趙曉暉，李曉燕

（吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引 言

隨著無線通信技術(shù)的飛速發(fā)展，頻譜資源短缺問題日益凸顯，嚴(yán)重制約現(xiàn)代無線通信技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用。為了解決這一問題，1999 年，Mitola等［1－2］提出了認(rèn)知無線電的思想。認(rèn)知無線電技術(shù)通過動(dòng)態(tài)利用空閑的頻譜資源，可以有效地提高頻譜的利用效率。而頻譜感知技術(shù)在認(rèn)知無線電技術(shù)中扮演著重要角色。正確的頻譜感知是實(shí)現(xiàn)頻譜動(dòng)態(tài)利用的前提。

隨機(jī)共振是在研究古氣象冰川融化問題時(shí)提出的概念［3－5］。隨機(jī)共振系統(tǒng)是一個(gè)非線性系統(tǒng)。當(dāng)固定輸入有用信號(hào)的幅值時(shí)，隨著輸入噪聲信號(hào)強(qiáng)度的增加，隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信噪比先增加后減小，即當(dāng)噪聲強(qiáng)度取合適值時(shí)，隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信噪比最大。隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出信噪比最大時(shí)，隨機(jī)共振系統(tǒng)、輸入有用信號(hào)強(qiáng)度和噪聲信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到匹配，噪聲能量會(huì)向有用信號(hào)能量轉(zhuǎn)移，從而使隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信噪比增加。由于隨機(jī)共振的這個(gè)優(yōu)點(diǎn)，隨機(jī)共振理論被應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)問題中，并取得了很好的效果。鑒于隨機(jī)共振可以檢測(cè)微弱信號(hào)，一些學(xué)者將隨機(jī)共振理論引入到認(rèn)知無線電頻譜感知問題中，以實(shí)現(xiàn)低信噪比條件下可靠的頻譜感知［6－9］。

當(dāng)信號(hào)使用MIMO 天線進(jìn)行傳輸時(shí)，該信號(hào)會(huì)通過多條路徑傳送到接收端，而該信號(hào)在每條路徑上都受到很大衰減的可能性很小，接收端總能獲得相對(duì)滿意的信號(hào)［10］。因此，MIMO 技術(shù)可以提供空間分集，使接收端獲得更多的信號(hào)副本，有效抵抗信道衰落對(duì)通信造成的影響。因此將MIMO 技術(shù)應(yīng)用到頻譜感知技術(shù)中，在衰落信道條件下，該頻譜感知算法仍然能取得很好的檢測(cè)性能［11－12］。

由于能量頻譜感知需要知道噪聲的方差，而隨機(jī)共振是很復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，噪聲通過隨機(jī)共振系統(tǒng)后，很難計(jì)算出輸出噪聲的方差。為解決這一難題，文獻(xiàn)［7］采用最大化檢測(cè)概率的方法來確定隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出噪聲的方差。但是采用這種方法得到的噪聲方差與隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出噪聲方差的真實(shí)值有偏差，這種偏差會(huì)影響到頻譜感知的檢測(cè)性能。基于協(xié)方差矩陣的頻譜感知算法不需要任何主用戶信號(hào)和噪聲信號(hào)的先驗(yàn)信息［13］，而且還可以克服噪聲不確定性帶來的影響，因此，本文將隨機(jī)共振理論和MIMO 技術(shù)應(yīng)用到協(xié)方差矩陣頻譜感知中，提出基于隨機(jī)共振和MIMO 技術(shù)的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法。

1 系統(tǒng)模型

假設(shè)主用戶具有M 根發(fā)射天線，認(rèn)知用戶具有N 根接收天線，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 System model

值得注意的是在隨機(jī)共振系統(tǒng)中，要求輸入信號(hào)s（t）的頻率足夠小［3］，而認(rèn)知無線電中的信號(hào)不直接滿足這一要求。但是，可先將高頻信號(hào)變換為低頻信號(hào)，然后再將此低頻信號(hào)輸入到隨機(jī)共振系統(tǒng)中；或者對(duì)隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，使改造后的隨機(jī)共振系統(tǒng)可以用于高頻信號(hào)。有很多方法可以解決上述問題［14－16］。例如文獻(xiàn)［14］通過尺度變換將高頻信號(hào)轉(zhuǎn)換為低頻信號(hào)；文獻(xiàn)［15］將隨機(jī)共振系統(tǒng)的非微分項(xiàng)乘以某系數(shù)，使隨機(jī)共振系統(tǒng)能夠應(yīng)用于高頻信號(hào)；文獻(xiàn)［16］則用二次采樣的方法，將高頻信號(hào)轉(zhuǎn)換為低頻信號(hào)。本論文的研究重點(diǎn)是將隨機(jī)共振理論和MIMO 技術(shù)結(jié)合在一起來進(jìn)行頻譜感知，因此不再贅述將高頻信號(hào)轉(zhuǎn)換為低頻信號(hào)的過程，直接令輸入信號(hào)為：

式中f 的值很小。

認(rèn)知用戶第i根天線第n 時(shí)刻接收到的信號(hào)可以表示為：

式中：i＝1，2，…，N；xi（n）、sj（n）和ηi（n）分別為xi（nTs）、sj（nTs）和ηi（nTs）的簡(jiǎn)化表示，Ts為采樣間隔；xi（n）為認(rèn)知用戶第i根天線第nTs時(shí)刻接收到的信號(hào)；sj（n）是主用戶第j根天線發(fā)射、認(rèn)知用戶在第nTs時(shí)刻接收到的信號(hào)；hji是主用戶第j 根天線和認(rèn)知用戶第i 根天線之間的信道增益；ηi（n）是認(rèn)知用戶第i根天線第nTs時(shí)刻接收到的噪聲信號(hào)；H0表示沒有主用戶信號(hào)存在的情況；H1表示主用戶信號(hào)存在的情況。假設(shè)sj（n）的均值為0；ηi（n）是均值為0、方差為的高斯白噪聲；hji服從均值為0、方差為1的高斯分布。此外，假設(shè)認(rèn)知用戶不同天線接收的噪聲信號(hào)相互獨(dú)立，不同天線之間的信道相互獨(dú)立，主用戶信號(hào)和噪聲信號(hào)互不相關(guān)，即：

2 本文算法

2.1 算法基本原理

由圖1所示，首先將每根天線接收到的信號(hào)xi（n），i＝1，2，…，N，分別輸入到隨機(jī)共振系統(tǒng)中。以認(rèn)知用戶第i根天線為例，所采用的離散隨機(jī)共振系統(tǒng)如下式［7，17］：

式中：隨機(jī)共振系統(tǒng)的初值xiSR（0）是（－1，1）區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)值；xi（n）為隨機(jī)共振系統(tǒng)輸入信號(hào)，它既包括主用戶信號(hào)又包括噪聲信號(hào)；xiSR（n）是隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號(hào)；a、b 和p 是常數(shù)；Δt為采樣間隔Ts。上節(jié)提到，xi（n）分別為xi（nTs）的簡(jiǎn)化表示，因此，隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出信號(hào)xiSR（n）相鄰點(diǎn)的時(shí)間間隔為Δt。調(diào)節(jié)p 的值可以調(diào)節(jié)隨機(jī)共振系統(tǒng)中主用戶信號(hào)和噪聲信號(hào)的信號(hào)強(qiáng)度。當(dāng)p取合適的值時(shí)，隨機(jī)共振系統(tǒng)、主用戶信號(hào)強(qiáng)度和噪聲信號(hào)強(qiáng)度三者達(dá)到匹配，隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信噪比最大，此時(shí)p 的值記為popt。a、b和popt選取方法將在后文中介紹。

將popt帶入式（4）可得：

在H1的情況下，主用戶信號(hào)和噪聲信號(hào)相互獨(dú)立，隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號(hào)xiSR可以被分為兩部分［7］，分別為siSR（n）和ηiSR（n），如下式：

式中：siSR（n）和ηiSR（n）分別為對(duì)應(yīng)和ηi（n）的輸出。因此通過隨機(jī)共振系統(tǒng)后，頻譜感知的二元假設(shè)檢測(cè)模型為：

根據(jù)隨機(jī)共振的基本原理，當(dāng)主用戶信號(hào)強(qiáng)度比較小時(shí)，E［xiSR］≠0。由于無法控制主用戶信號(hào)的輸入幅度，因此E［xiSR］≠0 的可能性很大。為了在任何情況下都有E［xiSR］＝0，對(duì)xiSR（n）做如下處理：

由于隨機(jī)共振系統(tǒng)的非線性，ηiSR0（n）不再是高斯白噪聲，即當(dāng)τ0時(shí)Ri（τ）0。由于在確定頻譜感知判決門限γ 時(shí)需要計(jì)算Ri（τ）的值，而Ri（τ）的計(jì)算比較復(fù)雜，這使后文計(jì)算判決門限γ變得困難。但是，Ri（τ）隨τ 的增加按負(fù)指數(shù)形式減?。?8］，當(dāng)τ≥τ0時(shí)，Ri（τ）很小，可近似為0。上節(jié)提到隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出信號(hào)xiSR（n）相鄰點(diǎn)的時(shí)間間隔為Δt，因此令隨機(jī)共振系統(tǒng)的步長(zhǎng)Δt≥τ0，這樣隨機(jī)共振輸出噪聲ηiSR0（n）任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的相關(guān)函數(shù)很小，從而使輸出噪聲ηiSR0（n）近似為白噪聲。這使確定判決門限γ變得容易。Ri（τ）的計(jì)算方法如下：

式中：τ＝0，Δt，2Δt，…。

采用文獻(xiàn)［13］中介紹的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法進(jìn)行頻譜感知，構(gòu)造如下矩陣：

則接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣表示為：

式中：σ2為隨機(jī)共振系統(tǒng)輸出噪聲ηiSR0（n）的方差，i＝1，2，…，N。

由式（10）可以看出，在H0情況下，協(xié)方差矩陣趨向于對(duì)角矩陣；而在H1情況下則不會(huì)趨向于對(duì)角矩陣。可以根據(jù)上述不同來判斷主用戶信號(hào)是否存在。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)Ns很大時(shí)中元素可近似服從高斯分布。

定義如下變量：

式中：rn，m（N s ）是矩陣第n行、第m 列的元素。

協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為：

判決表達(dá)式為：

由于不知道主用戶信號(hào)的先驗(yàn)信息，故不能根據(jù)檢測(cè)概率Pd確定判決門限γ。通常情況下，利用虛警概率來確定γ。設(shè)定虛警概率為固定的值Pfa，確定γ 使頻譜感知算法的虛警概率等于Pfa。本文確定判決門限的方法與文獻(xiàn)［13］中確定判決門限的方法類似。

根據(jù)式（10），在H0條件下有

式中：ηiSR0（n）是矩陣ηSR 中的元素。

當(dāng)n＝m 時(shí)，有

由中心極限定理可知，在H0條件下，rn，m（Ns）服從高斯分布。經(jīng)計(jì)算可得：

根據(jù)式（17）和（19）可得

根據(jù)中心極限定理，在H0條件下，當(dāng)Ns比較大時(shí)，T2服從正態(tài)分布。因此虛警概率為：

判決門限的計(jì)算公式為：

2.2 隨機(jī)共振參數(shù)的確定

本文采用式（5）所示的隨機(jī)共振系統(tǒng)，下面給出popt的確定方法。

若主用戶信號(hào)如式（1）所示，則輸入信號(hào)信噪比為：

當(dāng)信號(hào)通過如式（4）所示的隨機(jī)共振系統(tǒng)后，隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信噪比為［3，7］：

為了求出使信噪比最大的popt，令＝0，則有：

為了提高隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出增益，則必須有下式成立：

由式（24）和（25）可得：

因此，在選取隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，要滿足上式要求。本文選取a＝10，b＝1。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)通過仿真驗(yàn)證基于隨機(jī)共振和MIMO的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法（即SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法）的有效性，從多個(gè)方面對(duì)單天線協(xié)方差矩陣的頻譜感知算法、MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法和SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法進(jìn)行比較。仿真采用蒙特卡羅的方法得到檢測(cè)概率Pd，主用戶信號(hào)為BPSK 信號(hào)，信號(hào)的頻率為f＝0.1；噪聲的方差為；為了方便起見，仿真中令M ＝N。

圖2給出在H0條件下，檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量Tx＝T1（Ns）／T2（Ns）與判決門限γ的關(guān)系，其中M ＝N ＝5。從圖2可以看出，隨著Ns的變化，判決門限γ進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，這可以保證判決門限選擇的合理性。此外，在主用戶信號(hào)不存在的條件下，Tx曲線在γ 曲線的下方，這充分說明判決門限的計(jì)算方法是正確的。

圖2 判決門限的有效性Fig.2 Validity of decision threshold

圖3 兩種算法在不同信噪比下的性能比較Fig.3 Performance comparison of two algorithms under different SNR

圖4 兩種頻譜感知算法的ROC曲線Fig.4 ROC curves of spectrum sensing algorithms

圖5 不同算法在不同采樣點(diǎn)數(shù)下的性能比較Fig.5 Performance of different algorithms at different sampling points

圖3 、圖4 和圖5 分別給出SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測(cè)概率、MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測(cè)概率和單天線協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測(cè)概率隨信噪比、虛警概率和采樣點(diǎn)變化的仿真曲線。在圖3 和圖4 中取Ns＝1000；在圖4中，單天線協(xié)方差矩陣頻譜感知算法和MIMO協(xié)方差矩陣頻譜感知算法在SNR＝－22dB條件下進(jìn)行仿真；SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法在SNR＝－25dB的條件下進(jìn)行仿真。從圖3可以看出，在信噪比為－10dB時(shí)，單天線協(xié)方差頻譜感知算法的檢測(cè)概率為0.41。而MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測(cè)概率為0.995，SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測(cè)概率達(dá)到1；當(dāng)M ＝N ＝10時(shí)，在SNR＝－20dB條件下，SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測(cè)概率能達(dá)到1。圖4是頻譜感知的ROC曲線。圖5中所有曲線都隨采樣點(diǎn)的增加而增加。

由圖3、圖4和圖5可見，基于MIMO 的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法和SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的仿真曲線均在單天線協(xié)方差矩陣頻譜感知算法仿真曲線的上方；并且在兩種算法使用天線數(shù)目相同的情況下，SR－MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的仿真曲線在MIMO 協(xié)方差矩陣頻譜感知算法仿真曲線的上方。因此圖3、圖4和圖5的仿真結(jié)果均表明基于MIMO 的頻譜感知算法的檢測(cè)概率要遠(yuǎn)高于單天線頻譜感知算法的檢測(cè)概率；而基于MIMO 和隨機(jī)共振的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法的檢測(cè)概率最高。即本文算法的性能要優(yōu)于其他兩種算法。

4 結(jié)束語(yǔ)

提出了基于隨機(jī)共振和MIMO 的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法。通過隨機(jī)共振增加輸入信號(hào)的信噪比，利用MIMO 技術(shù)獲得空間分集以抵抗信道衰落對(duì)頻譜感知造成的影響。該頻譜感知算法可以在低信噪比和衰落信道條件下取得很高的檢測(cè)性能。仿真結(jié)果表明，該頻譜感知算法的性能要優(yōu)于單天線協(xié)方差矩陣頻譜感知算法和基于MIMO 的協(xié)方差矩陣頻譜感知算法。同時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了該算法的有效性，而且在低信噪比條件下，該算法仍能進(jìn)行可靠的頻譜感知。

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