波浪與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用

于 過 曹孫林 趙 蓉

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024)

波浪與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用

于 過 曹孫林 趙 蓉

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024)

簡述了開孔結(jié)構(gòu)所具有的良好特性，并采用比例邊界有限元法進(jìn)行了短峰波與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用分析，為非均勻透空外壁雙筒柱的水動(dòng)力分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了有價(jià)值的參考。

比例邊界有限元，短峰波，波浪繞射，圓柱，非均勻開孔結(jié)構(gòu)

0 引言

開孔結(jié)構(gòu)作為一種新型海岸及港口工程結(jié)構(gòu)物，具有以下良好特性：1)從水力學(xué)特性來講，它既能降低波浪反射率，又可減少其所承受的波浪力；2)具有良好的受力特性；3)有可能降低造價(jià)，具有良好的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)[1]。然而，迄今為止，有關(guān)短峰波與非均勻透空外壁雙筒柱相互作用的研究還很少。而且，一般的有限元方法也很難對(duì)波浪運(yùn)動(dòng)形式作出準(zhǔn)確描述，但比例邊界有限元方法能很好的描述該問題。

1 問題的提出

Φ(x,y,z,t)=φ(x,y)Z(z)e-iωt

(1)

滿足邊界條件的解為(k為波數(shù))：

(2)

ω2=ghtanhkh

(3)

(4)

有限域Ω1和無限域Ω2界面處的邊界條件可由式(5)表達(dá)：

(5)

其中，對(duì)于均勻開孔段的孔隙影響系數(shù)為G。當(dāng)透空外壁為開口段時(shí)，開口段的孔隙影響系數(shù)為無窮大；而透空外壁為不透水壁時(shí)，G=0。

(6)

入射速度勢φI可由式(7)表達(dá)[2]：

(7)

φ求出之后，波速度、波面高度和波動(dòng)壓力等可通過下列公式求得：

v=φ

(8)

(9)

p=-ρφ,t

(10)

2 推求比例邊界有限元方程

SBFEM計(jì)算示意圖見圖2。

(11)

式(12)表示式(4)與式(11)的等效泛函變分：

(12)

空間直角坐標(biāo)系與比例邊界有限元坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為：

(13)

(14)

對(duì)兩坐標(biāo)系統(tǒng)分別求導(dǎo)，并用雅克比矩陣聯(lián)系起來：

(15)

其中：

(16)

在比例邊界坐標(biāo)下，梯度算子可以表示為：

(17)

其中：

(18)

根據(jù)等參變換概念，速度勢函數(shù)可采用同樣的插值函數(shù)N(s)進(jìn)行離散：

φ(ξ,s)=N(s)φ(ξ)

(19)

將式(17)和式(19)代入式(12)，經(jīng)整理后可得：

(20)

其中：

B1(s)=b1(s)N(s),B2(s)=b2(s)N(s),s

(21)

引入下列系數(shù)矩陣E0,E1,E2,M0和Fs(ξ)[2]：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

對(duì)式(20)中含δφ(ξ),ξ的項(xiàng)進(jìn)行分部積分，并使ζ=kbξ，從而得到如下方程[2]：

(27)

(28)

(29)

3 求解比例邊界有限元方程

3.1 求解無限域Ω2

式(27)是Bessel方程組，用Hri(ζ)Ti作為基函數(shù)表示其解：

(30)

其中，Hrj(ζ)被稱為第一類漢克爾(Hankel)函數(shù)。

T=[T1,T2，…，Tn]

(31)

C=[c1,c2，…，cn]

(32)

(33)

將式(30)代入式(27)中，考慮到Hankel函數(shù)具有導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，經(jīng)整理可得[2]：

(34)

因?yàn)镠ankel函數(shù)已經(jīng)滿足無窮遠(yuǎn)處的邊界條件，故只用對(duì)比例邊界有限元在ξ=1上的邊界條件進(jìn)行考慮式(28)：

(35)

(36)

3.2 求解有限域Ω1并耦合Ω1和Ω2

同理，有限域Ω1中的φ1可用式(37)作為其解的基函數(shù)：

(37)

其中：

(38)

(39)

J(ζ)=diag[Jr1(kbξ),Jr2(kbξ),…,Jrn(kbξ)]

(40)

Y(ζ)=diag[Yr1(kbξ),Yr2(kbξ),…,Yrn(kbξ)]

(41)

考慮內(nèi)邊界條件式(28)、外邊界條件式(29)分別可得Ω1中的SBFEM內(nèi)外邊界條件：

(42)

(43)

其中：

(44)

(45)

(46)

(47)

考慮方程(42)，方程(43)以方程(5)，得出：

(48)

可以解出兩個(gè)域的解：

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

在式(53)中，i為虛實(shí)單位;G0為多孔介質(zhì)的孔隙影響系數(shù)對(duì)角矩陣。

單位長度上力的大小可按式(55)計(jì)算[2](為方便起見，s代表x和y；r代表內(nèi)外半徑a和b；并且φx=cos(θ)，φy=sin(θ))：

(55)

總力的計(jì)算值可按式(56)求得：

(56)

由式(56)可以得出，歸一化的Ps(kx,ky,k,r)在使用過程中會(huì)使問題更加簡單。

4 結(jié)語

本文首次開展了應(yīng)用比例邊界有限元法對(duì)兩種典型非均勻透空外壁(開口或不透水)雙筒柱相互作用的研究，基于比例邊界坐標(biāo)變換和變分原理詳細(xì)推導(dǎo)出一有限域和一無限域的SBFEM基本方程?？傮w來說，非均勻透空外壁中存在不透水段時(shí)，內(nèi)外柱要承受更大的波浪力；平面波的作用力相對(duì)其他波來說也是最大的。本研究為工程上設(shè)計(jì)非均勻透空外壁雙筒柱提供了理論參考。

[1] Huang Zhenhua, Li Yucheng, Liu Yong. Hydraulic performance and wave loadings of perforated/slotted coastal structures:A review[J].Ocean Engineering，2011,doi:10.1016/j.oceaneng,2011(3)：3-4.

[2] Tao Longbin, Song Hao, Chakrabarti Subrata. Scaled boundary FEM model for interaction of short-crested waves with a concentric porous cylindrical structure[J]. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering,2009,135(5):200-212.

The interaction of waves and non-uniform open outer wall double cylinders

Yu Guo Cao Sunlin Zhao Rong

(FacultyofInfrastructureEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

This paper simply introduced the good properties of open structure, and using proportion boundary finite element method made interaction analysis of short crested waves and non-uniform open outer wall double cylinders, provided valuable reference for hydrodynamic analysis and structure design of non-uniform open outer wall double cylinders.

proportion boundary finite element method, short crested waves, wave diffraction, cylindrical, non-uniform opening structure

2015-02-11

于 過(1994- )，男，在讀本科生； 曹孫林(1994- )，男，在讀本科生； 趙 蓉(1996- )，女，在讀本科生

1009-6825(2015)13-0050-03

TU318

A