李 展, 李 紅, 石志剛, 何 青

(1. 華北電力大學(xué) 能源動力與機(jī)械工程學(xué)院，北京102206; 2. 中國能源建設(shè)集團(tuán) 鞍山鐵塔有限公司，遼寧鞍山114042)

隨機(jī)擾動時碰摩轉(zhuǎn)子的非線性振動特性研究

李 展1, 李 紅1, 石志剛2, 何 青1

(1. 華北電力大學(xué) 能源動力與機(jī)械工程學(xué)院，北京102206; 2. 中國能源建設(shè)集團(tuán) 鞍山鐵塔有限公司，遼寧鞍山114042)

為了研究隨機(jī)擾動對碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的影響，建立了隨機(jī)擾動下的碰摩轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型，利用四階龍格—庫塔法對該模型進(jìn)行求解，得到了系統(tǒng)的非線性振動特性。結(jié)果表明隨機(jī)擾動對碰摩轉(zhuǎn)子的運(yùn)動特征有顯著的影響，這種影響與隨機(jī)擾動的強(qiáng)度有關(guān)。當(dāng)隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)不超過某一常數(shù)時,擾動只影響倍周期分岔點(diǎn)處或者周期運(yùn)動與擬周期或混沌運(yùn)動結(jié)合點(diǎn)處的周期運(yùn)動形式，而對原周期運(yùn)動的影響較小。當(dāng)隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)大于某一常數(shù)時，隨機(jī)擾動不僅使原周期運(yùn)動變?yōu)閿M周期或混沌運(yùn)動，而且也使原混沌運(yùn)動的系統(tǒng)行為特征變得更為復(fù)雜，振動幅值顯著增大。所以在實(shí)際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)行中應(yīng)盡量減少或避免隨機(jī)擾動的發(fā)生，以使系統(tǒng)運(yùn)行更加穩(wěn)定。

碰摩轉(zhuǎn)子；隨機(jī)擾動；周期運(yùn)動；擬周期運(yùn)動；混沌運(yùn)動

0 引言

任何物體每時每刻都會受到隨機(jī)擾動的影響，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)也不例外。尤其是運(yùn)行在復(fù)雜環(huán)境下的大型汽輪發(fā)電機(jī)組、遠(yuǎn)洋航行中受到波浪擾動的大型軍艦的動力機(jī)組等最為明顯。因此，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)擾動的動力學(xué)特性分析討論具有更為重要的意義。

目前國內(nèi)外都對轉(zhuǎn)子碰摩的非線性特征進(jìn)行了一些研究。Goldman[2]等在考慮分段剛度、粘性阻尼等因素的影響下，通過數(shù)值積分求解表明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有豐富的超諧響應(yīng)、次諧響應(yīng)和混沌響應(yīng)等運(yùn)動形式。候蘭蘭[3]以Jeffcott轉(zhuǎn)子為研究對象分析了碰摩系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速和阻尼變化的振動特征。劉小亮[4]分析了蒸汽壓力變化對汽輪機(jī)運(yùn)行的影響。楊志安[5]分析了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)子半徑、氣密磁隙等參數(shù)變化的特性?？靛\萍[6]分析了氣隙計算長度、定子漏抗對汽輪發(fā)電機(jī)組的影響。袁惠群[7]考慮機(jī)匣的彈性和陀螺力矩等因素的影響，建立了碰摩轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型，并用穩(wěn)定性理論得到研究了各參數(shù)對系統(tǒng)運(yùn)動的影響。羅躍剛[8]考慮轉(zhuǎn)子材料的物理非線性特征，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有倍周期、陣發(fā)性和倍周期倒分岔等豐富的運(yùn)動特性。

從目前的研究來看，針對故障轉(zhuǎn)子在隨機(jī)激勵下的研究較少。所以本文以局部碰摩轉(zhuǎn)子為研究對象，建立考慮油膜力的碰摩轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型，研究系統(tǒng)在不同隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)下隨轉(zhuǎn)速和圓盤阻尼等參數(shù)變化的非線性振動特征。

1 碰摩模型

本文以徑向局部碰摩為研究對象，建立碰摩模型[9]，如圖1(a)、(b)所示。假設(shè)轉(zhuǎn)子兩端由兩個完全相同的滑動軸承支承，兩端軸承的位移也完全相同，轉(zhuǎn)軸為無質(zhì)量彈性軸。O為靜止時轉(zhuǎn)子的質(zhì)心位置，OO1為轉(zhuǎn)子徑向位移，圓盤中心坐標(biāo)(x,y)，軸承中心坐標(biāo)為(x1,y1)，用軸承間隙δ0無量綱化有

(1)

圖1 碰摩轉(zhuǎn)子模型

假定定子徑向變形為線彈性變形，轉(zhuǎn)子與定子間的摩擦符合庫侖定律，即摩擦力Fτ與作用于接觸面上的正壓力Fn成正比

Fτ=fFn

(2)

式中：f為摩擦系數(shù)。

面積作為生活中常見的六種物理量之一，面積的教學(xué)為今后角度、體積、容積的學(xué)習(xí)奠定了度量基礎(chǔ)。在“面積”的再教學(xué)中，通過“把握面積概念，滲透度量意識”“感知面積單位，發(fā)展度量意識”“理解面積公式，感悟度量本質(zhì)”，學(xué)生初步把握了度量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，逐步增強(qiáng)度量觀念，有效地落實(shí)了本單元的教學(xué)。

(3)

式中：ks為定子徑向剛度，N/m。

根據(jù)式(3)，當(dāng)r>δ時，碰摩力Fn在x,y方向上的分力分別為

(4)

無量綱形式為

(5)

關(guān)于油膜力，本文采用具有較高精度和收斂性好的非線性Ca-pone模型[10]，其無量綱形式為

(6)

其中，

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

所以，非線性油膜力為

(12)

其中，s為Sommerfeld修正系數(shù)

(13)

式中：μ為潤滑油黏度，Pa·s；W為轉(zhuǎn)子和圓盤重量的一半，kg；L為軸承的長度，mm；R為軸承半徑，mm；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，rad/s。

2 運(yùn)動方程

由于實(shí)際運(yùn)行中的汽輪機(jī)葉片會受到氣流力的擾動，即假設(shè)隨機(jī)擾動信號加在圓盤的x方向上，則系統(tǒng)在隨機(jī)擾動下的無量綱運(yùn)動微分方程為

(14)

其中

(15)

3 系統(tǒng)參數(shù)與仿真方法

本文仿真的碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)如表1所示[12]。

表1 碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

方程(14)為隨機(jī)激勵非線性周期時變系統(tǒng)，其中的隨機(jī)擾動項即方程(15)使用Monte-Carlo隨機(jī)模擬的方法進(jìn)行模擬，最后對方程(14)使用四階龍格—庫塔法進(jìn)行求解。

本文選取轉(zhuǎn)速和圓盤阻尼為參數(shù)來模擬不同隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性特征響應(yīng)。此外，在本文的研究中，按式(15)構(gòu)造不同的隨機(jī)擾動樣本，最終得到的碰摩轉(zhuǎn)子的非線性特征響應(yīng)基本相同，所以也從側(cè)面可以印證用式(15)得到的白噪聲過程是滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。

4 仿真結(jié)果與分析

4.1 轉(zhuǎn)速對碰摩轉(zhuǎn)子非線性特性的影響

圖2(a)為圓盤隨轉(zhuǎn)速變化時的分岔圖，響應(yīng)特征如表2所示。從圖2(a)和表2可以看出，當(dāng)系統(tǒng)無擾動時圓盤在不同的轉(zhuǎn)速下表現(xiàn)出復(fù)雜的運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)轉(zhuǎn)速較低時碰摩力較小，油膜力在轉(zhuǎn)子運(yùn)動中起主導(dǎo)作用，系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的P-1周期運(yùn)動。隨著轉(zhuǎn)速的升高，在油膜力和碰摩力共同作用下，圓盤在560 rad/s時突然出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象進(jìn)入擬周期狀態(tài)，之后由于碰摩力的增大系統(tǒng)重新經(jīng)倒分岔現(xiàn)象進(jìn)入P-2周期運(yùn)動狀態(tài)，然后又經(jīng)倍分岔現(xiàn)象進(jìn)入P-4周期運(yùn)動，最后進(jìn)入混沌運(yùn)動。圖2(b)為加入較小隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)即當(dāng)σ=0.000 55的情況下的圓盤隨轉(zhuǎn)速的響應(yīng)。從圖2(b)中可以看出，小的擾動只是讓分岔曲線變得更粗了一點(diǎn)，而周期解與擬周期解的交匯點(diǎn)，倍分岔點(diǎn)以及周期解與混沌解的交點(diǎn)的位置基本無變化，此時的轉(zhuǎn)子運(yùn)動規(guī)律與無擾動時的響應(yīng)與表2所示基本相同。當(dāng)加入的隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)增大到σ=0.002時，如圖2(c)所示，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為390rad/s時就由P-1周期運(yùn)動進(jìn)入擬周期運(yùn)動且一直持續(xù)到混沌運(yùn)動狀態(tài)，而轉(zhuǎn)子在無擾動或小擾動時由P-2周期到P-4周期再到混沌運(yùn)動的級聯(lián)現(xiàn)象也模糊不清了。

圖2 系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速的分岔圖

圖3～5為系統(tǒng)在典型轉(zhuǎn)速ω=1 150rad/s下的響應(yīng)。從圖3(a)、(b)、(c)中可以看出，系統(tǒng)首先由無擾動下的周期軸心軌跡變?yōu)槲⑿_動下的一簇環(huán)形軌跡，最后變成了較大擾動下的混亂軌跡。從圖4(a)相圖中的封閉曲線和圖5(a)中有4個點(diǎn)可以看出，此時系統(tǒng)做P-4周期運(yùn)動。從圖4(b)可以看出，如果加入的隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)較小，此時的相圖也變成了一簇環(huán)形軌跡，再參照圖5(b)中龐加萊截面圖中形成了閉合的圈形，說明此時系統(tǒng)開始做擬周期運(yùn)動，但系統(tǒng)整體上還是穩(wěn)定的。從圖4(c)中可以看出，再增大隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)后，此時的相圖變得混亂，圖5(c)中龐加萊截面包含有分散堆積的散點(diǎn)，形成了兩個混沌島，所以，可以判定此時系統(tǒng)做混沌運(yùn)動。

表2 系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速的變化(σ=0)

圖3 軌跡圖

圖4 相圖

圖5 龐加萊截面圖

4.2 阻尼對碰摩轉(zhuǎn)子非線性特性的影響

圖6(a)為無擾動時系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速為700 rad/s且其他基本參數(shù)不變的情況下轉(zhuǎn)子振動隨圓盤阻尼變化的分岔圖，響應(yīng)特征如表3所示。從圖6(a)和表3中可以看出，系統(tǒng)隨著圓盤阻尼從小到大要經(jīng)歷周期、擬周期、混沌等復(fù)雜狀態(tài)。當(dāng)圓盤阻尼較小時，油膜力占主導(dǎo)作用，所以做周期運(yùn)動。隨著圓盤阻尼的增加，當(dāng)圓盤阻尼為1 000 Ns/m時系統(tǒng)出現(xiàn)陣發(fā)性跳躍進(jìn)入擬周期運(yùn)動，然后經(jīng)過倒分岔進(jìn)入周期運(yùn)動，隨后又由陣發(fā)性跳躍到混沌運(yùn)動。當(dāng)圓盤阻尼大于1 800 Ns/m時，系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期運(yùn)動。由此可見，圓盤阻尼越大，系統(tǒng)的運(yùn)動越穩(wěn)定，但是同時增加系統(tǒng)的能量消耗。當(dāng)向系統(tǒng)中加入微小的擾動后，如圖6(b)所示，此時系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律基本與無擾動的情況相同，只是周期曲線變得更粗了一點(diǎn)。但是，當(dāng)向系統(tǒng)中加入較大擾動時，如圖6(c)所示，系統(tǒng)的周期曲線不但變得更粗，而且使得原系統(tǒng)的倒分岔現(xiàn)象變得模糊不清，即周期運(yùn)動變成了擬周期或混沌運(yùn)動。

圖6 系統(tǒng)隨輪盤阻尼的分岔圖

圓盤阻尼/(N·s·m-1)響應(yīng)特征0～300周期4300～1000周期21000～1240擬周期1240～1400周期51400～1800混沌1800～3500周期1

從圖7到圖9為系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速為700 rad/s，輪盤阻尼為1 350 Ns/m時的典型響應(yīng)。從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出，小的隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)可以使原系統(tǒng)的有規(guī)律的閉曲線周期解變?yōu)橐唤M非閉曲線的擾動下的周期解，加大隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)后軸心軌跡線變的非常混亂，即此時系統(tǒng)做混沌運(yùn)動。從圖8(a)相圖中包含5個閉曲線，圖9(a)中有5個點(diǎn)，可以判斷系統(tǒng)此時做周期P-5運(yùn)動。從圖9(b)龐加萊截面圖中形成了一條閉曲線，可以判定現(xiàn)在系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動，這反映在軌跡圖中就是軌線變成了一簇閉合的曲線環(huán)。當(dāng)σ=0.002時，從軸心軌跡圖和相圖中可以看出此時的軌跡在區(qū)域中來回折疊形成了一組混亂的圖形，反映到龐加萊圖中如圖9(c)包含有大量的散點(diǎn)，形成了云狀的圖形，即此時系統(tǒng)做混沌運(yùn)動。

圖7 軌跡圖

圖8 相圖

圖9 龐加萊截面圖

5 結(jié)論

本文建立了碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，分析了隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)對系統(tǒng)的影響，得到以下結(jié)論：

(1)在本文中當(dāng)隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)小于0.000 55時，隨機(jī)擾動主要影響系統(tǒng)的倍周期分叉點(diǎn)以及周期運(yùn)動和擬周期或混沌運(yùn)動的結(jié)合點(diǎn)處的運(yùn)動，一般使系統(tǒng)的周期運(yùn)動數(shù)增加，而不能使系統(tǒng)進(jìn)入擬周期或混沌運(yùn)動的狀態(tài)。此時隨機(jī)擾動對系統(tǒng)周期運(yùn)動影響很小，可以忽略。

(2) 在本文中當(dāng)隨機(jī)擾動強(qiáng)度系數(shù)大于或等于0.000 55時，隨機(jī)擾動對整個系統(tǒng)的運(yùn)動造成較大的影響,可以使周期運(yùn)動變成擬周期或混沌運(yùn)動，且使原有的擬周期或混沌運(yùn)動的位移顯著增大。

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NonlinearCharacteristicsResponseofRub-impactRotorbyRandomDisturbance

Li Zhan1, Li Hong1,Shi Zhigang2,He Qing1

(1.School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China;2. Anshan Iron Tower Factory, China Energy Engineering Corporation Ltd., Anshan 114042, China)

This paper establishes the system dynamics model with white noise as random disturbance in order to study the nonlinear vibration characteristics of rub-impact rotor system. And the Fourth-Order Runge-Kutta integral method is employed to obtain the numerical solution. It shows that random disturbance signal has a significant impact on the movement characteristics of the rub-impact rotor, and this effect has a close relationship with the strength of disturbance signal. Generally speaking, random disturbance affects the period-doubling bifurcation point or the combining site of system movement between periodic motion and quasi periodic or chaotic motions only when the strength of disturbance signal is smaller than a constant. But when the strength is bigger than a constant, it not only makes the original periodic motion turn into a quasi periodic or chaotic motion, it also renders the original chaotic motions of the system more complex. So it needs to reduce or avoid the random disturbance in order to make the system steadier.

rub-impact rotor; random disturbance; periodic motion; quasi-periodic; chaos

2015-06-29。

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助(2014MS17)。

李展(1990-),男,碩士研究生,研究方向?yàn)槠啺l(fā)電機(jī)組振動故障的非線性問題. E-mail：huadianlizhan@163.com。

TK 261

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2015.09.010