高鐘毓，賀曉霞，何虔恩

（清華大學 精密儀器系，北京 100084）

空間穩(wěn)定平臺通用誤差模型

高鐘毓，賀曉霞，何虔恩

（清華大學 精密儀器系，北京 100084）

自由轉(zhuǎn)子陀螺是一種二自由度機電陀螺，其漂移特性可應用二次型漂移誤差模型描述。從二次型漂移誤差模型出發(fā)，推導了殼體翻滾條件下的調(diào)制平均漂移誤差模型，并推廣到空間穩(wěn)定平臺上工作的極軸陀螺和赤道陀螺；列寫了二次型陀螺漂移誤差模型驅(qū)動下的空間穩(wěn)定平臺標稱運動方程；經(jīng)過擾動線性化，求解出平臺標稱運動軌跡增量坐標的解析表達式；基于擾動線性化模型并考慮到加速度計測量誤差，證明了觀測變量為緯度誤差、經(jīng)度誤差及冗余軸轉(zhuǎn)角誤差時，空間穩(wěn)定平臺運動方程的17項誤差系數(shù)都是可辨識的；分析了該17項誤差系數(shù)的估計精度與加速度計組合件測量誤差的關(guān)系。仿真和實驗結(jié)果表明本文提出的通用誤差模型是有效的。

空間穩(wěn)定平臺；自由轉(zhuǎn)子陀螺；漂移誤差；模型辨識

慣性導航系統(tǒng)誤差模型是系統(tǒng)誤差分析與控制的基礎(chǔ)。目前，研究慣性導航系統(tǒng)誤差模型的文獻很多，其中研究統(tǒng)一誤差模型或通用誤差模型的有文獻[1-8]等。文獻[9]針對不同機械編排的慣性導航系統(tǒng)，給出了相應的詳細的系統(tǒng)誤差方程，并指出誤差模型具有等價性。但是，對于不同形式的慣性導航系統(tǒng)，慣性儀表被穩(wěn)定在不同的測量參考坐標系中，加速度計和陀螺儀本身具有的測量誤差將通過不同的坐標變換折合到相同的導航解算坐標系，所形成的誤差驅(qū)動函數(shù)是不一樣的。因此，它們作用于相同的誤差模型，將會引起不同的時間響應——誤差傳播特性。

慣性導航系統(tǒng)是一種非線性、時變系統(tǒng)，由各種各樣的誤差源激勵出不同的誤差傳播特性。最主要的誤差源有陀螺儀漂移誤差、加速度計測量誤差(偏置、標度因子及非線性等)、陀螺平臺框架伺服系統(tǒng)誤差，以及地球重力模型誤差等。通常，采用陀螺殼體旋轉(zhuǎn)或臺體旋轉(zhuǎn)等技術(shù)措施來調(diào)制平均陀螺儀與殼體相關(guān)的常值漂移角速度，以達到自動補償效果，這是非常必要和有效的。文獻[10]中已經(jīng)給出了靜電陀螺14個誤差系數(shù)的二次型漂移誤差模型經(jīng)過殼體旋轉(zhuǎn)調(diào)制后，只剩余4個誤差系數(shù)，本文對于更為通用的20個誤差系數(shù)的模型經(jīng)殼體旋轉(zhuǎn)調(diào)制后的形式進行了推導，并給出了此誤差模型驅(qū)動下的空間穩(wěn)定平臺標稱運動方程；同時考慮了加速度計通用誤差模型，推導了空間穩(wěn)定平臺運動方程的17項誤差系數(shù)通用模型，并證明這些系數(shù)都是可辨識的。

1 二次型陀螺漂移誤差模型

對于任何二自由度機電陀螺，引起陀螺漂移的自變量只有作用于陀螺的比力矢量f =(fxkfykfzk)。采用一般表示式，陀螺漂移角速度(ωdx,ωdy)可表示為

式中，φj(·)(其中j=A,B)表示比力矢量的函數(shù)。式(1)展開成泰勒級數(shù)，可得

該二次型陀螺漂移誤差模型普遍適用于任何型式的二自由度機電陀螺。然而，不同型式的陀螺具有不同的誤差源，模型系數(shù)對總漂移的貢獻也是不同的。例如，靜電陀螺基于保守的靜電干擾力矩而導出的漂移模型僅含14個系數(shù)［10］。與二次型漂移誤差模型相比較，其減少了6項漂移系數(shù)，即 D(A)yfy、D(A)xyfxfy、D(A)yzfyfz、D(B)xfx、D(B)xyfxfy、D(B)xzfxfz等。這6項漂移系數(shù)反映了作用于陀螺的非守恒力矩（如剩余磁場的電磁干擾力矩、剩余氣體的阻尼力矩）、正交不平衡力矩及結(jié)構(gòu)交叉變形耦合濾波效應等。

2 陀螺殼體翻滾條件下的漂移誤差模型

當陀螺殼體翻滾時，殼體坐標系中的比力可表示為

式中：fx,fy,fz是平臺坐標系中表示的陀螺受到的比力；ρ=ρ˙t+φ0為殼體翻滾角。將式(4)代入式(3)可得

在殼體翻滾條件下，調(diào)制后的陀螺漂移角速度可表示為

將式(5)代入式(6)，可得殼體翻滾調(diào)制后的陀螺漂移角速度。

考慮到空間穩(wěn)定平臺相對地球的旋轉(zhuǎn)角速度非常緩慢，其變化頻率近似于地球自轉(zhuǎn)角速率ωie，而陀螺殼體翻滾的角頻率比舒拉頻率ωs還高10～20倍。因此，在求取調(diào)制后的陀螺漂移角速度(ω?dx,ω?dy)對殼體翻滾周期T=2π/ρ˙的平均值時，可將穩(wěn)定平臺上的加速度計組合件輸出的比力矢量(fx,fy,fz)近似為常量。于是，利用正余弦函數(shù)的正交性，可得調(diào)制平均后的陀螺漂移角速度和為

式中，xε、yε表示沿X軸和沿Y軸調(diào)制平均后剩余的g0項漂移誤差。注意，采用四位置殼體翻滾與陀螺殼體連續(xù)旋轉(zhuǎn)一樣，式(7)都是成立的[9]。

3 空間穩(wěn)定平臺上的陀螺漂移誤差模型

參考圖1，平臺由里到外，由穩(wěn)定元件（臺體）、內(nèi)框、中框及外框組成。在穩(wěn)定元件上安裝三軸加速度計組合件和兩只自由轉(zhuǎn)子陀螺。其中，一只陀螺的動量矩矢量平行地軸，另一只的動量矩矢量平行赤道平面，分別稱為極軸陀螺和赤道陀螺。赤道陀螺通過冗余環(huán)安裝在臺體上，冗余環(huán)的轉(zhuǎn)軸平行于平臺坐標系的YP軸，在初始時刻與中環(huán)軸一致。

圖1 空間穩(wěn)定平臺原理圖Fig.1 Mechanism of space stable platform

極軸陀螺輸出的二自由度角度信號分別控制內(nèi)環(huán)軸和中環(huán)軸上的伺服電動機。赤道陀螺輸出的二自由度角度信號分別控制臺體軸和冗余軸的伺服電動機。外環(huán)軸伺服電動機，根據(jù)平臺工作狀態(tài)，由內(nèi)環(huán)軸或臺體軸上的角度傳感器信號控制。

空間穩(wěn)定平臺上的陀螺儀保持不施加指令力矩，工作在自由陀螺狀態(tài)，消除了陀螺儀力矩器的附加誤差，可充分發(fā)揮陀螺儀潛在的精度。

由于平臺是空間穩(wěn)定的，因此，平臺上的加速度計組合件測量的是運載體在空間穩(wěn)定坐標系中的比力矢量(fxP,fyP,fzP)。在空間穩(wěn)定平臺上，極軸陀螺坐標系與平臺坐標系名義上一致，動量矩矢量平行于臺體軸。即H1//ZP。因此，極軸陀螺坐標系中的比力矢量(f1x,f1y,f1z)等于(fxP,fyP,fzP)。于是，在殼體翻滾條件下，極軸陀螺調(diào)制平均后漂移誤差模型可由式(7)表示為

空間穩(wěn)定平臺上的赤道陀螺動量矩矢量與平臺的XP軸一致。作用于赤道陀螺的比力矢量為(f2x,f2y,f2z)，可計算如下：

這里，Yr表示平臺冗余軸轉(zhuǎn)角。

由于赤道陀螺的殼體轉(zhuǎn)軸沿著X軸，其輸出軸分別為Y軸和Z軸，因此在殼體翻滾條件下，利用式(7)，通過坐標變換x→y、y→z及z→x，赤道陀螺的漂移誤差模型可表示為

引入符號：

則赤道陀螺漂移誤差模型可簡化為

4 空間穩(wěn)定平臺運動方程及其解

［9］中的公式（5.109），空間穩(wěn)定平臺的標稱運動方程可表示為

式中，(ω1x,ω1y)和(ω2y,ω2z)分別為極軸陀螺和赤道陀螺的漂移角速度。二次型陀螺漂移誤差模型在殼體翻滾條件下，分別如式(8)和式(9)所示。

令XPYPZP（P系）、XeYeZe示（e系）及NED（n系）分別表示空間穩(wěn)定平臺坐標系、原點在地心的地球坐標系及本地水平指北坐標系（又稱地理坐標系）。假設(shè)XPYPZP相對XeYeZe的三個歐拉角為（-S1,σ1,-γ2），那么，由e系到P系的方向余弦矩陣為

由n系到e系的方向余弦矩陣為

式中，S1、σ1為角分級的小角度。因此，由n系到P系的方向余弦矩陣可近似為

于是，在靜止基座上，或者低速巡航運載體上，重力加速度g在P系（即，極軸陀螺坐標系）中引起的比力矢量為

式中，第二等式已經(jīng)令g=1。

將作用于極軸陀螺的比力代入極軸陀螺漂移誤差模型(8)，可得

式中，d11=d11+d12sinL 。而作用于赤道陀螺的比力矢量可表示為

將式(14)代入赤道陀螺漂移誤差模型(9)，在略去二階小量的條件下，可將赤道陀螺漂移誤差模型簡化為

將極軸陀螺漂移誤差模型(13)和赤道陀螺漂移誤差模型(15)代入式(10)，可得四環(huán)空間穩(wěn)定平臺運動方程為

空間穩(wěn)定平臺運動方程組(16)經(jīng)過擾動線性化處理，可得線性化誤差模型為

下面，讓我們聯(lián)立求解方程組(17)中的第一式和第二式。不失一般性，令，且˙2-ωie）為小量。求解結(jié)果，可得

5 通用誤差模型及其可辨識性

除了陀螺，影響導航誤差的還有加速度計誤差Δfe，考慮加速度計誤差后，令

式中，z1、z2為觀測變量如下：

根據(jù)緯度誤差δL、經(jīng)度誤差δ?cosL，可得[9，P386]：

利用上述各個表達式，可將方程(19)及冗余軸轉(zhuǎn)角誤差ΔYr改寫為

由新的觀測方程(20a)～(20c)，易見，利用等式右邊各項系數(shù)的正交性，根據(jù)觀測變量序列，我們可得下列估計值：

① 由｛y1（ti）｝可以獨立估計及

② 在已知上述估計的基礎(chǔ)上，由｛y2（ti）｝可以估計

③ 在已知上述估計的基礎(chǔ)上，由｛ΔYr（ti）｝可以估計

④ 最后，還可以進一步分離下列參數(shù)：

至此已經(jīng)證明空間穩(wěn)定平臺的所有17項誤差系數(shù)都是可以辨識的，其中包括：

① 平臺4項失準角：

② 極軸陀螺4項漂移誤差系數(shù)：

③ 赤道陀螺6項漂移誤差系數(shù)：

6 仿真及實驗結(jié)果

先根據(jù)以下步驟產(chǎn)生仿真數(shù)據(jù)：

Step 1. 設(shè)置平臺三個角和冗余軸的初始轉(zhuǎn)角；

Step 2. 根據(jù)式(12)(14)求出作用于極軸、赤道陀螺的比力矢量；

Step 3. 設(shè)置陀螺漂移誤差系數(shù)和殼體翻滾失調(diào)角、角速度，根據(jù)式(3)(4)和步驟2得到的比力矢量，求極軸、赤道靜電陀螺漂移角速度；

Step 4. 把步驟3求得的漂移角速度代入式(16)，用數(shù)值微分方程求解微分方程，產(chǎn)生平臺三個失調(diào)角及冗余軸轉(zhuǎn)角；

Step 5. 設(shè)置加速度計誤差系數(shù)，根據(jù)式(19)求觀測變量；

Step 6. 把產(chǎn)生的仿真數(shù)據(jù)代入卡爾曼濾波器，用48 h數(shù)據(jù)得到待估計參數(shù)，然后利用估計出的參數(shù)預報后10天的平臺角或經(jīng)緯度誤差并與理論值做差，得到預報殘差。

表1 不考慮加表誤差時，用平臺角和冗余軸轉(zhuǎn)角估計結(jié)果Tab.1 Estimation result by using platform angle and redundancy angle without considering accelerometer error

圖2 不考慮加速度計誤差時平臺角和冗余軸角的預報殘差Fig.2 Predicted residuals of platform angle and redundancy angle without considering accelerometer error

以下是仿真試驗結(jié)果：

① 不考慮加表誤差，根據(jù)式(16)建立14狀態(tài)卡爾曼濾波器，估計值如表1所示，平臺角預報殘差如圖2所示（其中，各系數(shù)均作了歸一化處理，下同）。

由圖2和表1可見，10項陀螺漂移誤差系數(shù)估計精度優(yōu)于1%，各平臺角預報誤差優(yōu)于0.0005/10 days，說明14個漂移系數(shù)的估計都是無偏的。

② 考慮加表誤差，根據(jù)式(20)，估計17個系數(shù)。加速度計誤差給定值如表2所示，估計值如表3所示，經(jīng)緯度預報殘差如圖3所示。

由圖3和表3可見，10項陀螺漂移誤差系數(shù)、3項加速度計誤差系數(shù)估計精度優(yōu)于1%，經(jīng)緯度預報誤差優(yōu)于0.012/10 days，比實際使用需要小250倍，說明17個系數(shù)的估計都是精確的。

表2 加表誤差給定值Tab.2 Accelerometer errors

表3 考慮加表誤差時，用經(jīng)緯度和冗余軸轉(zhuǎn)角估計結(jié)果Tab.3 Estimation results by using longitude, latitude and redundancy angle with considering accelerometer error

圖3 考慮加速度計誤差時經(jīng)緯度和冗余軸轉(zhuǎn)角的預報殘差Fig.3 Predicted residuals of longitude, latitude and redundancy angle with con sidering accelerometer error

③ 實驗結(jié)果

圖4是某次實驗的系數(shù)收斂情況及導航誤差曲線，圖中，對導航誤差進行了歸一化，最大值“1”設(shè)置為給定指標的1/3，實驗情況表明新的通用誤差模型能滿足實際使用需要。

圖4 某次實驗的系數(shù)收斂情況及導航誤差曲線Fig.4 State estimation and navigation error

7 結(jié) 論

① 通用二次型陀螺漂移誤差模型含有20個漂移系數(shù)，但在殼體翻滾條件下可簡化為6系數(shù)模型。進一步，對于空間穩(wěn)定平臺上的極軸陀螺和赤道陀螺，可分別簡化為4系數(shù)模型和6系數(shù)模型。

② 對于二自由度機電陀螺空間穩(wěn)定平臺，在陀螺殼體翻滾條件下，平臺所具有的17項誤差系數(shù)（含4項平臺失準角、10項陀螺漂移系數(shù)及3項加速度計組合件測量誤差系數(shù)），都是可辨識的。

③ 在有加速度計組合件測量誤差條件下，3項平臺失準角和3項陀螺g1項漂移誤差系數(shù)的估計是有偏的。為了消除該6項估計的有偏性，必須驗前精確標校加速度計組合件的測量誤差模型。這樣，平臺的17項誤差系數(shù)可減少3項，且剩余的14項誤差系數(shù)估計都是無偏的。

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General error model for space stable platform

GAO Zhong-yu, HE Xiao-xia, HE Qian-en
(Department of Precision instrument, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

The drift model of a 2-D free-rotor mechanical gyroscope is usually in quadratic form of specific force. Based on this form, the mean drift model modulated by case rotation-dwell device is derived for both the polar and equatorial gyroscopes on space stable platform. Following this mean drift model, the normal movement of the space stable platform can be modeled and analytically expressed by using perturbation theory. Based on the perturbation linearization model and taking into account the accelerometer’s measurement error, it is proved that the 17-coefficients of the space stable platform are all observable when the observed variables are errors of latitude, longitude and redundancy frame angle. The relationship between the estimation precision of the 17 coefficients and the accelerometer’s measurement error is analyzed and numerically simulated. The simulation and experiment results demonstrate the efficiency of the general error model.

space stable platform; free rotor gyroscope; drift model; model identification

U666.1

A

1005-6734(2015)04-0421-08

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.04.001

2015-02-18；

2015-07-09

國防科技預研項目（51309050202）

高鐘毓（1936—），男，教授，從事慣性導航研究。E-mail：gaozy@tsinghua.edu.cn

聯(lián) 系 人：賀曉霞（1977—），女，副研究員，從事慣性元件、系統(tǒng)研究。E-mail：hexx@tsinghua.edu.cn