張丹丹
互補與整合這一思維形式對于數(shù)學來說十分重要,本文擬以有理數(shù)的學習為例對此作出具體說明。
首先,我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合
具體地說,與加減法一樣,有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋,如部分與整體的關系,商,算子或函數(shù),度量,等等;但是,正如人們所已普遍認識到了的,就有理數(shù)的理解而言,關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋,更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的;而應對有理數(shù)的各種解釋(或者說,相應的心理建構(gòu))很好地加以整合,也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面,并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。
例如,在教學中人們往往唯一地強調(diào)應從“部分與整體的關系”這一角度去理解有理數(shù),特別是,分數(shù)常常被想象成“圓的一個部分”。然而,實踐表明,局限于這一心理圖像必然會造成一定的學習困難、甚至是嚴重的概念錯誤。例如,如果局限于上述的解釋,就很難對以下算法的合理性作出解釋:(5/7)÷(3/4)=(5/7)×(4/3)=…
其次,我們應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用
這也正是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征,即突出強調(diào)學生的動手實踐、主動探索與合作交流:“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶,動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式……教師應激發(fā)學生的學習積極性,向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗?!保?)由于實踐活動(包括感性經(jīng)驗)構(gòu)成了數(shù)學認識活動的重要基礎,合作交流顯然應被看成學習活動社會性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求,因此,從這樣的角度去分析,上述的主張就是完全合理的;然而,需要強調(diào)的是,除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外,我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補。這正如美國學者萊許(R.Lesh)等所指出的:“實物操作只是數(shù)學概念發(fā)展的一個方面,其他的表述方式──如圖像,書面語言、符號語言、現(xiàn)實情景等──同樣也發(fā)揮了十分重要的作用?!?/p>
再次,我們應清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關系
眾所周知,大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征:“由于學生生活背景和思考角度不同,所使用的方法必然是多樣的,教師應當尊重學生的想法,鼓勵學生獨立思考,提倡計算方法的多樣化?!保?3)當然,在大力提倡解題策略多樣化的同時,我們還應明確肯定思維優(yōu)化的必要性,這就是說,我們不應停留于對于不同方法在數(shù)量上的片面追求,而應通過多種方法的比較幫助學生學會鑒別什么是較好的方法,包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應用各種不同的方法。顯然,后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數(shù)學思維的一個重要特點。
最后,我們應清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補關系
特別是,就由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)學”的過渡而言,不應被看成對于學生原先所已發(fā)展起來的素樸直覺的徹底否定;毋寧說,在此所需要的就是如何通過學校的數(shù)學學習使之“精致化”,以及隨著認識的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學直覺。在筆者看來,我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數(shù)感”的論述,這就是,課程內(nèi)容的學習應當努力“發(fā)展學生的數(shù)感”,而后者又并非僅僅是指各種相關的能力,如計算能力等,還包含“直覺”的含義,即對于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性,包括能對數(shù)的相對大小作出迅速、直接的判斷,以及能夠根據(jù)需要作出迅速的估算。當然,作為問題的另一方面,我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數(shù)學基本知識與基本技能的重要性,特別是,在需要的時候能對客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面作出準確的刻畫和計算,并能對運算的合理性作出適當?shù)恼f明──顯然,后者事實上已超出了“直覺”的范圍,即主要代表了一種自覺的努力。
值得指出的是,除去“形式”和“直覺”以外,著名數(shù)學教育家費施拜因曾突出地強調(diào)了“算法”的掌握對于數(shù)學的特殊重要性。事實上,即使就初等數(shù)學而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的:“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠、走不遠,更不能騰飛……可是你要一引進代數(shù)方法,這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了,而且每個人都可以做,用不著天才人物想出許多招來才能做,而且他可以騰飛,非但可以跑得很遠而且可以騰飛?!边@正是數(shù)學歷史發(fā)展的一個基本事實,即一種重要算法的形成往往就標志著數(shù)學的重要進步。也正因為此,費施拜因?qū)⑿问?、直覺與算法統(tǒng)稱為“數(shù)學的三個基本成分”,并專門撰文對這三者之間的交互作用進行了分析。顯然,就我們目前的論題而言,這也就更為清楚地表明了“互補與整合”確應被看成數(shù)學思維的一個重要特點。
綜上可見,即使是小學數(shù)學的教學內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質(zhì),因此,在教學中我們應作出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”這一重要目標。