基于bius變換的五次有理PH曲線(xiàn)C2 Hermite插值

丁 晨, 唐 爍, 李少華, 白瑞峰

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

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丁 晨, 唐 爍, 李少華, 白瑞峰

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

Pythagorean-hodograph(PH)曲線(xiàn)是一類(lèi)特殊的多項(xiàng)式曲線(xiàn),由文獻(xiàn)[1]在研究等距曲線(xiàn)過(guò)程中提出。PH曲線(xiàn)不但保持了與標(biāo)準(zhǔn)B樣條表示和Bézier表示的完全一致性,而且具有多項(xiàng)式曲線(xiàn)無(wú)法擁有的優(yōu)點(diǎn)，如PH曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)能表示成參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù),PH曲線(xiàn)的等距線(xiàn)能表示成有理形式。這些性質(zhì)使得PH曲線(xiàn)在CAD/CAM、CAGD、CNC中有著廣泛的應(yīng)用,如機(jī)器人路徑的設(shè)計(jì)、公路鐵路的設(shè)計(jì)、曲面的裁剪等[2-4]。

1 預(yù)備知識(shí)

其中,a、b、c、d為復(fù)數(shù),且ad-bc≠0。其逆變換與一階導(dǎo)數(shù)分別為:

定義1 給定平面參數(shù)多項(xiàng)式曲線(xiàn)p(t)=(x(t),y(t)),如果存在多項(xiàng)式σ(t),使得(x′(t))2+(y′(t))2=σ2(t),即(x′(t),y′(t),σ(t))構(gòu)成勾股數(shù),將平面參數(shù)多項(xiàng)式p(t)稱(chēng)為平面Pythagrean-hodograph曲線(xiàn),簡(jiǎn)稱(chēng)PH曲線(xiàn)[1]。

引理1a(t)、b(t)、c(t)為多項(xiàng)式,且max[dega(t),degb(t)]=degc(t)>0,滿(mǎn)足PH條件a2(t)+b2(t)=c2(t),當(dāng)且僅當(dāng)a(t)、b(t)、c(t)能用實(shí)多項(xiàng)式u(t)、v(t)、w(t)表示為[1]:

其中,u(t)、v(t)互素,即(u(t),v(t))=1;w(t)是首一多項(xiàng)式。

引理2 PH曲線(xiàn)可以表示為[1]：

引理3 如果多項(xiàng)式曲線(xiàn)r(t)是PH曲線(xiàn),當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)多項(xiàng)式h(t)和復(fù)多項(xiàng)式w(t),使得[10]:

2 插值問(wèn)題的描述

(1)

(2)

3 五次有理PH曲線(xiàn)C2Hermite插值的構(gòu)造

其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)地可表示為：

(3)

其中,w(t)、G(t)分別為實(shí)、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式。

為了得到次數(shù)最低且可處理拐點(diǎn)的PH曲線(xiàn),取

其中,a、b、c為復(fù)常數(shù)。則

(4)

將(4)式展開(kāi),并利用如下積分關(guān)系式:

(5)

Z4=Z3+bc/10,Z5=Z4+c2/5

(6)

對(duì)(4)式求導(dǎo)可得：

(7)

由(2)式、(7)式得:

(8)

方程組(8)式化簡(jiǎn)為:

(9)

利用數(shù)學(xué)工具M(jìn)atlab中的Slove可以求出方程組(9)式中相應(yīng)的a、b、c。

由此得到五次多項(xiàng)式PH曲線(xiàn),即

(10)

由引理4、引理5,便得到五次有理PH插值曲線(xiàn)Φ(Z(t)),即

(11)

其中,α=Vi/a2或α=c2/Vf,Z(t)由(10)式確定。

4 最優(yōu)插值形狀的選取

對(duì)于“合理”的插值數(shù)據(jù),由(9)式求出的a、b、c組成了滿(mǎn)足插值數(shù)據(jù)的18組解,但由于PH曲線(xiàn)的內(nèi)在特征及對(duì)稱(chēng)性,實(shí)際上得到的圖形只有9條曲線(xiàn),存在可以靈活處理拐點(diǎn)的曲線(xiàn)(如果不存在,可以通過(guò)改變初始數(shù)據(jù)使得這樣的曲線(xiàn)存在),而其他插值曲線(xiàn)可能出現(xiàn)尖點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)或明顯不符合幾何形狀設(shè)計(jì)的需求,所以給出一個(gè)準(zhǔn)則來(lái)選擇通過(guò)PH曲線(xiàn)插值所得到的最優(yōu)形狀是非常重要的。本文采用文獻(xiàn)[7]提出的“彈性彎曲能量”來(lái)選擇五次有理PH曲線(xiàn)C2Hermite插值的最優(yōu)形狀,即

(12)

其中,κ為(Φ°r(t))的曲率,即

5 數(shù)值實(shí)例

例1 給定C2Hermite數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造五次有理PH曲線(xiàn)C2Hermite插值曲線(xiàn),即

按照上述算法,應(yīng)用數(shù)學(xué)工具M(jìn)atlab中的Slove求出關(guān)于a、b、c的所有18組復(fù)根分別為:

a=±2.010 3?0.325 8i,?1.429 4±0.762 6i,±0.492 5±1.142 1i,?1.470 4±0.168 9i,±1.427 3?1.011 8i,±0.643 7±0.333 6i,?0.982 8?1.138 8i,?1.683 8±1.520 4i,±1.294 3?1.467 2i;

b=?8.638 4?0.023 5i,±2.309 3?1.562 6i,±3.969 0?0.612 1i,±3.758 8 ±1.807 9i,?0.904 8±2.545 9i,±0.454 4?1.748 4i,?4.906 4±4.073 2i,?3.441 5?6.429 8i,±2.932 7±1.992 9i;

c=±2.626 0±0.109 0i,±1.720 6±0.556 5i, ±0.848 7?0.648 6i,±1.360 9?0.501 9i, ±2.034 1?0.127 6i,±1.932 9±0.417 2i, ±2.404 6?0.174 2i,±2.428 3±0.591 7i, ±0.790 3±0.664 3i。

由此即可求出其余控制點(diǎn)Z1、Z2、Z3、Z4,分別將這些控制點(diǎn)及a、b、c帶入(10)式,求出五次PHC2Hermite插值曲線(xiàn)Z(t),如圖1所示。進(jìn)一步將Z(t)帶入(11)式,求出滿(mǎn)足五次有理PH曲線(xiàn)C2Hermite插值曲線(xiàn)Φ(Z(t)),如圖2所示。由(12)式分別可以求出Φ(Z(t))對(duì)應(yīng)的9條PH曲線(xiàn)C2Hermite插值曲線(xiàn)的“彈性彎曲能量”,見(jiàn)表1所列。

圖1 五次PH C2Hermite插值曲線(xiàn)Z(t)

圖2 五次有理PH曲線(xiàn)C2Hermite插值曲線(xiàn)Φ(Z(t))

表1 9條PH曲線(xiàn)C2Hermite插值曲線(xiàn)的彈性彎曲能量

曲線(xiàn)123456789彈性彎曲能量51 3326 861 6525 205 3242 54315 70138 691 33

由表1可以看出,第9條曲線(xiàn)的“彈性彎曲能量”最小,對(duì)應(yīng)圖2中的粗線(xiàn),相應(yīng)的五次PHC2Hermite插值曲線(xiàn)Z(t)對(duì)應(yīng)圖1中的粗線(xiàn)。

6 結(jié)束語(yǔ)

[1] Farouki R T,Sakkalis T.Pythagorean-hodograph[J].IBM Journal of Research and Development,1990,34(5):736-752.

[2] Farouki R T,Manjunathaiah J,Yuan G F.G codes for the specification of Pythagorean-hodograph tool paths and associated feedrate functions on open-architecture CNC machines[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture,1999,39(1):123-142.

[3] Farouki R T,Shah S.Real-time CNC interpolators for Pythagorean-hodograph curves[J].Computer Aided Geometric Design,1996,13(7):583-600.

[4] Farouki R T,Manjunathaiah J,Nicholas D,et al.Variable-feedrate CNC interpolators for constant material removal rates along Pythagorean-hodograph curves[J].Computer-Aided Design,1998,30(8):631-640.

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[8] 陳國(guó)棟,王國(guó)瑾.五次 PH 曲線(xiàn)的 Hermite 插值[J].軟件學(xué)報(bào),2001,12(10):1569-1572.

[10] Farouki R T.The conformal mapz→z2of the hodograph plane[J].Computer Aided Geometric Design,1994,11(4):363-390.

[11] Ahlfors L V.Complex analysis:international series in pure and applied mathematics [M].3rded.New York,USA:McGraw-Hill,1978.

(責(zé)任編輯 張 镅)

DING Chen, TANG Shuo, LI Shao-hua, BAI Rui-feng

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

2013-12-17；

2014-02-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61272024); 安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(KJ2013B232)

丁 晨(1988-),男,安徽安慶人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生; 唐 爍(1964-),男,安徽巢湖人,合肥工業(yè)大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2015.02.028

TP391.41

A

1003-5060(2015)02-0277-04