基于改進(jìn)型LuGre模型的自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方法

譚文斌，李醒飛，裘祖榮，向紅標(biāo)，張晨陽

基于改進(jìn)型LuGre模型的自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方法

譚文斌1,2，李醒飛1，裘祖榮1，向紅標(biāo)3，張晨陽2

(1. 天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；
2. 天津商業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300131；3.天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300384)

為建立具有良好動態(tài)性能的開放式伺服系統(tǒng)，針對自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償對未知建模誤差和擾動抑制能力較弱的問題，提出了一種基于修正黏性摩擦LuGre模型的自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方法．建立開放式伺服系統(tǒng)的動力學(xué)方程，并結(jié)合修正黏性摩擦LuGre模型，提出伺服系統(tǒng)的狀態(tài)方程．根據(jù)反演設(shè)計(jì)的思想，設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑模摩擦控制器以及相應(yīng)的自適應(yīng)律和切換函數(shù)，并分析了其全局漸進(jìn)穩(wěn)定性．通過可編程多軸控制器(PMAC)實(shí)現(xiàn)了該補(bǔ)償控制方案在開放式伺服平臺的應(yīng)用，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：與自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償相比，該自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方案在輸入信號為正弦信號時，伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差由±6.9,μm降低到±4.1,μm．采用該補(bǔ)償方案可有效地抑制摩擦及其他不確定干擾對伺服系統(tǒng)的不利影響，進(jìn)一步提高伺服系統(tǒng)的跟蹤性能．

LuGre模型；自適應(yīng)滑?？刂疲荒Σ裂a(bǔ)償

摩擦補(bǔ)償是構(gòu)建高精度伺服系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)，已成為目前伺服控制策略的研究熱點(diǎn)之一[1]．摩擦補(bǔ)償策略一般可以分為兩類：基于摩擦模型的補(bǔ)償策略以及不依賴于摩擦模型的補(bǔ)償策略．其中，基于摩擦模型的補(bǔ)償策略是一種從本質(zhì)上補(bǔ)償伺服系統(tǒng)摩擦的方法，但是只有其采用的摩擦模型及模型參數(shù)都十分精準(zhǔn)的情況下，才能實(shí)現(xiàn)精確的摩擦補(bǔ)償．而隨著伺服系統(tǒng)工作時間的增加，傳動機(jī)構(gòu)將不可避免地產(chǎn)生磨損，同時潤滑情況也會出現(xiàn)一些改變，從而導(dǎo)致補(bǔ)償所依賴的摩擦模型的參數(shù)不可避免地產(chǎn)生變化，此時必須重新進(jìn)行復(fù)雜的參數(shù)辨識，才能保證補(bǔ)償?shù)木萚2-3]．

自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償基于摩擦模型，并進(jìn)行模型參數(shù)的在線估計(jì)，能夠在摩擦參數(shù)發(fā)生一定變化的情況下實(shí)現(xiàn)較好的補(bǔ)償效果．Gilbart等[4]最先提出將自適應(yīng)控制應(yīng)用于摩擦補(bǔ)償，采用了模型參考的自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)．王發(fā)智等[5]針對光電平臺提出一種基于Stribeck靜態(tài)摩擦模型的自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方法．Minh等[6]采用雙觀測器估計(jì)LuGre模型中的不可測狀態(tài)，并設(shè)計(jì)了基于李雅普諾夫穩(wěn)定性原理的自適應(yīng)補(bǔ)償控制器．向紅標(biāo)等[3]則基于LuGre模型，對開放式伺服平臺進(jìn)行了自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償．但是自適應(yīng)控制不能很好地解決伺服系統(tǒng)中存在的不確定非線性項(xiàng)，魯棒性較差，而且需要摩擦模型具有較高的精確性．而在實(shí)際伺服系統(tǒng)中，建模誤差和外部擾動不可避免地存在，從而限制了自適應(yīng)控制的效果，降低了伺服系統(tǒng)的低速跟蹤性能，甚至可能造成系統(tǒng)不穩(wěn)定[7]．

滑?？刂剖且环N非線性的控制方法，利用其滑動模態(tài)，通過切換狀況的改變來克服不確定性，不僅可以滿足系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化的需要，同時對各種不確定性擾動也具有很好的適應(yīng)性．Sankaranarayanan等[8]對各種摩擦模型進(jìn)行分析，得到了各模型的共性，并以此進(jìn)行伺服系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制．Young[9]根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)的模態(tài)切換特性和摩擦在零速時的不連續(xù)現(xiàn)象，也采用滑模變結(jié)構(gòu)對伺服系統(tǒng)進(jìn)行摩擦補(bǔ)償．但是，滑?？刂埔泊嬖谝欢ǖ娜毕?，如系統(tǒng)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象．

自適應(yīng)滑模控制是自適應(yīng)控制和滑?？刂频挠袡C(jī)結(jié)合，既可解決系統(tǒng)參數(shù)不確定及參數(shù)時變問題[10]，又能抑制滑模控制的抖振現(xiàn)象，因此可以更精確地實(shí)現(xiàn)摩擦補(bǔ)償．

本文針對高精度開放式伺服平臺中摩擦模型的參數(shù)變化以及伺服系統(tǒng)中不確定的非線性建模誤差與擾動，提出了一種基于改進(jìn)型LuGre模型的自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方法．利用反演設(shè)計(jì)方法，通過遞推Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑?？刂破?，并分析了其穩(wěn)定性和漸進(jìn)收斂性．

1 系統(tǒng)構(gòu)成

如圖1所示，高精度開放式伺服平臺由工業(yè)控制計(jì)算機(jī)、可編程多軸控制器(programmable multi-axis controller，PMAC)、伺服驅(qū)動器、伺服電機(jī)、滾珠絲杠螺母副、直線導(dǎo)軌和移動平臺組成．

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 System structure diagram

2 系統(tǒng)動力學(xué)方程

圖2所示為伺服系統(tǒng)的簡化模型，其中，r、x分別為期望位移和實(shí)際位移，u為運(yùn)動控制卡PMAC的輸出，θ為電機(jī)轉(zhuǎn)角，θ˙為電機(jī)角速度，fT為伺服系統(tǒng)的等效摩擦，JL為轉(zhuǎn)動慣量，Km為PMAC數(shù)字輸出到驅(qū)動器轉(zhuǎn)矩輸出的轉(zhuǎn)換系數(shù)，Kcts為轉(zhuǎn)角與移動平臺直線位移的轉(zhuǎn)換系數(shù)，s為傳遞函數(shù)中的一個變量．

圖2 伺服系統(tǒng)簡化模型Fig.2 Simplified model of servo system

根據(jù)圖2可得到伺服系統(tǒng)動力學(xué)方程為

式中x˙˙為位移加速度．fT可由修正黏性摩擦的LuGre模型[11]描述為

式中：σ0為剛性系數(shù)；σ1為阻尼系數(shù)；Tc為庫倫摩擦力矩；Ts為靜摩擦力矩；1Bθ為黏性摩擦斜率因子；Bθ2為黏性摩擦變化因子；θ˙s為切換速度；z為接觸面的鬃毛平均變形；g(θ˙)嚴(yán)格正實(shí)且有界．

3 自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計(jì)

考慮摩擦參數(shù)的變化，將原摩擦模型進(jìn)行修改：與z有關(guān)的部分通過α反映其變化；黏性摩擦部分通過β反映其變化；此外增加項(xiàng)Δ反映條件變化時的建模誤差以及其他不確定擾動．修改后Tf描述為

式中：α＞0；β＞0．當(dāng)外部沒有發(fā)生改變，且建模完全準(zhǔn)確時，α=β=1且Δ=0，與原模型一致．

合并式(1)、(5)，得到狀態(tài)方程為

根據(jù)狀態(tài)方程，即可采用反演設(shè)計(jì)方法進(jìn)行自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)．

首先，良好的位置跟蹤性能是伺服系統(tǒng)的控制目標(biāo)，因此，將位置跟蹤誤差1e定義為第1個誤差變量，即

設(shè)定穩(wěn)定項(xiàng)為

式中c1為正實(shí)數(shù)．

設(shè)定Lyapunov函數(shù)1V為

并設(shè)定第2個誤差變量2e

則有

然后設(shè)定Lyapunov函數(shù)2V為

式中σ為滑?？刂频那袚Q函數(shù)．σ的定義為

式中k1為正實(shí)數(shù)．由此可得

由于α、β和Δ為伺服系統(tǒng)中的不確定參數(shù)，直接根據(jù)式(16)設(shè)置滑模控制律，容易使系統(tǒng)出現(xiàn)抖振，因此，本文采用自適應(yīng)方法對α、β和Δ進(jìn)行估計(jì)．?α、?β、?Δ分別為相應(yīng)的估計(jì)值，則α、β和Δ的估計(jì)誤差為

由于摩擦模型中的狀態(tài)z是不可測的，因此需要利用非線性觀測器進(jìn)行估計(jì)，本文所采用的非線性觀測器[3]為

式中：?z為估計(jì)值；k2為正實(shí)數(shù)．設(shè)z~為其觀測誤差，則有

再設(shè)定Lyapunov函數(shù)3V為

由于

將式(17)、式(20)、式(22)和式(23)結(jié)合，可得

從而可根據(jù)式(17)進(jìn)行自適應(yīng)滑?？刂破骱妥赃m應(yīng)律的設(shè)計(jì)，即

式中h和b為正實(shí)數(shù)．

由此，建立了自適應(yīng)滑?？刂破鳎⒋_定了其切換函數(shù)、自適應(yīng)律，以下分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

將式(25)和式(26)代入式(24)，可得

取

則有

因此

由于

因此可通過設(shè)置h、c1及k1，使||Q＞0，保證Q為正定矩陣，從而有

由此可知，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂坡稍诜蠗l件h( c1+k1)＞1/4時，系統(tǒng)具有全局漸近穩(wěn)定性．

4 補(bǔ)償方案及實(shí)驗(yàn)

4.1 自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方案

圖3為自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方案的控制框圖，其中自適應(yīng)滑?？刂破鞯奶幚碓赑MAC中進(jìn)行，控制器的輸出u根據(jù)式(15)、式(25)和式(26)來確定．參數(shù)調(diào)試過程與PID調(diào)試類似，本文不再贅述．4.2 補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

圖3 自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方案示意Fig.3Flow chart of adaptive sliding friction compensation scheme

為驗(yàn)證補(bǔ)償方案的有效性，本文將以下兩種補(bǔ)償方案進(jìn)行對比，一種是本文提出的自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方案，一種是文獻(xiàn)[3]提出的自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方案．在伺服平臺連續(xù)運(yùn)行1,h后，比較在正弦信號輸入作用下的跟蹤性能．

當(dāng)輸入正弦信號為r( t)=5sin(0.3πt)mm時，兩種不同補(bǔ)償方案下系統(tǒng)的跟蹤誤差如圖4所示．

圖4 正弦信號時的跟蹤誤差曲線Fig.4Curves of tracking error for a sinusoidal signal

由圖4可知，采用自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償時，系統(tǒng)的跟蹤誤差變動范圍為±6.9,μm；而采用自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償時，系統(tǒng)的跟蹤誤差變動范圍為±4.1,μm．

由此可知，由于自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償對系統(tǒng)中的不確定非線性建模誤差和其他擾動也具有較強(qiáng)的抑制能力，因此相較于自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方案，能夠更有效地提高伺服系統(tǒng)的控制精度．

5 結(jié) 論

(1) 本文根據(jù)反演設(shè)計(jì)思想，基于修正黏性摩擦的LuGre模型，提出了一種自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)方法．

(2) 利用PMAC的自定義伺服算法功能，在高精度開放式伺服平臺完成了自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償．

(3) 采用自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方案，系統(tǒng)的跟蹤誤差變動范圍為±4.1,μm，明顯優(yōu)于采用自適應(yīng)摩擦補(bǔ)償方案時的±6.9,μm．

(4) 本文提出的自適應(yīng)滑模摩擦補(bǔ)償方案，解決了自適應(yīng)補(bǔ)償對未知建模誤差和擾動的控制能力較弱的問題，又抑制了采用滑模控制出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象，能夠很好地實(shí)現(xiàn)伺服系統(tǒng)的位置逼近，控制精度較高．

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(責(zé)任編輯：趙艷靜)

Adaptive Sliding Friction Compensation Method Based on Modified LuGre Model

Tan Wenbin1,2，Li Xingfei1，Qiu Zurong1，Xiang Hongbiao3，Zhang Chenyang2
(1. State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments，
Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Mechanical Engineering，Tianjin University of Commerce，Tianjin 300131，China；3. School of Mechanical Engineering，Tianjin University of Technology，Tianjin 300384，China)

In order to establish an open-servo system with good dynamic performance，this paper proposes a adaptive sliding mode compensation method based on modified viscous friction LuGre model. It is applied to solve the problem of adaptive friction compensation in unknown modeling errors and disturbance rejection. Firstly，a dynamic equation of an open-servo system is given and a servo system equation of state based on modified LuGre friction model is established. Secondly，according to the inversion design，an adaptive sliding friction controller，the corresponding adaptive laws and switching functions are given. Besides，its global asymptotic stability is analyzed by this method. In the last，a programmable multi-axis controller is utilized to realize the compensation applied to the open-servo platform and demonstrate the validity of the method. Results show that the tracking error of servo system is reduced from ±6.9,μm to ±4.1,μm compared with the conventional adaptive friction compensation，when the input signal is a sinusoidal signal. The proposed method effectively suppresses the adverse effects of friction and other uncertainties on the servo system and improves the tracking performance of the servo system.

LuGre model；adaptive sliding mode control；friction compensation

TP273；TH112

A

0493-2137(2015)05-0463-05

10.11784/tdxbz201311023

2013-11-08；

2014-04-30.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50975206)；精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(PIL1302).

譚文斌（1984— ），男，博士，講師，twb@tju.edu.cn.

李醒飛，lixf@tju.edu.cn.

時間：2014-05-08. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/doi/10.11784/tdxbz201311023.html.