周艷玲

摘要：

線性卷積，周期卷積和循環(huán)卷積是《數(shù)字信號(hào)處理》中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。闡述了這三種卷積的概念及相互聯(lián)系，將線性卷積和循環(huán)卷積聯(lián)系起來，利用循環(huán)卷積的計(jì)算速度解決線性卷積表達(dá)的實(shí)際問題，并在matlab上驗(yàn)證了循環(huán)卷積的運(yùn)算速度優(yōu)勢(shì)，有助于學(xué)生理解并掌握卷積的物理意義和使用方法。

關(guān)鍵詞：

數(shù)字信號(hào)處理；線性卷積；循環(huán)卷積；Matlab

中圖分類號(hào)：

G4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：16723198（2015）08013601

1前言

線性卷積，周期卷積和循環(huán)卷積在《數(shù)字信號(hào)處理》的時(shí)域分析中起著重要作用，是《數(shù)字信號(hào)處理》的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是該課程的一個(gè)難點(diǎn)。

一般教學(xué)中容易存在以下三個(gè)方面的問題：（1）由于該知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)性比較強(qiáng)，學(xué)生難以完全聽懂，教學(xué)效果不好。（2）幾種卷積概念比較抽象，即使上課能聽懂，而讓學(xué)生自己動(dòng)手求解卻又不知從何下手。（3）理解這幾種卷積的物理意義和關(guān)系非常有必要，而學(xué)生難以將這幾種卷積前后銜接，融會(huì)貫通。

本文從這幾種卷積的定義出發(fā)，分析其概念及聯(lián)系，探討其教學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握。

2線性卷積、周期卷積及循環(huán)卷積的定義

信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出為信號(hào)與系統(tǒng)函數(shù)的線性卷積。所以線性卷積反映了線性系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的作用方式，是線性系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，它廣泛地應(yīng)用于通信、控制、信號(hào)處理等領(lǐng)域中。線性卷積的定義如下：

yL（n）=∞k=-∞x（k）h（n-k）=x（n）*h（n）

（1）

線性卷積對(duì)參與卷積的兩個(gè)序列長(zhǎng)度無要求。雖說表達(dá)式中卷積的求和范圍為-∞到+∞，實(shí)際中的求和范圍根據(jù)序列長(zhǎng)度有關(guān)。設(shè)序列x（n）長(zhǎng)度為M，h（n）的長(zhǎng)度為N，求和變量k的取值范圍取決于x（k）和h（n-k）的長(zhǎng)度和取值范圍，并且最后得到的卷積結(jié)果即序列yL（n）的長(zhǎng)度取決于x（n）和h（n）的長(zhǎng)度和取值范圍，所以該線性卷積的長(zhǎng)度M+N-1。

由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，連續(xù)信號(hào)離散化為數(shù)字信號(hào)并由計(jì)算機(jī)處理是技術(shù)發(fā)展的必然。在離散情況下，由于離散傅里葉變換隱含的周期性，因而引入了周期卷積和循環(huán)卷積。周期卷積需要就兩個(gè)序列先周期延拓，然后將一個(gè)序列翻轉(zhuǎn)，再來移位、相乘，在主區(qū)間0～N-1求和。周期卷積的定義如下：

y（n）=N-1m=0x（m）h（n-m）

（2）

所以周期卷積要求兩個(gè)序列是周期相同的周期序列，求和范圍是一個(gè)周期，其結(jié)果仍是周期序列，且周期與原來的兩個(gè)序列的周期相同。

由于多個(gè)周期的序列攜帶的信息與其主值區(qū)間相同，對(duì)周期卷積取主值區(qū)間的值，即可得到循環(huán)卷積。其定義如下：

3循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系

線性卷積反映了線性系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的作用方式，具有重要實(shí)際意義。但由于線性卷積是對(duì)無限項(xiàng)求和，不是閉合解的形式，不便于用計(jì)算機(jī)運(yùn)算；而循環(huán)卷積是對(duì)有限項(xiàng)求和，特別適合于計(jì)算機(jī)運(yùn)算；同時(shí)計(jì)算循環(huán)卷積可利用FFT來實(shí)現(xiàn)，在速度上比直接計(jì)算線性卷積要快得多。鑒于以上三點(diǎn)分析，通過循環(huán)卷積來計(jì)算線性卷積具有較大的優(yōu)越性和實(shí)用性。如果找到線性卷積和循環(huán)卷積相等的條件，然后利用FFT計(jì)算循環(huán)卷積，即可獲得線性卷積的結(jié)果。

設(shè)序列x（n）長(zhǎng)度為M，h（n）的長(zhǎng)度為N，設(shè)法構(gòu)造這兩個(gè)序列x（n）和h（n）的循環(huán)卷積，使其果與線性卷積相同。在x（n）后面補(bǔ)充N-1個(gè)0，使x（n）長(zhǎng)度變?yōu)?；在h（n）后面補(bǔ)充M-1個(gè)0，使h（n）長(zhǎng)度也為M+N-1。先將x（n）和h（n）進(jìn)行周期延拓，周期為M+N-1，再求周期卷積。

可見該周期卷積是x（n）和h（n）的線性卷積yL（n）的周期延拓，而以M+N-1為周期的周期延拓剛好沒有發(fā)生混疊，對(duì)該周期卷積取主值得到的循環(huán)卷積正好等于線性卷積。

yc（n）=x（n）h（n）=y（n）RM+N-1（n）

=M+N-1k=0x（k）h（n-k）=yL（n），0≤n≤M+N-1

（6）

所以對(duì)于長(zhǎng)度為M和N的兩個(gè)序列，當(dāng)L≥M+N-1時(shí)，L點(diǎn)循環(huán)卷積等于線性卷積。

4利用FFT求線性卷積

根據(jù)循環(huán)卷積的性質(zhì)，兩個(gè)序列時(shí)域循環(huán)卷積對(duì)應(yīng)的頻域?yàn)閮尚蛄须x散頻域直接相乘?？梢岳肍FT及IFFT來快速求解循環(huán)卷積。其過程如圖1所示。

由此可見，在滿足循環(huán)卷積和線性卷相等的條件下，用FFT和IFFT來計(jì)算循環(huán)卷積比直接從時(shí)域計(jì)算線性卷積快速很多。當(dāng)序列長(zhǎng)度更大的時(shí)候，優(yōu)勢(shì)將會(huì)更加明顯。

5結(jié)論

分析了線性卷積的實(shí)用性和循環(huán)卷積的計(jì)算機(jī)處理優(yōu)勢(shì)，闡述了兩者相等的條件，利用循環(huán)卷積來計(jì)算線性卷積，可以提高運(yùn)算速度，解決實(shí)際問題，并在在Matlab上驗(yàn)證了循環(huán)卷積的運(yùn)算速度優(yōu)勢(shì)。有助于學(xué)生理解卷積的物理意義并掌握卷積的計(jì)算方法。

參考文獻(xiàn)

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