基于幾何畫板的圓錐曲線統(tǒng)一性的實(shí)驗(yàn)探究

潘穎藝

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”基于幾何畫板的圓錐曲線統(tǒng)一性的探究，就是通過學(xué)生自己動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過程，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”過程，在探究中，不僅學(xué)會(huì)證明，也學(xué)會(huì)猜想.

下面以人教版《數(shù)學(xué)》選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》為例，嘗試作以下三個(gè)方面的實(shí)驗(yàn)探究.

1. 圓錐曲線生成過程的動(dòng)態(tài)模擬實(shí)驗(yàn)，直觀地展示圓錐曲線形成的統(tǒng)一性

大家知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線是一個(gè)圓.那么，改變平面與圓錐軸線的夾角，將得到什么圖形呢？

早在古希臘，阿波羅尼奧斯用同一個(gè)（正的或斜的）圓錐的截面來研究圓錐曲線，并發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支，而且在他的《圓錐曲線論》中引入拋物線（齊曲線）、橢圓（虧曲線）和雙曲線（超曲線）的名稱.

現(xiàn)在，嘗試?yán)脦缀萎嫲遘浖M生成圓錐曲線的動(dòng)態(tài)軌跡.

教師指導(dǎo)學(xué)生制作動(dòng)態(tài)課件，一系列繁瑣的制作步驟，精細(xì)的尺規(guī)作圖，以及制作中觀察、思考、合作交流和討論，學(xué)生就像“數(shù)學(xué)家”一樣，親身經(jīng)歷圓錐曲線產(chǎn)生、形成的全過程，體會(huì)跌跤中如何摸索前進(jìn)，以及頑強(qiáng)地探究他們所攻問題的勇氣.課件完成后，學(xué)生動(dòng)手拖動(dòng)平面M′N′N（如圖1所示），教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察：截面M′N′N與圓錐軸線的夾角大小不一樣時(shí)，得到不同的截口曲線，即圓、橢圓、拋物線、雙曲線.從直觀感知、操作確認(rèn)，加深對(duì)曲線的不同形狀的理解.

因此，圓錐曲線形成的模擬實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅追尋圓錐曲線生成的歷史足跡，而且感受到圓錐曲線的“統(tǒng)一美”.

2. 從三種圓錐曲線各自的定義到統(tǒng)一的定義的多元表征，再次領(lǐng)悟圓錐曲線的發(fā)展過程的統(tǒng)一美

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓.那么，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡是橢圓嗎？打開幾何畫板軟件，能否用尺規(guī)作圖的方法獲取軌跡呢？

作定圓F1，半徑為定長(zhǎng)r，點(diǎn)F2是圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，線段PF2的垂直平分線和直線PF1相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，標(biāo)記點(diǎn)Q的軌跡.如圖2所示.

觀察：繪制的點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓；利用幾何畫板的度量功能，列出圖3中表格數(shù)據(jù)后再次發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QF1 + QF2 = 3.93，并且常數(shù)3.93始終保持不變，符合橢圓的定義.

思考：（1）當(dāng)點(diǎn)F2在圓內(nèi)移動(dòng)時(shí)，QF1 + QF2是否仍保持某一個(gè)常數(shù)不變呢？

（2）是否不管r多大，總是可以作出橢圓呢？（讓學(xué)生測(cè)量|PF1|和|F1F2|的長(zhǎng)度，加深對(duì)條件2a > |F1F2|的認(rèn)識(shí)）那么，如何證明點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓？

探究：慢慢地拖動(dòng)點(diǎn)F2到圓F1外，觀察這個(gè)過程軌跡怎樣變化？（橢圓越來越扁，最后軌跡消失）

想一想：橢圓為什么消失呢？（此時(shí)，2a < |F1F2|，不能構(gòu)成橢圓）

從圖形觀察得到，橢圓是線段PF1與線段PF2的中垂線的交點(diǎn)軌跡.拖動(dòng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動(dòng)，線段PF1與線段PF2的中垂線始終不相交，但與線段PF1所在直線相交，表明軌跡存在，猜想：點(diǎn)Q的軌跡是什么呢？

此時(shí)，結(jié)合橢圓探究過程，采用類比推理方法，獲取如圖4所示的雙曲線.

繼續(xù)探究（極限化）：若圓的半徑取無窮大（圓周近似為一條直線，圓心在無窮遠(yuǎn)處），那么線段PF2的中垂線與半徑所在直線PQ的交點(diǎn)軌跡就是拋物線了.

因此，點(diǎn)F2在圓內(nèi)、外位置關(guān)系的不同以及圓的大小不同，獲取了不同的曲線（橢圓、雙曲線、拋物線），實(shí)現(xiàn)了圓錐曲線在概念上初步的統(tǒng)一.

追溯數(shù)學(xué)史，歐幾里得在《幾何原本》中描述：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比等于常數(shù)e的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是圓錐曲線.現(xiàn)在，利用軟件對(duì)該描述進(jìn)行驗(yàn)證和探究：（如圖5所示）

兩邊平方并化簡(jiǎn)、整理得：（1 - e2）x2 + y2 - 2（c + e2p）x + c2-e2p2 = 0.

這就是圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）在直角坐標(biāo)系中的統(tǒng)一方程.

綜上，從用平面去截對(duì)頂圓錐、尺規(guī)作圖畫平面曲線到曲線統(tǒng)一方程推導(dǎo)，圓錐曲線的“美”源自統(tǒng)一，展示出數(shù)學(xué)理性思維的“美”.

3. 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用，展示出圓錐曲線在實(shí)際應(yīng)用中的“統(tǒng)一美”

焦點(diǎn)，即光線的聚集點(diǎn)，橢圓、雙曲線和拋物線都有焦點(diǎn)，因此，圓錐曲線與光有緊密的聯(lián)系.繼續(xù)利用幾何畫板軟件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn).

動(dòng)手作圖，觀察圖6：在橢圓上任取一點(diǎn)Q，連接QF1，QF2，作∠F1QF2的角平分線交F1F2于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作QD的垂線L，直觀發(fā)現(xiàn)：∠AQF1和∠BQF2可能相等.

利用度量功能，觀察獲取的表格數(shù)據(jù)（如圖7所示）：點(diǎn)Q的位置不同，∠AQF1和∠BQF2保持大小相等.

猜想：若直線L為橢圓的切線，橢圓的光學(xué)性質(zhì)就得以驗(yàn)證，那么，該如何證明呢？

4. 探究思考

主編寄語說：“數(shù)學(xué)是自然的.”在圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)、生成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，圓錐曲線的“統(tǒng)一美”實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物.基于幾何畫板的圓錐曲線統(tǒng)一性的實(shí)驗(yàn)探究，就是創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)情境，通過“觀察”“思考”“探究”等活動(dòng)的帶領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題，提出和解決問題，這也正是數(shù)學(xué)教學(xué)大力提倡的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5（必修）[M].北京：人民教育出版社，2011.