一種空間相關(guān)多點地震動合成的實用模擬方法

趙 博，石永久，江 洋，王元清，陳志華

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 清華大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與振動教育部重點實驗室，北京 100084；3. 清華大學(xué)土木工程系，北京 100084)

一種空間相關(guān)多點地震動合成的實用模擬方法

趙 博1，石永久2,3，江 洋2,3，王元清2,3，陳志華1

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 清華大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與振動教育部重點實驗室，北京 100084；3. 清華大學(xué)土木工程系，北京 100084)

在嚴格的理論公式推導(dǎo)基礎(chǔ)上，對多點地震動合成模擬方法加以簡化改進．簡化方法將行波效應(yīng)與不相干效應(yīng)分開考慮，完全避免了復(fù)數(shù)運算，可有效降低計算量．提出應(yīng)根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范(GB50011—2010)》確定多點地震動所需參數(shù)，迭代調(diào)整多點地震動以滿足規(guī)范反應(yīng)譜的要求，提高所得時程的實用性．通過算例對多種現(xiàn)有多點地震動合成方法的準(zhǔn)確性加以驗證和分析，指出某些方法在沒有嚴格理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上人為改變合成公式，導(dǎo)致其所得多點地震動不滿足相干性要求，應(yīng)謹慎使用．

地震動模擬；空間相關(guān)；相干函數(shù)；行波效應(yīng)

地震動的傳播是一個復(fù)雜的過程，在時間和空間上均存在變化性．由于大跨度結(jié)構(gòu)的平面尺寸較大，地震動的空間變化性可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不同支承處的地震動不一致，進而改變結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)特征，由此引出了大跨度結(jié)構(gòu)的多點輸入地震響應(yīng)問題．目前常用于多點輸入分析的方法有時程分析法、隨機振動法和反應(yīng)譜法等[1-4]，其中時程分析法是最為成熟、適用范圍最廣的方法，在研究和設(shè)計領(lǐng)域均得到了廣泛的應(yīng)用[5-6]．雖然時程分析法是精確的計算方法，但其計算結(jié)果的準(zhǔn)確性取決于所輸入的多點地震動時程是否準(zhǔn)確，因此選擇合適的多點地震動時程成為多點輸入時程分析法的關(guān)鍵問題．一般情況下，無法獲得滿足結(jié)構(gòu)尺寸和場地類型的地震動臺陣記錄，因此多點地震動時程往往由人工方法得到．合成多點地震動時程需考慮以下4種地震動空間效應(yīng)[7]：行波效應(yīng)、不相干效應(yīng)、局部場地效應(yīng)和衰減效應(yīng)．如僅考慮行波效應(yīng)，只需在常用單點地震波前增加零數(shù)據(jù)點以考慮不同支座處的延時即可；而后3種空間效應(yīng)涉及地震動頻譜成分的調(diào)整，因此常常從多點地震動功率譜模型出發(fā)，人工合成滿足多點地震動模型的時程序列．其中最常用的是文獻[8]提出的三角級數(shù)形式的多點地震動合成方法，該方法從隨機過程理論出發(fā)，通過嚴格的公式推導(dǎo)得到，但需要復(fù)矩陣運算，計算量較大．文獻[9-10]在文獻[8]的基礎(chǔ)上分別對各點地震動的相關(guān)性和局部場地收斂性加以調(diào)整，但缺乏推導(dǎo)和驗證的過程，調(diào)整后方法的準(zhǔn)確性未得到驗證．

本文在理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，對現(xiàn)有空間相關(guān)多點地震動合成方法加以簡化，并對現(xiàn)有多種方法的準(zhǔn)確性加以驗證；參考《建筑抗震設(shè)計規(guī)范(GB50011—2010)》[11](以下簡稱《規(guī)范》)，確定多點地震動參數(shù)的選擇方法，并建立以規(guī)范反應(yīng)譜為目標(biāo)的多點地震動調(diào)整方法．

1 多點地震動合成基本方法與簡化

1.1 多點地震動合成基本方法

在建筑結(jié)構(gòu)的尺寸范圍內(nèi)，地震動的4種空間效應(yīng)中局部場地效應(yīng)和衰減效應(yīng)的影響很小，因此以下只考慮行波效應(yīng)和不相干效應(yīng)的影響．

Hao等[8]從隨機過程的理論出發(fā)，推導(dǎo)出了滿足空間相關(guān)性的地震動公式及合成方法．假定所有M個點的地震動自功率譜密度函數(shù)均為S0(ω)，i和j點相干函數(shù)為γij(iω)，則多點地震動功率譜矩陣為

對式(1)進行Cholesky分解，得到

其中

令

則第i點的平穩(wěn)地震動公式為

式中：ωn為圓頻率；為在(0，2π)上均勻分布的隨機相位角，當(dāng)m≠r或n≠s時，φmn與φrs相互獨立.

該方法的實質(zhì)為先合成第1點的地震動，合成以后各點時均考慮該點與之前各點的相關(guān)性，直至第M個點．

屈鐵軍等[9]建議在合成每個點的時程的時候均考慮該點與其余各點的相關(guān)性，因此將式(6)修正為

在式(7)的基礎(chǔ)上，董汝博等[10]提出為了保證局部場地地震波的收斂性，應(yīng)將各點的隨機相位角統(tǒng)一，即將mnnn代替，得到

將式(6)～式(8)對應(yīng)的合成方法分別命名為方法1、方法2和方法3．其中只有方法1是通過嚴格的公式推導(dǎo)得到的，而后兩者是在方法1的基礎(chǔ)上加以修改，并未加以理論論證和有效的算例分析，且沒有對所合成的多點地震動的準(zhǔn)確性加以判斷．后文第3節(jié)的算例將反算合成地震動的相干函數(shù)，對3種方法加以驗證．

1.2 多點地震動合成簡化方法

本節(jié)以前述方法1為基礎(chǔ)，詳述本文提出的簡化方法的原理與基本過程．

現(xiàn)有多點地震動相干函數(shù)一般表示為

式中id為第i點距離原點(任意定義的固定點，可選第1個地震動點)在波傳播方向上的投影距離．則多點地震動功率譜矩陣可表示為

其中

矩陣R一般為非負定實對稱矩陣，可分解為下三角實矩陣Q與其轉(zhuǎn)置的乘積，即

將式(11)改寫為

對比式(2)與式(15)，得出

因此式(4)和式(5)分別等價為

將式(18)代入式(6)，得到

(2) 對矩陣R進行實矩陣的Cholesky分解(見式(14))，得到下三角實矩陣Q．

(3) 由式(17)計算幅值A(chǔ)im(ω)．

(4) 合成僅考慮不相干效應(yīng)的多點地震動平穩(wěn)時程(5) 對式(21)非平穩(wěn)化處理，如采用與強度包線函數(shù)()f t相乘得

(6) 根據(jù)式(20)的延時，在式(22)的時程數(shù)列前添加K(K＝Ti/Δt，Δt為地震動時程離散數(shù)據(jù)點的間隔時間)個零點，以考慮行波效應(yīng)．

相對于原方法，上述簡化方法具有以下兩個特點：

(1) 計算過程中未涉及復(fù)數(shù)運算，避免了復(fù)矩陣的Cholesky分解；

(2) 將行波效應(yīng)的相位角從式(6)的三角函數(shù)累加過程中分離出來，只需在最后一步各時程數(shù)列前添加反應(yīng)延時的零點即可．

由此可見，簡化方法將不相干效應(yīng)與行波效應(yīng)單獨考慮，完全避免了復(fù)數(shù)運算，有效減少了計算量，而由于合成過程中未做近似處理，其精度與原方法相同．對于方法2和方法3，由于公式的形式與方法1相同，因此該簡化方法也是適用的，只需對式(21)做相應(yīng)的調(diào)整即可，限于篇幅，略去推導(dǎo)過程．

2 基于《規(guī)范》的多點地震動合成

《規(guī)范》要求人工合成單點地震動的地震影響系數(shù)曲線與規(guī)范反應(yīng)譜的地震影響系數(shù)曲線在統(tǒng)計意義上相符，其頻譜特征應(yīng)滿足場地類型和設(shè)計地震分組的要求．對于人工合成的多點地震動也有必要提出相應(yīng)的控制條件．

2.1 基于《規(guī)范》的參數(shù)設(shè)置

多點地震動合成過程中反映場地條件和設(shè)計地震分組的地震動參數(shù)主要有3個：視波速vapp、遲滯相干函數(shù)和自功率譜密度函數(shù)S0(ω)．

1) 視波速

《規(guī)范》采用土層等效剪切波速作為判別場地類型的主要依據(jù)(見《規(guī)范》表4.1.3和表4.1.6)，因此對于已知場地土層類型而沒有實測波速的情況，可近似使用規(guī)范的剪切波速代替appv．

2) 遲滯相干函數(shù)

雖然眾多學(xué)者們提出了的多種多樣的遲滯相干函數(shù)模型[12-13]，但對此研究尚未成熟，更無法從規(guī)范的角度明確地規(guī)定與場地類型對應(yīng)的值，建議采用多種模型試算．

3) 自功率譜密度函數(shù)

地震動自功率譜密度函數(shù)可體現(xiàn)地震動的頻譜特性，在隨機振動領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用，常用的模型有金井清模型、Clough-Penzien模型等．由于《規(guī)范》給出的是反應(yīng)譜而不是功率譜，學(xué)者們大多在現(xiàn)有地震動自功率譜模型的基礎(chǔ)上，通過調(diào)整模型參數(shù)來逼近反應(yīng)譜．但現(xiàn)有功率譜模型無法較好地滿足反應(yīng)譜的需求，特別是長周期部分的差別較大．為了與《規(guī)范》對應(yīng)，可采用迭代求解的方法，由規(guī)范反應(yīng)譜直接生成自功率譜密度函數(shù)[4]．

2.2 基于《規(guī)范》反應(yīng)譜的多點地震動調(diào)整方法

人工合成的多點地震動往往不能嚴格滿足規(guī)范反應(yīng)譜的要求，需進行調(diào)整．文獻[8]指出，改變幅值A(chǔ)im(ω)對各點地震動相干性的影響是有限的，因此可以通過改變幅值A(chǔ)im(ω)達到既調(diào)整地震動反應(yīng)譜又可保持地震動相干性的目的．

借鑒單點地震動調(diào)整方法[14]，得到如下多點地震動時程調(diào)整步驟．

(1) 計算第i(i＝1，2，…，M)點時程ai( t)的反應(yīng)譜Sai(ω)．

(2) 對比計算的反應(yīng)譜Sai(ω)與規(guī)范反應(yīng)譜Sa(ω)，計算相對誤差

(3) 如果相對誤差E(ω)小于限值(如5%)，則停止迭代；否則，修正幅值A(chǔ)im(ω)(m＝1，2，…，i)，修正方法可以是或其他方式．

重復(fù)上述步驟，直至各點計算反應(yīng)譜滿足精度要求．各地震動點時程的調(diào)整過程可獨立進行．

3 算例分析

選擇8度設(shè)防烈度、Ⅱ類場地、第1組地震分組，對應(yīng)反應(yīng)譜的水平地震影響系數(shù)最大值αmax=0.16，加速度時程曲線最大值amax=0.7 m/s2，特征周期Tg=0.35s；結(jié)構(gòu)阻尼比ζ=0.05；非平穩(wěn)強度包絡(luò)函數(shù)參數(shù)t1=0.8s，t2=7 s，c=0.35[15]；4個點間距均為50,m，考慮行波效應(yīng)和不相干效應(yīng)，令視波速vapp=400 m/s，不相干函數(shù)采用Luco模型[16]，模型參數(shù)α=0.000 25．

由反應(yīng)譜迭代計算得到的自功率譜密度見圖1．

分別采用方法1～3的簡化方法合成4點的地震動．由已得時程，計算第1點和第4點的時程相干函數(shù)見圖2．其中方法2[17-18]是在式(7)的基礎(chǔ)上簡化得到的，考慮了每一點與其他各點的相關(guān)性．

顯然，方法1得到的地震動的相干函數(shù)與目標(biāo)相干函數(shù)吻合較好．方法2的相干函數(shù)與目標(biāo)相干函數(shù)幾乎完全不同，由于式(7)中人為添加了多余的項，導(dǎo)致相干性紊亂，因此計算結(jié)果相差較大．方法3的相干函數(shù)為常數(shù)1，這是由于式(8)強行將體現(xiàn)各點隨機性的相位角，其結(jié)果是各點地震動完全相干，所以求得的相干函數(shù)值為1．因此，方法2和3無法滿足多點地震動合成的要求，應(yīng)謹慎使用．

圖1 滿足《規(guī)范》反應(yīng)譜的自功率譜密度Fig.1Power spectral density in accordance with the standard response spectrum

圖2 多點地震動相干函數(shù)Fig.2 Coherence function of multi-point ground motion

對方法1得到的地震動按第2.2節(jié)的方法進行調(diào)整．圖3(a)和(b)分別是調(diào)整前和經(jīng)4次迭代調(diào)整后地震動時程以地震影響系數(shù)形式表示的計算反應(yīng)譜與目標(biāo)反應(yīng)譜之間的比較(限于篇幅，僅以第4點時程為例)．由于所使用的自功率譜密度是由反應(yīng)譜迭代得到的，圖3(a)中時程反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜的相似程度比較高，但長周期部分誤差較大．由圖3(b)可見，經(jīng)4次迭代后的時程反應(yīng)譜已非常接近目標(biāo)譜．圖4顯示調(diào)整后的1、4點間時程相干函數(shù)計算值，與圖2(a)相比，兩者差別很小，進一步驗證了單個點幅值調(diào)整對相干函數(shù)影響較小的結(jié)論．最終各點加速度時程見圖5．

圖3 反應(yīng)譜Fig.3 Response spectra

圖4 時程調(diào)整后的相干函數(shù)Fig.4 Coherence function after the schedule adjustment

圖5 各點加速度時程Fig.5 Acceleration time history of each point

4 結(jié) 論

(1) 對多點地震動合成方法進行研究，在嚴格的理論公式推導(dǎo)基礎(chǔ)上，對傳統(tǒng)方法加以改進簡化．簡化方法將不相干效應(yīng)與行波效應(yīng)單獨考慮，完全避免了復(fù)數(shù)運算，可有效降低計算量．

(2) 提出根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范(GB50011—2010)》確定多點地震動所需參數(shù)，迭代調(diào)整多點地震動以滿足規(guī)范反應(yīng)譜的要求，提高所得時程的實用性．

(3) 通過算例對多種現(xiàn)有多點地震動合成方法的準(zhǔn)確性加以驗證和分析．指出某些方法在沒有嚴格理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上人為改變合成公式，導(dǎo)致其所得多點地震動不滿足相干性要求，應(yīng)謹慎使用．

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(責(zé)任編輯：樊素英)

A Practical Simulation Method of Spatially Correlated Earthquake Ground Motions

Zhao Bo1，Shi Yongjiu2,,3，Jiang Yang2,,3，Wang Yuanqing2,,3，Chen Zhihua1
(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Key Laboratory of Structural Engineering and Vibration of Ministry of Education，Tsinghua University，Beijing 100084，China；3. Department of Civil Engineering，Tsinghua University，Beijing 100084，China)

Based on strict theoretical formula derivation，simulation method of spatially correlated earthquake ground motions is simplified and improved. In the simplified method，wave passage effect and incoherence effect are considered separately，and computational complexity is reduced since the complex calculation is avoided. It’s proposed that parameters used in the simulation should be determined according to Code for Seismic Design of Buildings(GB50011—2010)，and to enhance the method’s practicality，ground motions should be adjusted to satisfy the response spectrum supplied in the code. Some existing simulation methods have been studied to verify their accuracy. Numerical analysis shows that ground motions gained from some of the existing methods which change the formula artificially without indispensable theoretical proving may not satisfy the coherence，and should be used with reservation.

ground motion simulation；spatial correlation；coherence function；wave passage effect

P315.9

A

0493-2137(2015)08-0717-06

10.11784/tdxbz201311021

2013-11-08；

2014-02-25.

國家自然科學(xué)基金重點資助項目(51038006)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項基金資助項目(20090002110045).

趙 博（1987— ），男，博士研究生，zhaobo-jiangong@163.com.

石永久，shiyj@tsinghua.edu.cn.