāo)系中的統(tǒng)一方程.

      綜上,從用平面去截對(duì)頂圓錐、尺規(guī)作圖畫平面曲線到曲線統(tǒng)一方程推導(dǎo),圓錐曲線的“美”源自統(tǒng)一,展示出數(shù)學(xué)理性思維的“美”.

      3. 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用,展示出圓錐曲線在實(shí)際應(yīng)用中的“統(tǒng)一美”

      焦點(diǎn),即光線的聚集點(diǎn),橢圓、雙曲線和拋物線都有焦點(diǎn),因此,圓錐曲線與光有緊密的聯(lián)系.繼續(xù)利用幾何畫板軟件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn).

      動(dòng)手作圖,觀察圖6:在橢圓上任取一點(diǎn)Q,連接QF1,QF2,作∠F1QF2的角平分線交F1F2于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作QD的垂線L,直觀發(fā)現(xiàn):∠AQF1和∠BQF2可能相等.

      利用度量功能,觀察獲取的表格數(shù)據(jù)(如圖7所示):點(diǎn)Q的位置不同,∠AQF1和∠BQF2保持大小相等.

      猜想:若直線L為橢圓的切線,橢圓的光學(xué)性質(zhì)就得以驗(yàn)證,那么,該如何證明呢?

      4. 探究思考

      主編寄語說:“數(shù)學(xué)是自然的.”在圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)、生成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,圓錐曲線的“統(tǒng)一美”實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物.基于幾何畫板的圓錐曲線統(tǒng)一性的實(shí)驗(yàn)探究,就是創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)情境,通過“觀察”“思考”“探究”等活動(dòng)的帶領(lǐng),引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題,提出和解決問題,這也正是數(shù)學(xué)教學(xué)大力提倡的.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社,2003.

      [2]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5(必修)[M].北京:人民教育出版社,2011.

      猜你喜歡
      畫板雙曲線圓錐
      圓錐擺模型的探究與拓展
      圓錐截線與玫瑰線
      “圓柱與圓錐”復(fù)習(xí)指導(dǎo)
      計(jì)算法在圓錐保持架收縮模組合沖頭設(shè)計(jì)中的應(yīng)用
      哈爾濱軸承(2021年4期)2021-03-08 01:00:50
      把握準(zhǔn)考綱,吃透雙曲線
      一道雙曲線題的十變式
      七彩畫板
      七彩畫板
      七彩畫板
      七彩畫板
      吉木萨尔县| 桂阳县| 米林县| 朝阳县| 临湘市| 呼图壁县| 交口县| 顺昌县| 丽水市| 新邵县| 望奎县| 余江县| 项城市| 台前县| 信阳市| 黄石市| 社旗县| 辉县市| 垦利县| 扎兰屯市| 静海县| 安达市| 金秀| 红安县| 封开县| 库尔勒市| 新蔡县| 确山县| 子洲县| 大丰市| 绥德县| 瑞丽市| 和龙市| 静乐县| 望奎县| 呈贡县| 富民县| 临沭县| 彝良县| 固始县| 延边|