戴大勇

一、問(wèn)題的提出

應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題是物理課程標(biāo)準(zhǔn)（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）規(guī)定學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)基本技能[1]，在不少省市的高考說(shuō)明中對(duì)函數(shù)思維能力都有明確的表述。

以函數(shù)思維來(lái)審視物理中變量之間的關(guān)系，往往能夠化難為易、化繁為簡(jiǎn)，起到事半功倍的作用，不但能提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力，而且可以開(kāi)闊學(xué)生的視野，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理學(xué)習(xí)的深度，激發(fā)學(xué)生的興趣.

二、主要概念的界定

（一）函數(shù)思維

函數(shù)描述了自然界中量的制約關(guān)系，反映了一個(gè)事件（或參量）隨著其他若干個(gè)事件（或參量）變化而變化的關(guān)系和規(guī)律.函數(shù)的思維方法就是用聯(lián)系的變化的觀點(diǎn)抽象出對(duì)象的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系式（畫出函數(shù)圖象），并利用函數(shù)的性質(zhì)研究、解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思維方法[2].

（二）過(guò)程性培養(yǎng)

初高中學(xué)生在思維方式上有兩大區(qū)別：（1）形象思維與抽象思維的區(qū)別，（2）感性思維與理性思維的區(qū)別.應(yīng)用函數(shù)思維解決物理問(wèn)題則是有效提升高中生應(yīng)用抽象思維、理性思維解決問(wèn)題能力的重要抓手.

學(xué)生形成用函數(shù)思維解決物理問(wèn)題的習(xí)慣是一項(xiàng)系統(tǒng)、漫長(zhǎng)且螺旋式上升的過(guò)程，絕非一朝一夕可以實(shí)現(xiàn)的.為了更有效培養(yǎng)高中生應(yīng)用函數(shù)思維解決物理問(wèn)題的能力，我們必須對(duì)這項(xiàng)工作進(jìn)行高中三年教學(xué)的全程設(shè)計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的函數(shù)思想進(jìn)行過(guò)程性培養(yǎng)，而非階段性的權(quán)宜之計(jì).

三、理論支撐

建構(gòu)主義認(rèn)為：（1）學(xué)習(xí)就是在一定情境即社會(huì)文化背景下，借助其他人的幫助即通過(guò)人際間的協(xié)作交流活動(dòng)而實(shí)現(xiàn)有意義的建構(gòu)過(guò)程;（2）學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知圖式與即將學(xué)習(xí)的知識(shí)之間相互作用主要包括“同化”和“順應(yīng)”兩種.學(xué)習(xí)者把一個(gè)新認(rèn)知納入已有的認(rèn)知圖式的過(guò)程稱之為同化.當(dāng)遇到不能同化的知識(shí)時(shí)，學(xué)習(xí)者調(diào)整已有的認(rèn)知圖式，以習(xí)得新的知識(shí)，稱之為順應(yīng)[3].

在進(jìn)入高中前，學(xué)生已經(jīng)有了一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，且也有用函數(shù)思維解決問(wèn)題的經(jīng)歷（如初中物理中所涉及的壓強(qiáng)、歐姆定律、浮力等問(wèn)題）.此時(shí)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將這些零散的、隱性思維方法建立具有普遍意義的認(rèn)知圖式，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)中的順應(yīng)和同化做好準(zhǔn)備.

四、函數(shù)思維法教學(xué)模式的探索

函數(shù)思維法作為解決問(wèn)題的一種重要方法，不少中學(xué)教師均認(rèn)識(shí)到了這一點(diǎn)，也做了不少研究和探索，但大部分的研究還只是一些例證性的，理論性的文章或成果并不多見(jiàn).其中文獻(xiàn)4提出了函數(shù)法思維教學(xué)模式，其教學(xué)模式的網(wǎng)絡(luò)陣圖如下（如圖1所示）[4].

由圖1可見(jiàn)：（1）認(rèn)識(shí)規(guī)律和掌握規(guī)律有順應(yīng)和同化兩種方式，兩種方式間存在動(dòng)態(tài)循環(huán)關(guān)系;（2）不同科學(xué)量間存在因與果、基礎(chǔ)與遞進(jìn)等關(guān)系;（3）掌握函數(shù)思維方法通常要經(jīng)歷“建立方法、嘗試運(yùn)用方法、自覺(jué)運(yùn)用方法”三個(gè)階段;（4）“認(rèn)知→程序→思維”是思維能力由低級(jí)到高級(jí)，由表象到深層次、由喚醒到自覺(jué)的發(fā)展過(guò)程.

五、函數(shù)思維能力過(guò)程性培養(yǎng)的策略

（一）“顯現(xiàn)化”的策略

教學(xué)中常常會(huì)看到這樣的現(xiàn)象，有些教師怕被扣上“填鴨式教學(xué)”的帽子，凡教學(xué)必“啟發(fā)式”，回避“顯現(xiàn)化”的方式.凡事都有度，教學(xué)方式亦如此.過(guò)度“繞彎式的啟發(fā)”給學(xué)生制造了學(xué)習(xí)的障礙，適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)破“窗戶紙”也是可以的.函數(shù)思維本身屬于抽象思維，在物理課程中表現(xiàn)得比較隱性，進(jìn)行“顯現(xiàn)化”處理非常必要，否則會(huì)顯得很晦澀.如何“顯現(xiàn)化”呢？筆者設(shè)計(jì)了如下基本程式（如圖2所示）.

【例1】地球和月球的半徑之比為=4，表面重力加速度之比為=6，則地球和月球的密度ρ之比為 ? ? ? ? ? ?.

【析與解】尋求ρ=f（g，R）的函數(shù)關(guān)系式為思維目標(biāo)，ρ=、V=是思維起點(diǎn)，而M=則是思維橋梁.可求得目標(biāo)關(guān)系式ρ=，其中ρ為應(yīng)變量，g、R為自變量，剔除相同物理量（定量），進(jìn)一步可得ρ∝，則答案為1.5.

根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，若在函數(shù)思維培養(yǎng)過(guò)程中常用一些函數(shù)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行教學(xué)，對(duì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行“顯性化”處理，則學(xué)生遇到類似問(wèn)題應(yīng)用函數(shù)思維的“敏感度”會(huì)提高.常用的術(shù)語(yǔ)有：“自變量”“應(yīng)變量”“表達(dá)式”“定義域”“值域”“分段函數(shù)”及“函數(shù)的單調(diào)性”等.

（二）數(shù)形結(jié)合的策略

函數(shù)的表示方法有：解析法、列表法、圖象法等.圖象法和解析法是高中物理最常用的表示方法，兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn).圖象法的優(yōu)點(diǎn)則是形象直觀，方便判斷物理量的變化趨勢(shì)，有利于快速?gòu)恼w上把握問(wèn)題，必要時(shí)可與現(xiàn)代教育技術(shù)相結(jié)合（如例2）;而解析法的優(yōu)點(diǎn)是精確，方便以方程（組）的形式解出物理量的具體值（如例3）.在具體應(yīng)用函數(shù)法解決問(wèn)題時(shí)，可以根據(jù)問(wèn)題需要選擇合適的表示方法.

【例2】如圖3所示，兩個(gè)電荷量絕對(duì)值都是q的點(diǎn)電荷，二者間的距離為2a，討論兩電荷中垂線上電場(chǎng)強(qiáng)度的變化情況.

【析與解】中垂線上的A點(diǎn)與垂足O相距x，由對(duì)稱性、點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式和場(chǎng)的疊加原理可求得：E=.

此處E極值的求解過(guò)程對(duì)數(shù)學(xué)的要求已經(jīng)超出教學(xué)要求.如何既能避開(kāi)煩瑣的數(shù)學(xué)過(guò)程，又可以對(duì)這一問(wèn)題有整體性的把握，筆者嘗試?yán)肊xcel的圖表功能描出了如圖4所示的E與的關(guān)系圖象，從圖上可以觀察到在∈[0，+∞），函數(shù)的單調(diào)性發(fā)生一次改變，即有極大值.利用Excel的圖表功能，既簡(jiǎn)化了問(wèn)題討論的過(guò)程，也從客觀上提高了學(xué)生應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)解決問(wèn)題的能力，適應(yīng)新的教育要求.

【例3】利用圖5所示電路可以測(cè)出電壓表的內(nèi)阻.已知電源的內(nèi)阻可以忽略不計(jì)，R為電阻箱.閉合開(kāi)關(guān)，當(dāng)R取不同阻值時(shí)，電壓表對(duì)應(yīng)有不同讀數(shù)U.多次改變電阻箱的阻值，所得到的-R圖象在圖6中正確的應(yīng)該是（ ? ?）

【析與解】設(shè)電源電動(dòng)勢(shì)為E，電壓表內(nèi)阻為RV，電壓表的讀數(shù)為U，本問(wèn)題的自變量可認(rèn)為是電阻箱的電阻R，而則為應(yīng)變量.由閉合電路的歐姆定律，可得I=，則U=E-IR=E-，化簡(jiǎn)得=+，即兩者是一次函數(shù)關(guān)系，則A正確.endprint

（三）準(zhǔn)確把握參量獨(dú)立性的策略

物理量間的關(guān)系往往比純數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的關(guān)系更隱性、更復(fù)雜，其中一個(gè)重要的原因是有時(shí)不能一下子把一個(gè)問(wèn)題中的定量與變量區(qū)分開(kāi)來(lái)，也就是各物理量是獨(dú)立量還是關(guān)聯(lián)量.最典型的就是比值定義法定義的物理量與相關(guān)物理量間的關(guān)系，不能說(shuō)比值與分子成正比、與分母成反比，如密度ρ=，電阻R=，加速度a=，場(chǎng)強(qiáng)E=，電勢(shì)φ=，電勢(shì)差UAB=，電容C=……學(xué)生能比較容易地理清上述物理量間的關(guān)系，其中一個(gè)重要原因是，在新課教學(xué)時(shí)老師往往都進(jìn)行了強(qiáng)化.但有時(shí)就不是那么簡(jiǎn)單了，如例4.

【例4】人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為r，線速度為v，周期為T，要使衛(wèi)星的周期變?yōu)?T，可以采取的辦法是（ ）

A.r不變，使線速度變?yōu)?/p>

B.v不變，使軌道半徑變?yōu)?r

C.使衛(wèi)星的高度增加r

D.使軌道半徑變?yōu)閞

【析與解】如果應(yīng)用T=的關(guān)系式則會(huì)選擇AB，顯然不正確，因?yàn)楸磉_(dá)式中分子（r）和分母（v）是關(guān)聯(lián)物理量.對(duì)于同一中心天體而言，所有環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)學(xué)參量（T，v，ω，an）與其他因素?zé)o關(guān)，是軌道半徑r的函數(shù).把r視作自變量（中心天體質(zhì)量M一定），其他參量視為應(yīng)變量，則有：T=2π，v=，an=.則T∝r，選D.

該類問(wèn)題的關(guān)鍵是關(guān)系式中分子上的物理量與分母上的物理量是獨(dú)立量（一個(gè)物理量的變化不會(huì)引起其他量的連鎖反應(yīng)），還是關(guān)聯(lián)量（與獨(dú)立量相對(duì)）.在說(shuō)一個(gè)物理量（應(yīng)變量）與其他物理量（自變量）間是什么關(guān)系時(shí)，要保證一個(gè)自變量變化時(shí)，其他自變量能保持不變，即符合控制變量法的要求.由于知識(shí)水平和看問(wèn)題的角度所限，學(xué)生容易犯上述錯(cuò)誤，教師在教學(xué)中應(yīng)常指導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)表達(dá)式中各自變量的獨(dú)立性如何.

（四）循序漸進(jìn)的策略

俗話說(shuō)“習(xí)慣成自然”，而思維習(xí)慣的養(yǎng)成更不能一蹴而就，是一個(gè)長(zhǎng)期復(fù)雜的過(guò)程，即需要進(jìn)行過(guò)程性培養(yǎng).教學(xué)對(duì)象和教學(xué)目標(biāo)，決定了教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程和教學(xué)形式.首先，從生理和心理的角度講，剛進(jìn)入高中的學(xué)生抽象思維遠(yuǎn)不如形象思維發(fā)達(dá)，抽象思維才剛剛形成;其次，從知識(shí)和能力角度講，他們?cè)诔踔兴鶎W(xué)的函數(shù)知識(shí)大部分還只是討論一些純數(shù)學(xué)的問(wèn)題，數(shù)理結(jié)合的形式并不多見(jiàn);再次，從認(rèn)知規(guī)律角度講，人類對(duì)規(guī)律的認(rèn)知必然要經(jīng)歷從模糊到清晰、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程，由感性上升到理性的過(guò)程.

培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思維應(yīng)盡早啟動(dòng)，把握住教學(xué)過(guò)程中的契機(jī)，并貫穿于三年教學(xué)的全過(guò)程.筆者曾以《2014江蘇省普通高中學(xué)習(xí)水平測(cè)試（選修科目）說(shuō)明》為基礎(chǔ)，研究了高考考點(diǎn)，其中至少有20個(gè)知識(shí)點(diǎn)適合培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思維能力，限于篇幅不在此羅列.

解決物理問(wèn)題的思想方法有很多，函數(shù)思維只能在部分物理問(wèn)題的解決中顯示出其優(yōu)越性，正是這種教學(xué)時(shí)間上的間隙性，所以應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適時(shí)把握機(jī)會(huì).

（五）專題強(qiáng)化的策略

經(jīng)過(guò)基礎(chǔ)年級(jí)的學(xué)習(xí)、體驗(yàn)，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)初步具備了應(yīng)用函數(shù)思維方法解決相關(guān)物理問(wèn)題的能力.但由于前期能力培養(yǎng)的時(shí)間比較零散，為了使學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思維解決問(wèn)題的能力再深化、內(nèi)化，對(duì)這種方法的應(yīng)用變得更加自覺(jué)，教師在高三年級(jí)有必要通過(guò)專題的形式鞏固前期的效果.

縱觀高三復(fù)習(xí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)適合集中提升學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思維解決問(wèn)題能力的專題主要有兩大類：（1）用解析法求解與極值有關(guān)的問(wèn)題，如追及問(wèn)題、電源的輸出功率問(wèn)題以及與利用三角函數(shù)求解的有關(guān)問(wèn)題等;（2）圖象法中有關(guān)坐標(biāo)值、斜率、交點(diǎn)和面積等參量的含義，如運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象、動(dòng)力學(xué)圖象、電學(xué)實(shí)驗(yàn)圖象、電磁感應(yīng)圖象問(wèn)題等. 專題強(qiáng)化的最大優(yōu)勢(shì)在于趁熱打鐵、及時(shí)鞏固，特別是在二輪復(fù)習(xí)中關(guān)于思維方法和思維能力訓(xùn)練階段，這種做法效果尤佳.

在解決物理問(wèn)題的過(guò)程中，簡(jiǎn)單機(jī)械地套用物理規(guī)律，有時(shí)只能暫時(shí)地解決問(wèn)題.教師若能引導(dǎo)學(xué)生以函數(shù)思維來(lái)看待一些問(wèn)題，不但能讓學(xué)生掌握靈活解決問(wèn)題的方法，而且能開(kāi)闊學(xué)生的解題視野，有利于學(xué)生對(duì)物理規(guī)律本質(zhì)的理解，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的積極意義是不言而喻的.

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