●倪新華 (湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

老 樹 開 花 枯 木 逢 春
——一道立體幾何高考題的課堂生成教學(xué)實(shí)錄

●倪新華 (湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

前段時(shí)間遇到一位剛剛步入教壇的年輕教師，發(fā)現(xiàn)他備課特別認(rèn)真，幾乎把整堂課要說的話全都寫在了教案里，當(dāng)然，對(duì)一位新教師來說，這也不失為一種好方法.然而，在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，卻永遠(yuǎn)無法預(yù)料課堂將要發(fā)生什么.但或許正是這樣的難以預(yù)料才是課堂活力的源泉，才是教師夢(mèng)寐以求的快樂.

作為培養(yǎng)學(xué)生空間思維的重要載體——立體幾何，一直是一些學(xué)生難以駕馭的內(nèi)容之一，因此也是教學(xué)的重點(diǎn).最近，筆者準(zhǔn)備借助一道浙江省高考題的教學(xué)，對(duì)立體幾何中線面角的計(jì)算進(jìn)行復(fù)習(xí)，然而……

師:同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了直線和平面所成角的定義，大家說說看，我們一般是怎么作這個(gè)角的?

生(齊聲):直線上取一點(diǎn)作平面的垂線，再把垂足和斜足連起來……

師:很好!那么當(dāng)這個(gè)角不太好作時(shí)，我們還有哪些方法可以彌補(bǔ)?

生1:體積法.

生2:空間向量法.

師:嗯，不錯(cuò)!看來，大家對(duì)這個(gè)內(nèi)容開始熟悉起來了，理論知識(shí)已經(jīng)掌握得差不多了，不知道實(shí)戰(zhàn)效果如何?今天我?guī)砹艘粋€(gè)問題，大家一起來研究研究吧!

圖1

幻燈片(2007年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第19題):在如圖1所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC= BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn).

1)求證:CM⊥EM;

2)求CM與平面CDE所成的角.

此時(shí)，學(xué)生躍躍欲試，開始解答.筆者巡視每個(gè)學(xué)生的解答情況，15分鐘以后……

師:好，我發(fā)現(xiàn)大家都做得差不多了，都有了自己認(rèn)為正確的答案.有些甚至已經(jīng)迫不及待地想要分享自己的方法了.

師:在解決第1)小題之前，我先問大家一個(gè)問題，這個(gè)幾何體確定了嗎?

這時(shí)，一些學(xué)生突然坐直了身體，或腦袋往后仰，或瞇起了眼睛，開始思考……

生1:沒定吧，棱長(zhǎng)都不知道.

生2:棱長(zhǎng)可以設(shè)啊!

生(引起共鳴):有道理!點(diǎn)線面的位置關(guān)系好像都已經(jīng)確定了嘛!

師:是啊!事實(shí)上，在這個(gè)幾何體中，所有的點(diǎn)線面的位置關(guān)系都已經(jīng)確定，因此只要我們假設(shè)AE=a(其中a＞0)的話，它就是一個(gè)完全固定的幾何體了.我們首先討論第1)小題，如何證明CM⊥EM?

生1:利用勾股定理.

師:不錯(cuò)!由于CM與EM相交，很自然地將它們放入一個(gè)三角形內(nèi)，通過計(jì)算3條邊的長(zhǎng)，利用勾股定理判斷即可.

生2:利用CM⊥平面ABDE.

師:很好!因?yàn)榭梢宰C明CM⊥AB，CM⊥EA，且AB與EA相交.

生3(插嘴):還可以利用空間向量.

師:嗯!當(dāng)然可以啦!那么接下來我們討論第2)個(gè)小題:CM與平面CDE所成的角.剛才我發(fā)現(xiàn)有位同學(xué)算得最快，簡(jiǎn)直神速，來，你來回答一下，你的答案是多少?

生4(略帶驕傲):45°.

此時(shí)，班里其他學(xué)生投去羨慕的目光!

師:嗯，好!剛才我發(fā)現(xiàn)，在你做好后10分鐘，一些同學(xué)還在拼命計(jì)算，那你說說看，你是怎么做到這么快的?

生4:因?yàn)槠矫鍱AC⊥平面ABC，所以點(diǎn)M在平面EAC上的射影落在AC上，因此CM與平面CDE所成的角就是∠MCA=45°.

生5:要求的不是CM與平面CDE所成的角嘛，你求的是CM與平面EAC所成的角了!

生4(有點(diǎn)緊張):難道它們不是同一個(gè)平面嗎?

師:這個(gè)問題問得好!接下來我們不妨來討論一下，這2個(gè)平面到底是不是同一個(gè)平面?

學(xué)生在下面開始七嘴八舌，有的說是，有的說不是，筆者一一請(qǐng)他們發(fā)言.

生:我是憑感覺的，看上去應(yīng)該是同一個(gè)平面嘛!

師:嗯!雖然感覺不一定準(zhǔn)，但有時(shí)也是需要的!不過感覺終歸是感覺，沒有說服力，你們說對(duì)嗎?

生:對(duì)，我感覺他們就不是同一平面的!

其他學(xué)生發(fā)出了贊同的笑聲.這時(shí)一位學(xué)生要求發(fā)言:老師，我不是憑感覺的，我是用其他方法算的，答案也是45°，我覺得應(yīng)該是同一個(gè)平面吧!

師:同一條直線與2個(gè)平面所成的角相等，它們一定是同一個(gè)平面嗎?

圖2

生:不一定吧!貌似可以對(duì)稱的!

師:講得很對(duì)!畫個(gè)圖大家就明白了(黑板上展示圖形，如圖2所示).

生:嗯!在中間那個(gè)對(duì)稱平面上的直線和2個(gè)平面所成的角應(yīng)該是相等的.

師:因此不能用這個(gè)方法來判斷啊!那么，還能用什么方法來判斷呢?

生:空間向量，只要求出它們的法向量，看是不是共線!

師:有道理!如果共線，加之這2個(gè)平面有2個(gè)公共點(diǎn)C，E，那么它們一定是同一個(gè)平面，反之，如果法向量不共線，那么它們就是不同的平面.

生:老師，我是以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)、以CA，CB分別為x軸和y軸、過點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸建立直角坐標(biāo)系 C-xyz，求出了平面CDE的一個(gè)法向量n=(1，2，－2)，而平面EAC的一個(gè)法向量是m=(0，1，0)，顯然它們不共線.

師:嗯!有道理啊!看來這2個(gè)平面應(yīng)該不是同一個(gè)平面，那么還有沒有其他的佐證，可以進(jìn)一步堅(jiān)定我們的信念?我們能不能構(gòu)造一個(gè)二面角來判斷?

生:對(duì)啊!老師，我知道!可以構(gòu)造二面角A-EC-D，通過求它的平面角，如果是180°或0°，那說明是同一個(gè)平面，否則就不是.

師:你的想法很對(duì)!那下面大家來求一下二面角A-EC-D的平面角吧!

學(xué)生們開始忙碌起來，有的作角，有的計(jì)算，有的沉思，教室里分外熱鬧.5分鐘以后……

師:我們發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這個(gè)二面角的平面角直接作很困難.

生(齊聲):是的!

師:當(dāng)直接作二面角的平面角有困難時(shí)，我們還有哪些辦法?

生(齊聲):體積法!向量法!

師:好!我們先用向量法來求，請(qǐng)你們來說說!

生1:設(shè)此二面角的平面角為θ，2個(gè)半平面的法向量分別為n=(1，2，－2)，m=(0，1，0)，可得

師:接下來，我們?cè)儆皿w積法試試，誰(shuí)來分享一下?

生2:過點(diǎn)D作DO⊥平面EAC于點(diǎn)O，再過點(diǎn)O作OF⊥EC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)DF，在Rt△DOF中，∠DFO=α即為二面角A-EC-D的平面角的補(bǔ)角.接下來想辦法求出DO和DF，我已經(jīng)通過△CDE的3條邊長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)它是非特殊三角形，因此先利用余弦定理求出∠DCE的余弦，再求出它的正弦，然后利用等面積法求得邊CE上的高，再利用DO即點(diǎn)D到平面EAC的距離.又DB∥EA，那么點(diǎn)D到平面EAC的距離就是點(diǎn)B到平面EAC的距離，即d=BC=2a，因此如圖3所示.

圖3

師:想到了用平行線轉(zhuǎn)移，很好!你的這個(gè)轉(zhuǎn)移使我產(chǎn)生了一個(gè)想法，既然DB∥EA，點(diǎn)D到平面EAC的距離d=BC= 2a≠0，這一點(diǎn)是不是足以說明點(diǎn)D不在平面EAC上呢?

生2:對(duì)啊，恍然大悟!

此時(shí)，有些學(xué)生捶胸頓足，大聲感嘆:原來如此啊!

師(總結(jié)):非常好!剛才我們通過各種辦法，證明了它們不是同一個(gè)平面!以后對(duì)類似的問題可不能憑感覺、想當(dāng)然啦!要看仔細(xì)了再來算哦!可惜剛才那位同學(xué)，正確的答案錯(cuò)誤的方法，簡(jiǎn)直不可思議!實(shí)屬巧合啊!

師:對(duì)了，有些走遠(yuǎn)了，我們要做的第2)小題是求CM與平面CDE所成的角，可不能用平面EAC來代替平面CDE了!言歸正傳，可以直接作線面角嗎?

生1:行，肯定是行的，但不好作，有困難.

師:那不直接作的話，可以間接作嗎?

生2:那就是體積法了，只需要求出點(diǎn)M到平面CDE的距離就可以了.

師:我們應(yīng)該利用哪2個(gè)三棱錐的體積?

生3:VM-CDE=VC-DEM即可.

師:嗯，不錯(cuò)!就是這2個(gè)三棱錐.這是間接作，也就是作而不算，那么不作可以嗎?

所以這個(gè)角是45°.

師:很好!現(xiàn)在我給大家一個(gè)挑戰(zhàn)——過點(diǎn)M直接作平面CDE的垂線.

(學(xué)生開始苦思冥想.)

師(提示):想想我們可以得到垂線的定理.

生5:面面垂直的性質(zhì)定理.

師:很好，利用這個(gè)定理的關(guān)鍵是要找到含點(diǎn)M的一個(gè)平面，而這個(gè)平面又與平面CDE垂直.

生6:找到了，過點(diǎn)C作CF⊥DE，聯(lián)結(jié)MF，再過點(diǎn)M作MH⊥CF，可以證明MH⊥平面CDE.

學(xué)生經(jīng)過思考，覺得不錯(cuò)，MH確實(shí)是平面CDE的垂線，大家對(duì)他的做法贊嘆不已.

師:確實(shí)如此，不過我們都很想知道你是怎么想到這樣去作的?

生6:我先是注意到了CM⊥平面ABDE，從而CM⊥DE，那么再過點(diǎn)C作一條垂直于DE的直線的話，DE就會(huì)垂直于包含M的一個(gè)平面了，于是就有了上面這種作法了.

師:非常棒!原來如此，其實(shí)這種作法也挺自然.接下來我們要算的角就是∠FCM，而在Rt△FCM中，只需要算FM即可，大家可以算算看.

師:好了，今天這節(jié)課我們?cè)谇蠼庖粋€(gè)線面角時(shí)，偶然遇到了判斷2個(gè)平面是否共面的問題，我們最終通過多種方法加以判斷，同時(shí)復(fù)習(xí)了線面角和二面角平面角的求解策略.我發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們肯動(dòng)腦、勤計(jì)算，表現(xiàn)不錯(cuò)!

課后反思 本節(jié)課中的這道題很容易從直覺上認(rèn)為平面EAC和平面CDE是同一個(gè)平面，而且巧合的是2者答案一致.然而這確實(shí)不是同一個(gè)平面，在以往的教學(xué)過程中，筆者要么直接說它們不是同一個(gè)平面，要么因?yàn)椴荒艽_定而直接避開，根本沒有對(duì)這2個(gè)平面的位置關(guān)系作深入細(xì)致的分析.事實(shí)上，這樣深入細(xì)致的分析，即復(fù)習(xí)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，又可以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)所學(xué)知識(shí)——二面角和空間向量的應(yīng)用技巧，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，真正實(shí)現(xiàn)“明體達(dá)用”的思想理念.

筆者原本在備課時(shí)還準(zhǔn)備了一道題，但是課堂上由于學(xué)生提出了“為什么這2個(gè)平面不是同一個(gè)平面”的問題，順藤摸瓜，順勢(shì)對(duì)這個(gè)問題作了進(jìn)一步研究，因此第2)小題就來不及分析了.事實(shí)上最后發(fā)現(xiàn)，這樣的過程不僅激活了課堂活力，而且提升了學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的學(xué)習(xí)力，反而因“禍”得福了.