李偉明，申景詩，孫瑞勝，劉鵬云

（1.山東航天電子技術(shù)研究所，山東 煙臺(tái) 264003；2.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 210094）

地球模型偏差對(duì)遠(yuǎn)程彈箭彈道仿真的影響及修正*

李偉明1，申景詩1，孫瑞勝2，劉鵬云2

（1.山東航天電子技術(shù)研究所，山東 煙臺(tái) 264003；2.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，南京 210094）

針對(duì)地球模型精確度影響遠(yuǎn)程彈箭彈道仿真的問題，分析了地球模型偏差對(duì)彈道仿真精度的影響并加以修正。采用總的地球橢球系，在已有彈道模型的基礎(chǔ)上，分析了垂線偏差的產(chǎn)生機(jī)理及其對(duì)定向定位參數(shù)的影響，并由此得出彈道幾何偏移隨定向偏差的變化規(guī)律，研究了引力加速度初值偏差對(duì)彈道的誤差累積，并對(duì)由水準(zhǔn)面不平行性造成的實(shí)際落點(diǎn)高差進(jìn)行了理論推導(dǎo)。對(duì)比仿真算例表明，考慮地球模型偏差影響的仿真結(jié)果與不考慮的情況下差別較明顯，在遠(yuǎn)程條件下對(duì)彈道仿真精度的影響不容忽視。

彈道仿真，垂線偏差，定向定位偏差，落點(diǎn)高差

0 引言

彈道仿真是進(jìn)行導(dǎo)航姿控系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)、指令跟蹤、半實(shí)物仿真的基礎(chǔ)，彈道仿真的精度直接影響實(shí)際彈道落點(diǎn)。而遠(yuǎn)程彈箭的彈道仿真不同于常規(guī)彈箭，由于射程及彈道高很大，故要提高遠(yuǎn)程彈道的仿真精度，必須考慮可能存在的偏差影響并加以修正。在此問題上，近些年來很多學(xué)者分別從高空氣象條件［1］、測(cè)量偏差［2］、垂線偏差［3］、重力偏心［4］和遠(yuǎn)程彈道仿真落點(diǎn)約束條件［5］等角度對(duì)影響遠(yuǎn)程彈箭仿真精度的偏差因素進(jìn)行了深入的分析并提出了對(duì)應(yīng)的修正方案。實(shí)際上，地球模型的精確程度也是影響遠(yuǎn)程彈箭彈道仿真的重要因素。以往為簡(jiǎn)化彈道仿真計(jì)算，將地球近似為水準(zhǔn)面與橢球表面重合的參考橢球模型，而實(shí)際投彈實(shí)驗(yàn)及仿真都表明，這種近似會(huì)對(duì)彈道參數(shù)造成一定的偏差積累。

本文以遠(yuǎn)程彈箭為研究對(duì)象，采用總的地球橢球模型，深入分析了以往簡(jiǎn)化參考橢球模型中被忽略的地球模型偏差對(duì)彈道仿真精度的影響，并推導(dǎo)了基于遠(yuǎn)程彈道方程的偏差修正模型。對(duì)比仿真算例表明，地球模型偏差對(duì)遠(yuǎn)程彈箭彈道仿真參數(shù)的影響明顯，提出的偏差修正模型計(jì)算復(fù)雜度小，可直接用于彈道方程以提高仿真精度。

1 定向定位參數(shù)修正模型

以往為簡(jiǎn)化彈道計(jì)算，將地球近似視為一個(gè)能用數(shù)學(xué)公式嚴(yán)格確定的參考橢球體。因此，理論彈道仿真所采用的以參考橢球體法線為基準(zhǔn)的大地坐標(biāo)系OExEyEzE與實(shí)際發(fā)射時(shí)慣性系統(tǒng)所采用的以當(dāng)?shù)劂U垂線為基準(zhǔn)的天文坐標(biāo)系OTxTyTzT之間存在垂線偏差。垂線偏差使得實(shí)際定向定位參數(shù)偏離標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)值，從而直接影響彈道狀態(tài)參數(shù)。

設(shè)u為垂線偏差，ξ、η分別為u在子午圈和卯酉圈上的分量，則ξ、η滿足如下關(guān)系式［6］：

展開并忽略高階項(xiàng)，得：

式中，LT、BT分別為天文經(jīng)緯度；L、B分別為大地經(jīng)緯度。

1.1 初始方位角修正模型

經(jīng)緯儀在天文坐標(biāo)系下的水平面內(nèi)繞鉛垂線旋轉(zhuǎn)角Am與鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)過仰角θm在大地坐標(biāo)系下的投影由于發(fā)射點(diǎn)垂線偏差的影響而產(chǎn)生偏差，從而使得初始天文方位角偏離理論標(biāo)定值。忽略對(duì)準(zhǔn)系統(tǒng)的不平行度及不垂直度誤差因素且基準(zhǔn)線與大地北向夾角Amn已給出，單從彈道仿真的角度建立修正模型，利用OExEyEzE與OTxTyTzT之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系模擬經(jīng)緯儀傳遞對(duì)準(zhǔn)過程。

水平面內(nèi)：

鉛垂面內(nèi)：

由轉(zhuǎn)換矩陣等式兩邊對(duì)應(yīng)元素相等的特點(diǎn)，忽略二階小量并展開，可得初始天文方位角AT0與修正后初始天文方位角A'T0之間的關(guān)系：

根據(jù)拉普拉斯歸算方程，由式（2）可得修正后的初始大地方位角

1.2 發(fā)射點(diǎn)地心距修正模型

由于垂線偏差的存在，實(shí)際重力場(chǎng)中的重力向量與正常重力場(chǎng)中的正常重力向量不重合，地理緯度與地心緯度間的夾角μ向?qū)嶋H重力向量發(fā)生偏轉(zhuǎn)，進(jìn)而影響地心距的計(jì)算精度。

在無垂線偏差的參考橢球體條件下，發(fā)射點(diǎn)地心距R0由子午橢圓方程求得：

式中，ae、be分別為地球長(zhǎng)半軸和短半軸，φ0為發(fā)射點(diǎn)地心緯度。

以發(fā)射點(diǎn)O為中心作任意半徑輔助球，如圖1所示，OZ與地軸平行，OA為鉛垂線，OP為橢球地表法線，OD為過O點(diǎn)地心矢徑，過點(diǎn)A作圓弧AZ2垂直于面OZPD。由球面三角AZ2P幾何關(guān)系可求得偏離后實(shí)際重力向量與地心矢徑間夾角：

圖1 考慮垂線偏差時(shí)的實(shí)際重力向量幾何關(guān)系圖

地心距R0在實(shí)際發(fā)射系下的投影修正模型為：

2 幾何偏移修正模型

當(dāng)初始定向定位參數(shù)由于垂線偏差而偏離原標(biāo)定值時(shí)，勢(shì)必會(huì)造成實(shí)際發(fā)射慣性系Oipxipyipzip與姿態(tài)控制所采用的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)射慣性系Oixiyizi的不相符，實(shí)際彈道與理論彈道間存在幾何偏移，直接影響彈道在地心坐標(biāo)系中的位置。以實(shí)際發(fā)射慣性系為基準(zhǔn)建立偏差修正模型，Oipxipyipzip與Oixiyizi之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

式中，v，ρ為地速及位置矢量；帶前置符號(hào)△的量為參數(shù)偏差值；△v0為發(fā)射點(diǎn)初速偏差；△ρ0為發(fā)射點(diǎn)位置偏差。地心大地系到發(fā)射系的轉(zhuǎn)換矩陣為：

由Oipxipyipzip與Oixiyizi間的平移矩陣［2］可知：

式中，△B0、△L0為發(fā)射點(diǎn)大地緯度和經(jīng)度偏差量，A0、△A0為發(fā)射點(diǎn)大地方位角及其偏差量，H0、△H0為發(fā)射點(diǎn)大地高及高程差，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度。根據(jù)式（8）、式（9）計(jì)算了發(fā)射點(diǎn)幾何偏移隨定向定位參數(shù)偏差增大的變化情況，列于表1。

定義參數(shù)矩陣 Pi=（LT，BT，AT），Pip=（LT+△LT， BT+△BT，AT+△AT），由于誤差系數(shù)矩陣是在標(biāo)準(zhǔn)系Oixiyizi中計(jì)算的，因此，落點(diǎn)參數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)系內(nèi)的投影與原定參數(shù)之差即為落點(diǎn)偏差修正量。于是，落點(diǎn)的修正計(jì)算公式為：

表1 發(fā)射點(diǎn)幾何偏移隨定向定位參數(shù)偏差變化規(guī)律

3 引力加速度修正模型

常規(guī)彈箭在射程不是很大的情況下，可將地球模型簡(jiǎn)化作圓球體地表，而對(duì)于遠(yuǎn)程彈箭的彈道而言，這種地球模型的簡(jiǎn)化會(huì)造成彈道誤差積累。

由于離心慣性力在彈道方程中單獨(dú)建模，故此處只分析引力加速度精確修正模型。視地球?yàn)榭偟臋E球體，將引力位勢(shì)U展開為球諧函數(shù)級(jí)數(shù)，取展開式的前3個(gè)諧項(xiàng)作為正常橢球體對(duì)應(yīng)的正常引力位勢(shì)。根據(jù)“引力位勢(shì)對(duì)任意方向上的偏導(dǎo)數(shù)等于引力在該方向上的分量”的位函數(shù)特性，將引力加速度g在標(biāo)準(zhǔn)發(fā)射系內(nèi)r和ωe方向上分別求導(dǎo)，可得橢球體外部空間任一點(diǎn)的引力分量為：

式中，fM為地球引力常數(shù)，J2為地球帶諧系數(shù)，r為火箭彈質(zhì)心地心距。

引力加速度在發(fā)射坐標(biāo)系中可寫成矢量的形式：

由于初始定向定位參數(shù)存在偏差，g的實(shí)際初值應(yīng)是實(shí)際發(fā)射慣性系中參數(shù)的函數(shù)。進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開并忽略小量高階項(xiàng)后，化簡(jiǎn)得引力加速度初值修正量為：

其中，

式中，μ0為發(fā)射點(diǎn)天文緯度與地心緯度之差，R'0見式（6）。

雖然初始引力偏差的量級(jí)較?。?0-4），但對(duì)于遠(yuǎn)程彈道而言，初始偏差在迭代計(jì)算中會(huì)導(dǎo)致彈道誤差的持續(xù)積累。如表2所示，通過仿真計(jì)算證明，對(duì)于100 km以上射程的彈道可造成量級(jí)為101的偏差量，且g的精確程度直接影響了彈道狀態(tài)參數(shù)，所以不容忽視。

表2 引力初值偏差對(duì)彈道偏差的積累影響

4 落點(diǎn)高差修正模型

雖然遠(yuǎn)程彈箭彈道方程中使用高度h代替一般近程彈道方程中發(fā)射系縱坐標(biāo)y進(jìn)行彈道仿真，但在以往簡(jiǎn)化的參考橢球系中，水準(zhǔn)面與參考橢球面被視為同一地球表面。精確模型中，將地球視為總的地球橢球，此時(shí)大地水準(zhǔn)面與簡(jiǎn)化的參考橢球面分離。如圖2，由于大地水準(zhǔn)面的不平行性，發(fā)射點(diǎn)與落點(diǎn)處的大地水準(zhǔn)面與參考橢球面是不重合的。實(shí)際落點(diǎn)P'與簡(jiǎn)化模型中的理論落點(diǎn)P之間存在高程差ε。

圖2 精確彈道模型中的高程差

根據(jù)我國(guó)正常高程系統(tǒng)計(jì)算模型，P1、P2兩點(diǎn)間的水準(zhǔn)面不平行高程差為：

式中，γ0為P1、P2兩點(diǎn)間正常重力值為0.5HPi處的γ值。

上式中最后一項(xiàng)數(shù)值很小，可略去；第一項(xiàng)在P1、P2間距不大的情況下，可認(rèn)為γ0呈線性變化。略去化簡(jiǎn)過程，整理得：

式中，系數(shù)k可按P1、P2兩點(diǎn)平均天文緯度在水準(zhǔn)測(cè)量規(guī)范中查取，△B'T=BTP2-BTP1為P1、P2兩點(diǎn)天文緯度差，Hm為P1、P2兩點(diǎn)平均高度。

在彈道仿真中，在已知參考橢球面模型下理論彈道落點(diǎn)P的天文緯度及BTP落點(diǎn)地心距RP后，可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的地心緯度φP，所以再求出圖3中所示的落點(diǎn)P與P'的地心緯度之差△φ，即可確定實(shí)際彈道落點(diǎn)P'的天文緯度BTP'，進(jìn)而可通過式（19）求出落點(diǎn)高程差ε。

由于P、P'兩點(diǎn)間距相對(duì)于全彈道比例很小，為簡(jiǎn)化計(jì)算，將△h線性化為高程差ε，在圖3的△OEP'P中，有幾何關(guān)系式：

為推導(dǎo)方便，將式（20）改寫為：

線性化并求偏導(dǎo)數(shù)：

用式（19）替換式（22）中的△h，可得：

解隱式方程式（23）可求出△φ，從而確定P'點(diǎn)天文緯度BTP'，回帶至式（19）可求出落點(diǎn)高程差ε。

5 算例分析

為分析不同地球模型偏差因素對(duì)彈道仿真計(jì)算的影響，以某110 km遠(yuǎn)程制導(dǎo)火箭彈為研究對(duì)象進(jìn)行了方案彈道的六自由度彈道對(duì)比仿真計(jì)算。設(shè)發(fā)射點(diǎn)地理經(jīng)度為119°，地理緯度為38°，正北方向發(fā)射，取該點(diǎn)為平原條件下的垂線偏差ξ=4''、η=5''。火箭彈初始質(zhì)量718.8 kg，原定初速50 m/s，射角40°，氣象條件采用射高在30 km以下的標(biāo)準(zhǔn)炮兵氣象條件。將本文第1～2節(jié)的修正模型歸為垂線偏差影響，如表3所示，△x、△y、△z為考慮偏差影響與不考慮偏差影響計(jì)算所得的彈道落點(diǎn)位置之差；△vx、△vy、△vz為考慮偏差影響與不考慮偏差影響計(jì)算所得的彈道落點(diǎn)地速之差。

表3 有偏差影響與無偏差影響的落點(diǎn)參數(shù)之差

通過對(duì)比仿真可看出，垂線偏差對(duì)彈道仿真落點(diǎn)參數(shù)的影響在總模型偏差中所占比例大于50%，對(duì)橫向位置偏移影響最大，但對(duì)落點(diǎn)速度參數(shù)影響相對(duì)要?。灰铀俣扔?jì)算精度對(duì)射程的仿真影響較大，約占總模型偏差影響的47%；落點(diǎn)高差對(duì)縱向仿真結(jié)果影響最大，由于要通過解隱式函數(shù)求取實(shí)際落點(diǎn)的天文緯度，故求解過程存在一定的迭代精度誤差，但由于落點(diǎn)高差影響比例不大，所以迭代計(jì)算精度對(duì)彈道仿真造成的估算誤差可以忽略。

6 結(jié)論

由上面分析可知，垂線偏差對(duì)定向定位參數(shù)的影響量與天文、大地參數(shù)差的數(shù)量級(jí)相同，并會(huì)對(duì)彈道動(dòng)力學(xué)參數(shù)造成影響，同時(shí)會(huì)對(duì)全彈道造成幾何偏差，是影響遠(yuǎn)程彈箭彈道仿真精度的主要因素。引力加速度初值偏差會(huì)在彈道仿真迭代計(jì)算中不斷積累，并最終對(duì)仿真結(jié)果造成一定的影響。落點(diǎn)高差主要影響彈道仿真中的迭代計(jì)算結(jié)束條件，對(duì)彈道解算的影響隨射程的增加而增大。因此，在進(jìn)行遠(yuǎn)程彈箭的彈道仿真時(shí)，有必要考慮地球模型偏差以提高仿真精度。

［1］李臣明.高空氣象與氣動(dòng)力對(duì)遠(yuǎn)程彈箭彈道影響的研究［D］.南京：南京理工大學(xué)，2007.

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Analysis and Correction to Effect of Earth Model Deviation on Trajectory Simulation of Long-Range Missile

LI Wei-ming1，SHEN Jing-shi1，SUN Rui-sheng2，LIU Peng-yun2
（1.Shandong Aerospace Electro-technology Institute，Yantai 264003，China；
2.School of Energy and Power Engineering，Nanjing University of Science，Nanjing 210094，China）

The precision of earth model influenced the trajectory simulation of long-rang missile. Aiming at this problem，the effect of earth model deviation on the simulation accuracy is analyzed and the correctional method is presented.Adopting the model of all ellipsoid，this paper analyzes the generation mechanism of plumb-line deflection which affects the parameters of orientation and presented the changing regularity of ballistic geometry migration.Meanwhile，the accumulation of ballistic errors due to the initial deviations of gravity acceleration is studied and landing height difference stem from the nonparallelism of level surface is deduced theoretically based on the existing model trajectory.The contrastive examples indicate that the calculated results are obvious different in both cases.The factors which impact the precision of simulation should not be ignored in the calculation of long-range missile.

trajectory simulation，plumb-line deflection，orientation and position error，launch point altitude error

TP391.9

A

1002-0640（2015）03-0011-05

2014-01-16

2014-03-15

國(guó)家自然科學(xué)基金和中國(guó)物理研究院聯(lián)合基金（11176012）；南京理工大學(xué)自主科研專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（2010ZYTS045）

李偉明（1985- ），男，山東煙臺(tái)人，博士研究生。研究方向：飛行力學(xué)，先進(jìn)彈箭制導(dǎo)與控制技術(shù)。