平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用

徐文暉

向量的坐標(biāo)反映的是向量的大小和方向，引入向量的坐標(biāo)可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，使得用向量求解有關(guān)問(wèn)題會(huì)更加方便。下面舉例分析，供大家參考。

一、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例1 已知三點(diǎn)A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），用坐標(biāo)表示向量

解：由，可得

評(píng)析：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的。

二、向量平行的坐標(biāo)表示

側(cè)2 已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-l，

求證：

證明：由題意得

設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為

因?yàn)?，所以，可?/p>

由，可得。

評(píng)析：若向量，滿足（或），則a∥b。

三、三點(diǎn)共線問(wèn)題

__.________

例3 已知16），求證：A，B，C三點(diǎn)共線。

證明：（-2，-4）。

由4×（-4）-8×（-2）=0，可知，又它們有公共點(diǎn)B，所以A，B，C三點(diǎn)共線。

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，O），B（4，4），C（2，6），求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）。

由，得4x-4y=O，即x-y=0 ①。

由，且，可得-6×（x-2）-2×（y-6）=0，即3x+y-12=0②。

由①②解得即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）。

評(píng)析：A，B，C三點(diǎn)共線<=>與共線。

四、利用向量的坐標(biāo)解決平面幾何問(wèn)題

例5 已知點(diǎn)A（2，3），B（5，4），C（7，lO）及

（l）當(dāng)λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上？

（2）若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，求λ的取值范圍。

（3）四邊形ABCP能為平行四邊形嗎？若能，求出相應(yīng)的λ值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則y-3）。

由，得（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7），所以即可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5λ+5，7λ+4）。

（l）當(dāng)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上時(shí)，5λ+5=7λ+4，解得。

（2）當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，可得解得λ<-1，即A的取值范圍為（一∞，-l）。

（3）。若四邊形ABCP為平行四邊形，則，即得方程組可知此方程組無(wú)解，所以四邊形ABCP不能為平行四邊形。

評(píng)析：找到點(diǎn)P的坐標(biāo)與λ的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。