盧路加 張君會 趙志穩(wěn)

歐拉積分性質(zhì)及應(yīng)用

盧路加 張君會 趙志穩(wěn)

現(xiàn)在我們很多時候解決問題的工具還是初等函數(shù)，這給我們的一些研究帶來了很多不便。含參量積分是解決問題的另一重要工具，同時含參變量積分也是引進非初等函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)的一個重要途徑，歐拉積分就是在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)的含參量積分表示的函數(shù)，它雖身為含參量積分的一種特例，但本身也是許多積分的抽象概括，能為相關(guān)積分的計算帶來方便。歐拉積分在理論和實踐上的地位僅次于初等函數(shù)，應(yīng)用十分廣泛。

含參量積分；歐拉積分；性質(zhì)；應(yīng)用

一、歐拉積分的基本知識

(一)Γ函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域：Γ函數(shù)在s＞0時收斂,即定義域為s＞0.

2.連續(xù)性：在任何閉區(qū)間[a,b](a＞0)上一致收斂，所以Γ(s)在s＞0上連續(xù)。

3.可微性：

4.遞推公式：Γ(s+1)若s為正整數(shù)n,則Γ(n+1)=n！

5.Γ(s)的其他形式：

6.余元公式：揭示了函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系

7.倍元公式：

(二)B函數(shù)的性質(zhì)

1.定義域：B(p,q)的定義域為p＞0,q＞0.

2.連續(xù)性：B(p,q)在p＞0,q＞0內(nèi)連續(xù).

3.對稱性：B(p,q)=B(q,p)

4.遞推公式：

(三)Γ函數(shù)與B函數(shù)之間的關(guān)系

二、歐拉積分的應(yīng)用

通過式子的變形將積分變成歐拉積分的形式，也可以利用換元法將未知積分化為歐拉積分，再利用歐拉積分的相關(guān)性質(zhì)，計算出該積分的值。

(一)應(yīng)用一直接將積分變成歐拉積分

(二)應(yīng)用二利用換元法將未知積分化為歐拉積分

應(yīng)用三歐拉積分性質(zhì)的應(yīng)用(1)

[1]華東師范大學數(shù)學系,《數(shù)學分析》[M],(上,下冊)北京：高等教育出版社,2007.

[2]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社,1993.

[3]費定輝,周學圣等,吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解(五)[M],濟南：山東科學技術(shù)出版社,1999.

[4]錢吉林.數(shù)學分析題解精粹[M].崇文書局,2003.

(作者單位：河南師范大學)

盧路加（1993—），男，漢，河南省周口市，本科學歷，河南師范大學。

張君會（1995—），男，漢，河南省濮陽市，本科學歷，河南師范大學。

趙志穩(wěn)（1993—），男，漢，河南省安陽市，本科學歷，河南師范大學。