高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)現(xiàn)狀與優(yōu)化策略

丁正燕

【摘要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細胞，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基石，也是學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維的邏輯起點，是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心.但是重解題、輕概念，重結(jié)論、輕過程，重講授、輕探索的現(xiàn)象比較普遍，從而導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握效果大打折扣.因此，對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的優(yōu)化，以求共同推進課程改革的深入.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；概念數(shù)學(xué)；優(yōu)化策略

新一輪課程改革的核心理念強調(diào)“重視科學(xué)教育，全面提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)”.科學(xué)概念是組成科學(xué)知識的基本單元，也是科學(xué)素養(yǎng)的基本構(gòu)成要素，對數(shù)學(xué)核心概念的正確表征是衡量科學(xué)素養(yǎng)的一個重要維度.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細胞，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基石，也是學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維的邏輯起點，是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的核心.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)成功與否的一個重要標志，也應(yīng)該成為老師教學(xué)的著眼點和落腳點.

一、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)現(xiàn)狀

1.重解題，輕概念

一方面受應(yīng)試教育的影響，許多教師仍然存在“重解題技巧教學(xué)，輕數(shù)學(xué)概念教學(xué)”的傾向，有的教師還刻意追求“概念教學(xué)的最小化和習(xí)題教學(xué)的最大化”；另一方面受課時安排及教學(xué)進度的影響.這樣的結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生在沒能正確理解數(shù)學(xué)概念，無法形成能力的情況下匆忙去解題，使得學(xué)生只會模仿老師解決某些典型的題型和掌握某類特定的解法，一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策，甚至導(dǎo)致教師和學(xué)生為了提高成績陷入無底的題海之中.

2.重結(jié)論，輕過程

有的教師為完成教學(xué)任務(wù)，在概念的教學(xué)過程中往往把數(shù)學(xué)概念看作一個名詞，對概念作解釋，只重視對概念的記憶，而忽視概念的引入和形成過程.在引入概念時沒有留給學(xué)生足夠的空間讓學(xué)生經(jīng)歷概念的產(chǎn)生、探究過程，沒有真正理解和揭示概念的本質(zhì)，這樣很難體會其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法和它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用，致使學(xué)生創(chuàng)造力低，缺乏可持續(xù)發(fā)展的后勁.

3.重講授，輕探索

由于數(shù)學(xué)概念的單調(diào)、枯燥，教師不敢放手讓學(xué)生自主探索，而是強行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，僅注重教師教的過程，忽視學(xué)生學(xué)的過程，也沒能通過大量實例分析揭露概念的本質(zhì)，這樣不能體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，嚴重影響了學(xué)生正確數(shù)學(xué)觀念的形成，阻礙了學(xué)生的能力發(fā)展.

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效策略

有效教學(xué)指教師遵循教學(xué)活動的客觀規(guī)律，以盡可能少的時間、精力和物力投入，取得盡可能多的教學(xué)效果，從而實現(xiàn)教學(xué)目標，滿足社會和個人的教育價值需求.它是一個動態(tài)發(fā)展的概念，其內(nèi)涵一直隨著教學(xué)價值觀、教學(xué)理論基礎(chǔ)以及教學(xué)方法變化而不斷擴展、變化.本文結(jié)合教學(xué)實踐介紹概念教學(xué)的幾種策略.

1.創(chuàng)設(shè)生活情境，感知數(shù)學(xué)概念

概念的引出是進行概念教學(xué)的第一步，這一步走得如何，將影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí).因此，在概念教學(xué)中，教師不應(yīng)只簡單地給出概念，而應(yīng)加強對概念的引出，加深對新概念的印象，創(chuàng)設(shè)情境是解決這一問題的最好方法.

案例1 在“算法語句”教學(xué)時的教學(xué)片片：

師：編一個程序，交換兩個變量A和B的值，并輸出交換后的值.

生1：輸入A，輸入B，然后A=B，B=A.

師：這樣做行嗎？大家再想想這樣真的交換了A與B的值嗎？

生2：不可以，這樣輸出的都是B或A的值.

師：這個問題就如同日常生活中的兩瓶紅、黑墨水，你想交換兩者，可不可以直接把黑的倒到紅的瓶里，再倒回來？

圖 1生2：不對，應(yīng)先把其中一瓶倒入一個空瓶，再交換.

師：也就是說要借助空瓶才可實現(xiàn)交換，所以這里應(yīng)

該引進一個變量T.首先把紅墨水倒入空瓶T中，再把黑

墨水倒入原先裝有紅墨水的瓶中，最后把空瓶T中的紅墨

水倒入原先裝有黑墨水的瓶中（如圖1所示，在黑板上畫

出圖1）.上述A與B的交換問題該如何抽象為數(shù)學(xué)符號

語言？

生眾：T=A，A=B，B=T.（學(xué)生齊聲說出了答案）

在教學(xué)片段中，教師從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的認知水平出發(fā)，借助生活中倒墨水的情境自然引導(dǎo)學(xué)生引入變量T，實現(xiàn)了從經(jīng)驗性概念轉(zhuǎn)變到理論性概念的過程.因此，教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)處于學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認知發(fā)展水平相適應(yīng)，這樣可以幫助學(xué)生有意義建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，也可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

2.加強例證分析，類比數(shù)學(xué)概念

概念的形成，需要從大量典型、豐富的具體例子出發(fā)，學(xué)生經(jīng)過自己的實踐活動，去偽存真，從中分析、類比、猜想、聯(lián)想、歸納、概括出一類相同事例的共同本質(zhì)特征，從而理解和掌握概念.

案例2 在“分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理”教學(xué)時的教學(xué)片段：

問題1：書架有三層，上面一層放6本不同的數(shù)學(xué)書，中間一層放5本不同的語文書，下面一層放3本不同的外語書.從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

問題2：書架有三層，上面一層放6本不同的數(shù)學(xué)書，中間一層放5本不同的語文書，下面一層放3本不同的外語書.從書架上取數(shù)學(xué)書、語文書和外語書各1本，有多少種不同的取法？

師：以問題1和問題2為例說明解決問題的方式有哪些不同？

生1：這兩個問題相同之處都是取書問題，但是取書的方式是不同的.

（他的回答引來同學(xué)們一陣笑聲，認為他沒說到點子上）

生2：在問題1中，只要在數(shù)學(xué)書、語文書和外語書這三類書中任取1本就可以了；而問題2卻不同，它需要每一類書中都要取出1本才行.

生3：問題1中的取書是分類做的，而問題2中的取書是分步做的.

生4：這兩個問題的最大區(qū)別就是，在問題1的三類方法中，每一類方法中的任何一種取法都可以將工作做完；而在問題2的三個步驟中，缺少任何一個步驟都不能將工作做完.

師：同學(xué)們說得很好！請同學(xué)們再談一談，這兩類問題中的方法種數(shù)是怎么計算出來的？

生5：問題1用的是“加法”，而問題2用的是“乘法”.

生6：如果完成工作是分類進行的，那么就把每一類中的方法種數(shù)加起來；如果完成的工作是分步進行的，就把每一步中的方法種數(shù)乘起來，作為完成這項工作的種數(shù).

師：通過對問題1和問題2的討論，我們發(fā)現(xiàn)：完成一件事可以有兩種方式，一種是分類去做，一種是分步去做.一般地，我們有（提出兩個計數(shù)原理）：

（1）分類計數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

（2）分步計數(shù)原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1×m2×…×mn種不同的方法.

在教學(xué)片段中，兩個計數(shù)原理不是由教師直接給出的，而是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生自己通過觀察、比較、概括、抽象等思維活動，逐步概括得到的.這一過程與前人形成這個概念所經(jīng)歷的過程有某種一致性.這樣進行概念教學(xué)不僅能使學(xué)生深刻理解概念，而且也能更好地培養(yǎng)思維能力.

3.創(chuàng)設(shè)自主探究，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

建構(gòu)主義的教學(xué)理論指出，概念教學(xué)重點并不在于概念本身，而在于建構(gòu)概念的整個過程，更在于學(xué)生本人的思維構(gòu)造.教師作為概念教學(xué)過程的引導(dǎo)者，要恰當?shù)卮罱ㄌ骄科脚_，使學(xué)生通過主體探究，在新知識與各種知識建立聯(lián)系的過程中獲得新知，同時獲得成功的心理體驗，從而自主建構(gòu)數(shù)學(xué)新概念.

案例3 在“二項式定理”教學(xué)時的教學(xué)片段：

師：牛頓究竟是如何發(fā)現(xiàn)二項式定理的？1664年冬，22歲的牛頓在研讀沃利斯博士的《無窮算術(shù)》時，引發(fā)了許多思考……

（1）（a+b）2=？ （a+b）3=？ （a+b）4=？

一般情形下，當n∈N*時，（a+b）n等于多少？不妨從（a+b）4入手，（a+b）4就是四個（a+b）相乘，（a+b）4=（a+b）（a+b）（a +b）（a+b） =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察（a+b）2，（a+b）3的展開式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

問題：請你觀察（a+b）2的展開式并思考：①展開式中各種類型的項是如何得到的？②展開式中各項的系數(shù)是如何確定的？

（3）引導(dǎo)學(xué)生探索（a+b）4的展開式的項和系數(shù)的規(guī)律.

問題：①展開式中會有哪幾種類型的項？②展開式中各項的系數(shù)是多少？

（啟發(fā)學(xué)生用多項式乘法法則和兩個計數(shù)原理和組合的知識分別解決這個問題）

（4）類比猜想，對二項式定理形成初步認識.

問題：你能將（a+b）3的展開式直接寫成類似的形式嗎？

（5）歸納猜想，進一步認識二項式定理.

問題：你能猜想（a+b）n的展開式嗎？

（6）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般項.（暫不稱通項）

提問：展開式中的哪一項具有一般性？

否則提問：展開式中的每一項a，b的指數(shù)各不相同，你能用一個式子表示它們嗎？

（7）證明二項式定理.

說清楚兩點即可：①展開式中會有哪幾種類型的項？②展開式中各項的系數(shù)是多少？

（8）提出“二項式定理”的概念.

在教學(xué)片段中，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探索的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)和啟發(fā)下的“再創(chuàng)造”過程，同時加深對數(shù)學(xué)概念的認識和理解，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維方式思考問題，進一步培養(yǎng)和提高學(xué)生的探究能力和創(chuàng)造能力.

4.運用先行組織者，同化數(shù)學(xué)概念

概念的同化是指學(xué)習(xí)者知識的習(xí)得和建構(gòu)，主要依賴認知結(jié)構(gòu)中原有的適當觀念，去影響和促進新的理解、掌握，溝通新、舊知識的互相聯(lián)系，形成新的認知結(jié)構(gòu)系統(tǒng).美國著名教育心理學(xué)家奧蘇貝爾倡導(dǎo)的有意義學(xué)習(xí)必須以學(xué)習(xí)者原有認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，為促成有意義學(xué)習(xí)，他提出了“先行組織者”教學(xué)策略.其核心思想是在學(xué)生學(xué)習(xí)新知識前呈現(xiàn)給他們一些引導(dǎo)性材料，這些引導(dǎo)性材料與所學(xué)新知識之間能夠建立實質(zhì)性聯(lián)系.其主要目的是在學(xué)生“已經(jīng)知曉”的與“需要知曉”的知識之間架設(shè)橋梁.

案例4 在“對數(shù)”教學(xué)時的教學(xué)片段：

由于對數(shù)是借助于指數(shù)式ab=N（a >0，且a≠1）來定義的，因此，在學(xué)習(xí)對數(shù)概念之前，應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)指數(shù)知識.可以說，指數(shù)知識是學(xué)習(xí)對數(shù)概念的第一個“引導(dǎo)性材料”.

為減少學(xué)生對logaN進行工作記憶的負荷，可以在學(xué)習(xí)對數(shù)概念之前，說明符號log是一個整體，不能分開去看，并介紹logaN的讀法.可以說，對符號log的提前說明是學(xué)習(xí)對數(shù)概念的第二個“引導(dǎo)性材料”.

提出問題1：已知2b =5，求b=？可以直接給學(xué)生講，這個b用以前學(xué)過的知識是無法求出來的.蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾為解決這類問題，花了十多年時間，發(fā)明了“對數(shù)”.納皮爾定義，b叫作由2和5確定的“對數(shù)”，簡稱b叫“對數(shù)”.這種類似于科普的講解，可作為學(xué)習(xí)對數(shù)概念的第三個“引導(dǎo)性材料”.

提出問題2：已知3t =7，按照納皮爾定義，在3， 7，t中哪個叫“對數(shù)”？這個問題，可作為學(xué)習(xí)對數(shù)概念的第四個“引導(dǎo)性材料”.問題2是問題1的一個變式，主要目的是讓學(xué)生認準對數(shù)在指數(shù)式中的位置，為進一步的抽象概括做鋪墊.

通過上述四個“引導(dǎo)性材料”，運用“先行組織者”教學(xué)策略，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)對數(shù)時就有了一些感性認識，并建立有意義的學(xué)習(xí)心向，學(xué)生對對數(shù)概念的理性認識就有望實現(xiàn)了.

5.設(shè)計應(yīng)用實例，內(nèi)化數(shù)學(xué)概念

李邦河院士曾說過，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”.數(shù)學(xué)概念形成之后，引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問題中的作用，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的鞏固與內(nèi)化，以及解題能力的形成和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).

案例5 在“向量坐標”教學(xué)時的教學(xué)片段：

師：已知ABCD的三個頂點的坐標A（3，5），B（4，6），C（2，1），試求第四個頂點D的坐標.

生1：易得AC中點的坐標52， 3，BD中點的坐標x+42，y+62，

因為平行四邊形的對角線互相平分，所以x+42=52，y+62=3.所以x=1，y=0.

生2：因為A（3，5），B（4，6），所以AB→=（1， 1）.設(shè)D（x，y），所以DC→=（2-x， 1-y）.因為AB→=DC→，所以2-x=11-y=1，所以x=1y=0.

典型實例既是對數(shù)學(xué)概念的解釋，也是良好的形象補充，學(xué)生對典型實例的深層挖掘來加深對所學(xué)概念的理解和內(nèi)化，從而鞏固數(shù)學(xué)概念和更新內(nèi)在知識結(jié)構(gòu).

6.運用幾何動畫，形成數(shù)學(xué)概念

美國心理學(xué)家布魯納認為：在學(xué)校教育教學(xué)中，所有教學(xué)計劃在很大程度上將依賴于為達到教學(xué)目標而采用的教學(xué)媒體.多媒體教學(xué)具有圖文聲并茂的優(yōu)勢，在新概念的教學(xué)中，可以運用幾何畫板來展現(xiàn)新概念形成的過程，使學(xué)生保持濃厚的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生能夠很好地理解和掌握新概念，從而確保課堂教學(xué)的高效.

案例6 在“拋物線概念”教學(xué)時的教學(xué)片段：

（1）活動：折紙.（圖2）在紙片2厘米處設(shè)置點如圖2方法將紙折20～30次形成一系列折痕，它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓.

（2）觀察、猜想：眾多折痕圍出一條拋物線.

（3）建立坐標系，畫圖，發(fā)現(xiàn)與y=14x2很接近.

（4）幾何畫板動態(tài)演示折紙過程及拋物線.

（5）活動（圖3）：畫3條平行于y軸的直線，折紙，發(fā)現(xiàn)1：其反射線經(jīng)過y軸上一定點.

（6）幾何畫板演示這一過程（證明可以學(xué)生課后完成）.

（7）概念形成：焦點（一組平行于y軸的直線經(jīng)拋物線反射后匯聚到焦點，由焦點出發(fā)的直線經(jīng)拋物線反射后成一組平行線）.

（8）發(fā)現(xiàn)2：拋物線上的點到焦點的距離等于到紙邊的距離，定義準線.

（9）形成概念：（學(xué)生概括，教師補充）平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線L的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線L叫作拋物線的準線.

從教學(xué)片段中可以看到，在不知不覺中，每名學(xué)生都參與了教學(xué)過程，通過學(xué)生的動手操作和教師的動畫演示，學(xué)生的積極性空前高漲，同時也很好地實現(xiàn)了教學(xué)目標.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為重要的一環(huán)為概念教學(xué)，概念是整個高中數(shù)學(xué)體系的樞紐，教學(xué)中一定要重視概念教學(xué)，核心概念的教學(xué)更要“不惜時、不惜力”.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于使學(xué)生掌握書本知識，更重要的是讓他們從中體驗數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點看待和認識世界的思想真諦，學(xué)會用概念思維，進而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力.所以，在教學(xué)中教師根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律與課標要求，采取適當?shù)慕虒W(xué)策略，優(yōu)化概念教學(xué)，使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗和創(chuàng)造，達到認識數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).