基于PSF相關的星點定位算法*

郝云彩，賈瑞明，馬曉蕾

(1.北京控制工程研究所，北京 100190； 2.北方工業(yè)大學，北京 100041)

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基于PSF相關的星點定位算法*

郝云彩1，賈瑞明2，馬曉蕾2

(1.北京控制工程研究所，北京 100190； 2.北方工業(yè)大學，北京 100041)

為提高非高斯分布星點定位的精度，提出了一種新的PSFC (point spread function correlation)星點定位算法，具有很好的抗噪性能和精度水平，易于工程實現(xiàn).該算法利用互相關中的定義，通過確定系統(tǒng)所測定的PSF與星像灰度值之間的最大相似度來定位星點位置，PSF的測定是在作互相關計算之前全視場范圍內可按照整像素和亞像素兩種方式完成的.仿真實驗結果表明：在帶有噪聲的星像圖條件下，本文PSF相關法的定位精度最高可達到0.034像素，比質心法的精度提高1個數(shù)量級，比曲面擬合法的精度提高約20%.

點擴散函數(shù)；互相關法；亞像素；質心法

0 引 言

星敏感器是一種以恒星為參照物進行姿態(tài)測量的高精度敏感器；而星點提取中的質心定位精度是星敏感器的重要精度指標[1-2]，將直接影響姿態(tài)角的測量精度，因此優(yōu)化和提高星點提取中的質心定位精度具有十分重要的意義.對于星敏感器而言，恒星可以視為無限遠的點光源，因此理論上星敏感器成像即為無限遠點光源光學成像系統(tǒng)，其感光單元即為光學成像系統(tǒng)的焦平面[3]，此時光學焦平面上星點能量分布可由點擴散函數(shù)表示出.在理想的光學系統(tǒng)下，恒星像點小于一個像元無法通過算法進行精確的定位，因此，通常利用散焦的方法使得像點彌散，擴大到數(shù)個像元，然后使用內插細分算法計算星點質心.目前所用的星點質心細分定位算法主要有質心法、高斯曲面擬合法和拋物面擬合法[4-5].

在這些算法中質心法主要有傳統(tǒng)質心法和改進的質心法[6].傳統(tǒng)質心法(TC，traditional centroid)計算簡便，但受星點能量分布形狀影響較大，當星點能量分布呈現(xiàn)幾何非對稱形狀時誤差較大，抗噪聲能力變差，適用于星點能量分布呈對稱狀且沒有背景噪聲的情況；改進的質心法主要有灰度加權質心法(GWC，gray weighted centroid)、灰度平方加權質心法(GSWC，gray square weighted centroid)、距離加權質心法(WDC, weighted distance centroid)，改進后的質心法抗噪能力不同程度均有所增加，但精度提高有限；高斯曲面擬合法(GCFM，gauss curve fitting methods)雖然具有較高的定位精度，但計算量大，易受到星點所占像元大小的影響，不適合對星圖進行實時處理[7-9].

本文針對現(xiàn)有星點提取算法中乏少措施以改善噪聲、S誤差、星點能量分布不對稱等因素帶來的固有定位偏差，提出了一種利用PSF相關法(PSFC)來提高星敏感器星點質心定位精度，星敏感器全視場PSF分布模型可以實測加插值得到，使得PSFC法與以往方法相比，具有抗干擾能力強、精度高、處理速度快、便于星上實現(xiàn)等優(yōu)點.通過計算機仿真與TC、GSWC和GCFM進行了實驗對比與分析，驗證了該算法的優(yōu)越性.

本文的研究方法是采用理論分析和數(shù)學仿真的方法結合，對于工程實現(xiàn)途徑也進行了概略分析.

1 傳統(tǒng)星點圖像的細分定位算法

1.1 質心法及改進算法

傳統(tǒng)質心法是一種對目標圖像灰度值的加權運算.權值隨像元離目標像點灰度中心的距離增大而線性增長，且易受到目標像點分布形狀和背景噪聲的影響.當目標像點灰度分布關于峰值呈現(xiàn)非對稱時，在使用質心法計算其像點質心坐標時誤差變大[3].因此，為了提高傳統(tǒng)質心法的定位精度對其進行了改進，主要有GSWC、WDC等.可表示為式(1)：

(1)

采用灰度值作為加權函數(shù)的灰度平方加權質心法，突出了中心較大的灰度值像素點對中心位置的影響，使得星點光斑形狀在即使不近似于高斯分布的情況下，該方法依然能較準確的提取質心，增強了算法的抗干擾能力.采用距離的倒數(shù)作為加權函數(shù)的距離質心法，由于距離星點光斑質心越遠的像素對質心的判斷影響越小，所以取距離的倒數(shù)作為加權函數(shù)可減少噪聲對質心定位產生的干擾，提高星點質心定位精度.

1.2 高斯曲面擬合法

由于星點圖像灰度近似于高斯分布，因此可以用高斯曲面對星點灰度分布進行擬合，求出其灰度最大值對應的坐標即可求得星點質心坐標，高斯曲面擬合函數(shù)可表示為

(2)

式中：A為高斯幅值；ρ為相關系數(shù)；(xc,yc)為特征像點的中心坐標；δx、δy分別為x和y方向的標準差；一般為簡化計算，取ρ=0，δx=δy=0.則式(2)可簡化為

(3)

對式(3)兩邊同時取對數(shù)，展開平方項整理，得

(4)

利用目標圖像n個特征點的像素，通過基于約束的最小二乘法解方程(4)，可以解出(xc,yc).

2 確定星像位置的PSF相關法(PSFC)

2.1 原理和概念

相關系數(shù)是用以反映變量之間相關關系密切程度的統(tǒng)計指標，相關系數(shù)是按積差方法計算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變量之間相關程度[12].其大小也可以反映兩個不同的量之間的相似程度.數(shù)學公式為

(5)

式中，E是數(shù)學期望，cov表示協(xié)方差，δX和δY是標準差.

將這種相關系數(shù)的運算運用到星點細分定位中，也可以被用來計算星像的質心.對于星點圖像g(x,y)與利用星點能量分布模型(PSF)所得到的模板f(x,y)進行相關操作，他們的互相關操作定義為

(6)

式中μf和μg分別為星點圖像g(x,y)和PSF生成的模板f(x,y)的平均灰度值.當g(x,y)和f(x,y)的相似度越大時ρ值越大.因此，通過確定互相關函數(shù)取最大值時PSF峰值的偏移量即可確定目標星點的質心位置.

這種方法的優(yōu)點是，利用PSF模板的精確性，消除星敏感器星像點由于噪聲、S誤差、不對稱性造成的固有偏差，使得以往傳統(tǒng)方法難以消除的定位誤差借助于PSF相關算法得以很大程度的消除，這也是本文思想創(chuàng)新之處.

2.2 PSFC法的仿真流程

本文中根據(jù)相關法的基本原理提出了兩種PSF相關算法.一種是基于PSF的亞像素相關算法，一種是基于PSF的整像素相關算法.亞像素相關法是把得到的星敏感器的星點灰度圖人為進行亞像素細分，細分后所有的網點總數(shù)量與PSF測量采樣的網格點數(shù)量相同，細分網點處的灰度采用所測PSF插值得到，這樣的星點圖同樣攜帶了S誤差和噪聲產生的灰度分布.PSF測量師按照亞像素分辨率進行，它與細分后的星點圖分布相關運算找最大相關系數(shù)，PSF峰值偏移量即是星點偏移量.整像素相關法是相關運算采用星敏感器直接獲取的星點圖，不需要把它細分，而測量的PSF需要用高于星敏感器分辨率的探測器采樣，然后按照原始像素尺寸積分得到PSF的某偏移量分布，以偏移量迭代的PSF與星敏感器原始星圖相關求相關系數(shù)，最大值處的偏移量即是所求.

基于PSF的亞像素相關算法步驟如下：

(1)對星點圖像進行預處理：提取星點圖像的目標區(qū)域g(xi,yi)，并得到目標區(qū)域的大小；

(2)對星點圖像的目標區(qū)域g(xi,yi)進行高分辨率采樣，得到亞像素序列g′(xi,yi)；

(3)對星點灰度分布滿足的PSF進行積分，積分間隔與式(2)中高分辨率采樣的間隔相同，得到與目標區(qū)域大小相同的積分序列；

(4)將(2)中所得到的亞像素序列g′(xi,yi)與(3)中所得到的積分序列f(xi,yi)進行相關操作，求出相關函數(shù)取得最大值時PSF峰值的偏移量Δd，從而確定星點質心位置.

該方法的流程圖如圖1所示.

圖1 PSF亞像素相關算法流程圖Fig.1 PSF sub pixel correlation algorithm flow chart

基于PSF的整像素相關算法步驟如下：

(1)對星點圖像進行預處理：提取星點圖像的目標區(qū)域g(xi,yi)，并得到目標區(qū)域的大小.

(2)對星點灰度分布滿足的PSF以像元為單位進行積分，得到與目標區(qū)域大小相同的積分序列.

(3)以間隔為0.01平移(2)中所得到的積分序列的起始點，得到一系列PSF積分序列f(xi,yi).

(4)將(1)中所得到的目標區(qū)域與(3)中所得到的一系列PSF積分序列進行相關，求相關系數(shù)最大值所對應的PSF積分序列.

(5)通過(4)中所求得的PSF積分序列所對應的最大值即可確定星點質心坐標.

該方法的流程圖如圖2所示.

圖2 PSF整像素相關算法流程圖Fig.2 PSF full pixel correlation algorithm flow chart

3 實驗與結果分析

3.1 生成仿真圖像

上文對各種算法進行了初步的理論分析，為了對所提算法精度進行驗證，通過利用灰度分布近似于高斯型的PSF模擬生成星圖，進行實驗驗證.模擬生成圖像大小為64×64、背景灰度為0的單星星圖.模擬生成星點圖像的PSF為

(7)

其中星圖灰度幅值A=160，選擇不同的彌散半徑δ使得模擬星點圖像在某一方向所占大小范圍為[3,10].

在本文中選擇星點質心坐標在x方向的一個像素內(xc=31.5～32.5)變動，在y方向沒有移動；xc以0.01為間隔依次增加，得到101幅模擬的理想星圖. 圖3中，(a)為δ=0.85時所生成的無噪聲仿真星圖，(b)為δ=0.85時生成的含有高斯噪聲(均值為0，方差為0.001)的仿真星圖.

圖3 仿真星圖Fig.3 The simulation image

3.2 無噪聲星點圖像實驗與分析

分別利用本文中所提到的4種算法提取理想仿真星圖的質心坐標，并求出與實際值的偏差Δx，得到誤差曲線圖；并計算各個算法的算術平均誤差進行比較.圖4(a)和圖4(b)為δ=0.85時使用各算法得到的誤差曲線圖.

圖4 誤差曲線圖Fig.4 The error curves

經試驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計可知，當δ取不同值時，誤差曲線的形狀不同；當δ較小時即星點所占像元較少時，星點質心提取誤差與真實誤差近似成S形曲線，隨著δ的增大星點質心提取誤差與真實誤差呈現(xiàn)鋸齒形.其中，S曲線誤差是質心定位系統(tǒng)誤差的重要組成部分，它表現(xiàn)為當像點能量中心在像素內均勻移動時，質心位置與像點能量中心之間的以像素為周期類似正弦規(guī)律變化的誤差.

通過計算可得出傳統(tǒng)質心法、平方加權質心法、高斯曲面擬合法、PSF整像素相關法和PSF亞像素相關法的算術平均誤差值分別為0.002 9、0.002 4、0.041、0.001 7、0.002 8.

圖5為表1所對應的算術平均誤差曲線圖.

圖5 無噪聲時各算法的算術平均誤差曲線Fig.5 The error curves of arithmetic average for each algorithm without noise

δPSF整像素相關法PSF亞像素相關法傳統(tǒng)質心法平方加權質心法高斯曲面擬合法0.700.0070.01930.00250.01520.05980.750.00430.01090.00270.00860.05270.800.00260.00590.00290.00470.0470.850.00170.00280.00290.00240.0410.900.00160.00200.00290.00180.03740.950.00150.00150.00280.00140.03391.000.00200.00180.00310.00180.0301.050.00150.00150.00310.00150.02741.100.00160.00140.0030.00140.02521.200.00190.00180.00330.00170.0211平均值0.002570.004890.002920.004050.03755

從圖5和表1可以看出，在不含噪聲的仿真星圖下，隨著δ的增大(像元所占數(shù)目增多)各個算法的誤差均呈減小趨勢；其中，高斯曲面擬合法較其他幾種算法誤差最大；在δ取值較小時傳統(tǒng)質心法比平方加權質心法和相關法誤差小，隨著δ的增大，平方加權質心法和相關法誤差減小效果均好于傳統(tǒng)質心法，但相關法比較穩(wěn)定，在δ<0.9時相關法誤差小于平方加權質心法，隨著δ的增加兩者相差不大.

3.3 含噪聲星點圖像實驗分析

在真實拍攝中所得到的星圖是含有噪聲的，為了使仿真結果更接近實際情況，對模擬生成的星圖添加了均值為0，標準方差為0.001的高斯噪聲.圖6(a) 和圖6(b)為δ=0.85時使用各算法計算含有噪聲的星圖得到的誤差曲線圖.

圖6 誤差曲線Fig.6 Error curves

同樣，通過計算可得出在含有噪聲的星圖中傳統(tǒng)質心法、平方加權質心法、高斯曲面擬合法、PSF整像素相關法和PSF亞像素相關法的算術平均誤差值分別為1.038 8、0.501 0、0.062 5、0.039 1.

表2 含噪聲星圖在不同δ取值時各算法的算術平均誤差值

圖7為表2所對應的算術平均誤差曲線圖.

圖7 各算法的算術平均誤差曲線(含噪聲)Fig.7 The error curves of arithmetic average for each algorithm (with noise)

表3為本文中各算法在無噪聲星圖和有噪聲星圖下的算術平均誤差值.

表3 各個算法的算術平均誤差值

從表3和圖7可以看出，在含有噪聲的星圖下，各種算法的誤差均比理想星圖的誤差要大；其中，傳統(tǒng)質心法和平方加權質心法在含有噪聲的星圖中誤差明顯變大；相關法和高斯曲面擬合法誤差比質心法要好，且相關法誤差明顯比高斯曲面擬合法要好.

3.4 PSFC星點定位法的工程實現(xiàn)途徑探討

如上文所述，PSF是采用數(shù)學仿真的方法得到的，在實際星敏感器應用中，應當采用PSF測試設備，對于全視場范圍PSF進行網格測量，并分區(qū)進行多項式插值計算網格點外的PSF.我們對此也進行了相應的實驗工作，限于篇幅不在此介紹，將另文發(fā)表.

地面實驗室測量的PSF可以作為星敏感器的標定文件存儲起來，每幅圖像獲取的星點像灰度圖首先采用傳統(tǒng)質心法計算出其位置坐標，再在此處插值出來PSF，然后按照本文提供的PSFC法進行星點質心確定，必會提高星點定位精度.

4 結 論

目前通用的質心法中，由于傳統(tǒng)質心法和平方加權質心法受到星點灰度分布兩側的峰值及幾何形狀的影響較大，且實際所拍攝到的星圖都是含有噪聲的，因此這兩種方法在星敏感器系統(tǒng)精度要求較高的情況下計算誤差較大，而高斯曲面擬合法易受到星點像元范圍的影響，應用范圍有限.針對以上算法的缺點，本文提出了基于PSF相關法來提高星點圖像質心精度，介紹了基于PSF的亞像素相關算法和基于PSF的整像素相關算法兩種方法.在擁有地面PSF模板測試數(shù)據(jù)的條件下，亞像素PSF相關法可以在很大程度上解決系統(tǒng)噪聲、S誤差、星點不對稱等傳統(tǒng)方法望之興嘆的問題.

通過仿真實驗表明，在不含噪聲的星圖中基于PSF相關法的誤差與傳統(tǒng)質心法誤差相差不大，但在含有噪聲的星圖中基于PSF相關法的定位精度數(shù)量級可達到-2，誤差明顯小于傳統(tǒng)質心法、平方加權質心法的0～-1個數(shù)量級，且高于高斯曲面擬合法1.2～2倍，定位精度更加穩(wěn)定.因此，基于PSF相關法的適用范圍更加廣泛，抗噪性能更好，在實際的星圖質心提取中定位精度高于質心法、高斯曲面擬合法.

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Star Locating Algorithm Based on PSF Correlation

HAO Yuncai1, JIA Ruimin2, MA Xiaolei2

(1.Beijing Institute of Control Engineering， Beijing 100190， China；2.North China University of Technology， Beijing 100081， China)

In order to improve the star locating accuracy with non Gauss energy distribution for a star tracker, a new locating algorithm based on PSFC (point spread function correlation) was proposed. The new method has good anti noise performance, high accuracy and engineering realization. The PSFC locating algorithm is realized by using cross correlation definition and determining the maximum similarity of the measured star PSF and the star gray images of the star tracker. The measured star PSF are prepared before cross correlation computation by all the FOV sub-pixel measurements. The simulation results show that the accuracy of PSF correlation method considering high noise background can reach 0.034 pixels, and is higher than the traditional centroid method of 1 orders of magnitude , and is higher than the Gauss surface quasi legal of about 20%.

point spread function correlation ; cross correlation; sub pixel; centroid method.

*國家自然科學基金資助項目(61174004).

2015-11-03

V448

A

1674-1579(2015)06-0001-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2015.06.001

郝云彩(1966—)，男，研究員，研究方向為空間目標探測與光學敏感器，空間光學和光學自主導航技術；賈瑞明(1978—)，男，助理研究員，研究方向為空間目標跟蹤與識別，模式識別與圖像處理；馬曉蕾(1989—)，女，碩士研究生，主要研究方向為圖像處理與模式識別.